比例線段重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（6大題型+15道拓展培優(yōu)）-2024-2025學(xué)年滬教版九年級(jí)上冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)練（解析版）

專(zhuān)題02比例線段重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（6大題型+15道拓展培優(yōu)）

?題型目錄

題型一比例的性質(zhì)

題型二線段的比

題型三成比例線段

題型四由平行判斷成比例的線段

題型五由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值

題型六黃金分割

Q知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、線段的比與成比例線段

線段的比兩條線段長(zhǎng)度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時(shí)必須統(tǒng)一單位）.

ac

四條線段〃、b、c、4中，如果?=三，那么這四條線段。、b、C、〃叫做成比例

成比例線段ba

線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段.

知識(shí)點(diǎn)二、比例的性質(zhì)

ac

基本性質(zhì)一=——<^>aa7=be

bd

合比的性質(zhì)aca±bc±d

=o=

bdbd

acm,x6z+c+---+m_

等比性質(zhì)————…———k1\(b1+dH---,一k

bdnb+d+…+n

知識(shí)點(diǎn)三、黃金分割

若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AOBC）,如果生=空，這

ABAC

黃金分割

時(shí)稱(chēng)點(diǎn)c是AB的黃金分割點(diǎn),這個(gè)比值稱(chēng)為黃金比，它的值為41二1?0.618.

2

B-經(jīng)典例題

【經(jīng)典例題一比例的性質(zhì)】

【例1】（23-24九年級(jí)上?上海松江?期中）已知ac=6d（a、b、c、d都不為0）,則下列各式一定成立的是

（）

ac—cd-c+1d+1-be

As.一=一B.一二一C.——=-------D.一=一

bdbabada

【答案】B

【分析】本題考查比例的性質(zhì)，組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的

兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)，比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，據(jù)此解答即可.

【詳解】解：A、?轉(zhuǎn)化為等積式為4=6c,和已知不一致，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ba

B、；=4轉(zhuǎn)化為等積式為。。=切，和已知一致，該選項(xiàng)正確；

ba

C、?=但轉(zhuǎn)化為等積式為a（c+l）=b（d+l）,整理得：ac+a=bd+b,和已知不一致，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

ba

hc

D、==￡轉(zhuǎn)化為等積式為加“，和已知不一致，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

aa

故選：B.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?上海徐匯?期中）如果5x=3y（尤、y均不為零），那么x：y的值是（）

A.-B.-C.-D.-

3588

【答案】B

【分析】等式兩邊同除以5y即可得到答案.

【詳解】解：等式兩邊同除以5y,可得：三=m，即±4，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查比例式的性質(zhì)，熟練掌握比例內(nèi)項(xiàng)之積等于比例外項(xiàng)之積是解題關(guān)鍵.

2.（23-24九年級(jí)上?上海閔行?期中）若3T=白0,那么一卜產(chǎn)二_________.

235x+2y----------

【答案】-0.625

O

【分析】根據(jù)比例性質(zhì)設(shè)則x=2Z,y=3k,“雙,進(jìn)而代值求解即可.

【詳解】解：設(shè)鼻=,=]=4，貝1JX=2Z，y=3k,

.x+y-2z

x+2y

2k+3k-10k

2k+6k

—5人

~8k

5

8

【點(diǎn)睛】本題考查比例性質(zhì)、分式的性質(zhì)，熟練掌握比例性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

3.（22-23九年級(jí)上?上海奉賢?期中）已知：a：b：c=3：4：5

3a-b+c

(1)求代數(shù)式的值;

2a+3b-c

（2）如果3。-Z?+c=10,求。、b、c的值.

【答案】(1)—；(2)。=3,匕=4,c=5

【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)。=3鼠b=4k,c=5k（厚0）,然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解;

（2）先設(shè)a=3Z,b=4k,c=5k（厚0）,然后將其代入3o-Z?+c=10,即可求得〃、b、c的值.

【詳解】（1）,?"：b：c=3：4：5,

:?設(shè)。=3攵，b=4k,c=5k(厚0),

.3a-b+c9k-4k+5k10210

貝nU--------------=-----------------=------------

2a+3b-c6k+12k-5k13k13'

(2)設(shè)〃=3%,b=4k,c=5k(^0),代入3〃-/?+c=10得:

9h4人+5k10,

解得bl.

貝!Ja=3k=3,b=4k=4fc=5k=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)上法''求解更簡(jiǎn)便.

A【經(jīng)典例題二線段的比】

【例2】（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在AABC中,AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),

MN_LAC于點(diǎn)N,則MN等于（）

16

D.

y

【答案】A

【分析】連接AM,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AMLBC,根據(jù)勾股定理求得AM的長(zhǎng)，再根據(jù)

在直角三角形的面積公式即可求得MN的長(zhǎng).

【詳解】解：連接AM,

：AB=AC,點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，

.,.AMXCM（三線合一），BM=CM,

VAB=AC=5,BC=6,

；.BM=CM=3,

在RtAABM中，AB=5,BM=3,

,根據(jù)勾股定理得：AM=y/AB12-BM2

=A/52-32

=4,

又SAMC=-MN-AC=-AM?MC,

A22

?STAMCM

??MN=-----------

AC

一

~~5.

故選A.

【點(diǎn)睛】綜合運(yùn)用等腰三角形的三線合一，勾股定理.特別注意結(jié)論：直角三角形斜邊上的高等于兩條直

角邊的乘積除以斜邊.

H變式訓(xùn)練

1.（2023春?河北承德?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將矩形紙片A8CD按照以下方法裁剪：剪去矩形A3CD

邊AD長(zhǎng)的;，邊8長(zhǎng)的3（稱(chēng)為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形但'G（陰影部分）邊AE長(zhǎng)的;，EF長(zhǎng)

的W（稱(chēng)為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的圖形恰好是正方形，則原矩形ABCO的

長(zhǎng)寬比為（）

21024332

A.D.

32243

【答案】A

2i

【分析】設(shè)原矩形ABCQ的長(zhǎng)為羽寬為%則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為.元，寬為;V，以此類(lèi)推得出第

五次剪所得矩形有，UX=y即可求出答案.

【詳解】設(shè)原矩形ABCD的長(zhǎng)為x,寬為y,

21

則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為彳工，寬為gy,

j乙

一第二次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為［藪］X,寬為了，

，第三次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為（羨］x,寬為

一第四次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為x,寬為［了，

:第五次裁剪所得剩下的圖形恰好是正方形，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟悉掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

AP0AP

2.（2023秋?九年級(jí)單元測(cè)試）已知P是線段上一點(diǎn)，且則不=______

PB5AB

2

【答案】y

【分析】設(shè)AP=2x,那么PB=5x,則AB=7x,從而求得其比值.

【詳解】設(shè)AP=2x,那么PB=5x,

???AB=AP+PB=7x,

?_2

??瓦一五一1

故答案是：

【點(diǎn)睛】運(yùn)用線段的和、差、倍、分來(lái)轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知線段”是線段6、c的比例中項(xiàng)，如果。=2,6=3,求c的長(zhǎng)度.

（2）已知2:（a+l）=（a—l）:3,求。的值.

4

【答案】（1）（2）土幣.

【分析】（1）根據(jù)線段比例中項(xiàng)的定義即可得；

（2）根據(jù)已知比例式、平方差公式、算術(shù)平方根求解即可得.

【詳解】（1）由題意得：-=￡,即/=尻，

ba

將。=2,6=3代入得：2?=3c,

解得c=3；

（2）由2:（Q+1）=（〃—1）:3得：（a+l）（a—l）=2x3,

整理得：〃_1=6,即/=7,

解得a=土幣.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段、平方差公式、算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握比例線段的定義是解題關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題三成比例線段】

【例3】（22-23九年級(jí)上?上海寶山?期中）下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,6cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.1cm,2cm,3cm,4cmD.3cm,4cm,6cm,9cm

【答案】A

【分析】根據(jù)比例線段的概念逐項(xiàng)判斷即可解答

【詳解】解:A.???2x6=3x4,，四條線段成比例,符合題意；

B.：2x5W3x4,...四條線段不成比例，不符合題意；

C.；卜4/2*3,.?.四條線段不成比例，不符合題意；

D...,3x9/4x6,...四條線段成比例，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和

最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷.

X變式訓(xùn)練

1.（22-23六年級(jí)上?上海靜安?課后作業(yè)）如果a=2,b=4,c=8,那么（）

A.a、b、c的第四比例項(xiàng)是7B.3a、2b和3c的第四比例項(xiàng)為18

C.c是ab的比例中項(xiàng)D.b是ac的比例中項(xiàng)

【答案】D

【分析】根據(jù)線段成比例進(jìn)行判斷即可.

9Q

【詳解】A選項(xiàng)a、b、c的第四比例項(xiàng)是16,因?yàn)椋?白，

416

624

B選項(xiàng)3a、2b和3c的第四比例項(xiàng)為32,因?yàn)槿唬?/p>

C選項(xiàng)c不是ab的比例中項(xiàng)，因?yàn)榍?/p>

D選項(xiàng)b是ac的比例中項(xiàng)，因?yàn)?〃

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查線段成比例的問(wèn)題.關(guān)鍵是根據(jù)線段成比例的性質(zhì)解答.

2.（2024?上海楊浦?一模）已知線段。=3厘米，c=12厘米，如果線段b是線段。和c的比例中項(xiàng)，那么6=

厘米.

【答案】6

【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到〃：6=%：c,然后利用比例性質(zhì)計(jì)算即可，解題的

關(guān)鍵是理解四條線段。、6、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，

a-.b=c-.d,我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段，當(dāng)a:6=》:c時(shí)，線段6是線段。和c的比

例中項(xiàng).

【詳解】：線段b是線段。和。的比例中項(xiàng)，

a:b=b:c,BPb1=?c=3xl2,

Z?=6(cm),

故答案為：6.

3.(22-23九年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí))我們知道：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB,的長(zhǎng)度分別

勿7AR

是加，兒，那么就說(shuō)兩條線段的比=如果把」表示成比值3那么一=k^AB=k-CD.請(qǐng)

nCD

完成以下問(wèn)題：

(1)四條線段。，b,c,d中，如果一，那么這四條線段。，b,c,d叫做成比例線段.

(2)已知智三，那么了=三4成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

baba

(3)如果一^-=-^=17=根，求加的值.

【答案】(l)a：〃=c：d

(2)如果：=那么噌=三［成立，詳見(jiàn)解析

baba

⑶〃z=2或-1

【分析】(1)根據(jù)成比例線段的定義即四條線段a,b,c,d中，如果a：b=c:d,那么這四條線段。，b,

c,d叫做成比例線段，解答即可.

(2)根據(jù)等式的性質(zhì)，或設(shè)比值上的方法求解即可.

(3)分x+y+z=O和x+y+zwO兩種情況求解.

【詳解】(1)根據(jù)題意，得四條線段。，b,c,d中，如果a：6=c:d,那么這四條線段a,b,c,d叫

做成比例線段.

故答案為：a:b=c:d.

(2)解法1：如果：=那么宇=不成立.理由:

baba

二.a=bk,c=dk,

.a-bbk-b.、c-ddk-d.,

,?----=-----=k-1;----=------=k-1,

bbdd

.a—bc—d.

??=.

bd

解法2：如果：=$，那么?=三4成立.理由:

baba

a_c

b~~df

bd

(3)①當(dāng)x+y+z=O時(shí)，

y+z=-x,z+x=y,x+y=-z,

，機(jī)為其中任何一個(gè)比值，即機(jī)=M=-1；

X

②x+y+zwO時(shí)，

y+z+z+x+x+y2(x+y+z).

m=-----------------------=---------------=2.

x+y+zx+y+z'

所以m=2或-I.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，等比的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用解題是解題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題四由平行判斷成比例的線段】

【例4】（23-24九年級(jí)上?上海普陀?階段練習(xí)）如圖，在ASC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，且不與

ABC的頂點(diǎn)重合，下列條件中，一定能得到DE〃3c的是（）

BDAE「ADAEDEAEABAE

A.-B.=D.

ADCEBDCEBC-ACBD~CE

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線被第三條線段所截,對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.由空=坐，可得出DE〃BC,故由空=當(dāng)不能得到OE〃3C,該選項(xiàng)不符合題意;

ADAEADCE

AJJAp

B.由后，可得出OE〃3C，故該選項(xiàng)符合題意;

DDCE

DP4Z7

C.由第=笠不一定能得到小〃BC，故該選項(xiàng)不符合題意;

nCAC

ArtACARAF

D.由蕓=修，可得出DE〃BC,故由黑=三不能得到OE〃3C，該選項(xiàng)不符合題意;

DDCEBDCE

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行.掌握如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比

例，那么這條直線平行于三角形的第三條邊是解題關(guān)鍵

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?上海青浦?期中）在11ABe中，點(diǎn)E分別在AB、AC的反向延長(zhǎng)線上，下列不能判定

。石〃的條件是（）

A.EA-.AC^DA.ABB.AC:AB=EC:BD

C.EA:EC=DA:DBD.AC:AE=AD:AB

【答案】D

【分析】利用“如果一條直線截三角形的兩邊或兩邊的反向延長(zhǎng)線，對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于

三角形的第三邊”逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解:如圖，

A、若E4:AC=ZM:AB,則故選項(xiàng)A不合題意；

B、若AC:AB=EC:BD,則DE〃BC,故選項(xiàng)B不合題意；

C、若EA:EC=DA:DB,則。E〃5C,故選項(xiàng)C不合題意；

D、若=無(wú)法得到DE〃BC,故選項(xiàng)D符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的推論，準(zhǔn)確掌握平行線分線段成比例定理推論是解題關(guān)鍵.

2.（23-24九年級(jí)上?上海普陀?階段練習(xí)）如圖，已知直線。、b、。分別交直線/于點(diǎn)A、B、C,交直線機(jī)

于點(diǎn)。、E、F,S.a//b//c,如果AB:5c=2:3,DF=20,那么EF=.

【答案】12

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得普=￡設(shè)上=2x,則EF=3x,利用D尸=DE+EF求出x的值,

BCEF3

即可得出EF的值.

【詳解】解：a//b//c,AB:BC=2:39

.ABDE2

設(shè)。石=2%,則砂=3x,

/.DF=DE+EF=2x+3x=5x=20,

/.x=4,

.?衣=3x4=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2024八年級(jí).全國(guó).競(jìng)賽)如圖1,在ABC中，截線。石交AB于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)尸.

圖1圖2

ADBFCE]

⑴求證:

BDCFAE"；

⑵若截線上經(jīng)過(guò)極的重心點(diǎn)G,如圖2,利用(1)中的結(jié)論，求證：翁If"

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理：

(1)過(guò)點(diǎn)C作CG〃m'交于點(diǎn)G,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得結(jié)論;

BDGHFB

相加可得結(jié)論.

⑵由⑴得潺露I，DA~AGHF

【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)。作CG〃。方交A5于點(diǎn)G,如圖,

AE~DA9FC~GD

.ADBFCEADGDBD1

>.------------------=--------------------=1

DBFCEADBDAGD

（2）證明：如圖，連接并延長(zhǎng)AG交5C于點(diǎn)G,

HF?.CEGHFC

——=1,則n——=-------,

FCEAAGHF

小八川?曰BDAGHF1.BDGHFB

由DGF截ABH可得------------=1,貝nI=--------

DAGHFBDAAGHF

??,點(diǎn)G是.ABC的重心,

???AH為5C邊上的中線，且AG=2G”,

.CEBDGHFCGHFB_GH（FC+FB）_2GH

**EADA~AGHFAGHF~AGHFAG

4【經(jīng)典例題五由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】

【例5】（2023秋?廣東深圳?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，三條直線a〃》〃c,若AS=CD,絲=],則孚=

DF3GE

A\/B

GK

CZ7

【答案】A

AnARiAn93

【分析】根據(jù)a〃8可得====1,從而得到AG=GO=二AD,再由工=不，可得。尸最后

GDCDDF3

±40-AD

BGAG2[,進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

再由〃〃〃可得2

ac13

GFGD+DF-AD+-AD

【詳解】解：a//b,AB=CD,

AGAB1

?,?_一__一_—_——i工，

GDCD

AG=GD,

AG=GD=-AD,

2

AD_2

DF-3?

3

:.DF=-AD,

2

a//b//c,

BGAG

13

GEGFGD+DF-AD+-AD

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

X變式訓(xùn)練

/yr）1

1.（2023秋?安徽六安?九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)。㈤/分別在；ABC的邊上，==：,DE〃3C,￡F〃AB,

BD3

點(diǎn)加是EF的中點(diǎn)，連接3M并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M則F二N的值是（）

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作FG〃師交AC于點(diǎn)G,可證￡7V=GN.同理，可得=絲=1,EC=3AE，4f=g==；

ECDB3ECFC3

由FG〃BN,得見(jiàn)=也=工,于是GC=3NG；設(shè)EN=NG=a,則GC=3a,EC=5a,AC=-a,從而

FCGC33

/目EN3

得一=—.

AC20

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作/G〃5N交AC于點(diǎn)G,

.ENEM

''~GN~~FM~

：.EN=GN.

9：DE//BC,

.AEAD_1

??法一拓一記

???EC=3AE.

???￡F〃AB,

.AEBF_1

**EC-FC-3*

FG//BN,

.BFNG_1

**FC-GC_3,

JGC=3NG.

設(shè)EN=NG=a,則GC=3a,

:.EC=EN+NG+GC=5a

：.EC=3AE=5a.

AE=-a.

3

520

AC=AE+EC=-a+5a=—a.

33

EN_a3

AAC-20--20.

—a

3

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?湖南衡陽(yáng)?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖ABC中，E、尸為的三等分點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn),

BM與AE、AF分別交于G、H,貝U3G:GW:9.

【答案】5:3:2

【分析】首先過(guò)點(diǎn)/作MK〃BC,交AF,AE分別于K,N,由M是AC的中點(diǎn)與E、尸為BC的三等分

點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得知"=。由/,MG=BG,,然后根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求解.

4

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作研〃5C,交ARAE分別于K,N,

??,M是AC的中點(diǎn)，

.MN_NK_AN_AM

**EC--AE~^4C-2?

?：E、產(chǎn)為5C的三等分點(diǎn)，

JBE=EF=FCf

:,MN=2NK,

..MHMKMG_MN

?BH-BF-4'BG~BE~

：.MH=-BH,MG=BG,

4

^MH=a,BH=4a,BG=GM=(,

3

GH=GM-MN=-a,

2

53

:.BGGH：HM=-a:-a:a=5:3:2.

22

故答案為：5:3:2.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理與比例的性質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的

作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.（2023秋?河南南陽(yáng)?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線4、4、4分別截直線。于點(diǎn)A、B、C,截直

⑴如果AB=4,6C=8,EF=12,求DE的長(zhǎng);

(2)如果DE:=2:3,AB=6,求AC的長(zhǎng).

【答案】⑴6

⑵15

【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得到==亦，代入已知線段長(zhǎng)度即可得到DE的長(zhǎng)；

BCEF

（2）由平行線分線段成比例定理得到黑=名，由上:所=2:3得到坐=絲=言，由AB=6得到

BCEFBCEF3

3

BC=-AB=9,即可得到AC的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：如圖,

?.?lx//l2//l3,

.ABDE

??密一而‘

VAB=4,8C=8,EF=12,

即OE的長(zhǎng)為6；

(2)lx//l2//l3f

.ABDE

**BC-EFJ

DE:EF=2:3,,

.ABDE_2

**BC-EF-3)

???AB=6,

3

BC=-AB=9

2f

：.AC=AB+BC=6+9=15.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理并找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵.

*41經(jīng)典例題六黃金分割】

【例6】(2024.上海楊浦.一模)已知尸是線段"的黃金分割點(diǎn)，且相>8尸，那么下列等式能成立的是()

.ABAPcABBP

A.—=—B.-

APBPBPAP

?AP75-1cABA/5-1

k_z.一L).—

BP2AP2

【答案】A

【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是

掌握黃金分割點(diǎn)的性質(zhì).

【詳解】解:如圖，

P

A1----------------------1--------------'R

???點(diǎn)戶是線段AB的黃金分割點(diǎn),,S.AP>BP,

.APPBV5-1

9AB~AP~2'

故選：A.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?上海崇明?期中）已知M是線段A8上的黃金分割點(diǎn)，且那么下列各項(xiàng)正確

的是（）

A.4吆=避二1B.國(guó)￡=避二1c.則_=避二1D.8M是AM與的比例中項(xiàng)

AB2MB2AB2

【答案】A

【分析】本題主要考查黃金分割點(diǎn)的定義，把一條線分割成兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部

分與這部分之比等于避二1即可得到答案.

2

【詳解】解：由于M是線段上的黃金分割點(diǎn)，

,AM_BM_V5-1

故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；

由比例中項(xiàng)定義可知，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選A.

2.（23-24八年級(jí)下?上海青浦?期末）點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，如果BP=^5-1,那么

AP=_____

【答案】2

【分析】本題考查了黃金分割，由題意得出點(diǎn)F是的黃金分割點(diǎn)，得到人尸=叵口45,結(jié)合

2

AB=AP+BP,BP=y/5-l,代入計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：：AP2=3PAB，

.APBP

*'AP)

二點(diǎn)尸是AB的黃金分割點(diǎn)，

...AP=^^-AB,

2

VAB=AP+BP,BP=s/5-l,

：.AP=^—^(AP+V5-1),

2

解得：AP=2,

故答案為：2.

3.（22-23九年級(jí)上?上海嘉定?期中）已知點(diǎn)A、B、C在一條直線上，AB=1,S.AC2^BCAB,求AC的

長(zhǎng).

【答案］墾［或!!2公

22

【分析】分三種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段A3上，當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在線段54的延長(zhǎng)線時(shí),

然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：分三種情況：

當(dāng)點(diǎn)C在線段上，如圖：

ABC

AC2=BCAB,

.?.點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，

,Vs-1.\/5-1\/5-1

..AACr=-----ABR=-----xl=-----；

222

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖：

---?.?—

ACB

設(shè)AC=x,貝1]5。=4。-帥=1,

AC2=BCAB,

%2=(x—1),1,

整理得：x2—x+1—O,

二.原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)點(diǎn)C在線段54的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖：

CAB~

設(shè)AC=x,貝iW=AC+AB=x+l,

AC2=BCAB,

X~~(x+1),1,

整理得：x2—x—1=0,

解得：玉=91,X=匕好(不符合題意，舍去),

1222

，AC的長(zhǎng)為叱叵；

2

綜上所述，AC的長(zhǎng)為正匚或士

22

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵.

＞提優(yōu)訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?上海閔行?期中）已知2x=3y（xw。），下列式子錯(cuò)誤的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積可對(duì)42、C進(jìn)行判斷；利用合比性質(zhì)可對(duì)。進(jìn)行判斷.

x3

【詳解】解：A.2產(chǎn)3?則一=不，所以A選項(xiàng)不符合題意；

y2

B.2x=3y,則鼻=］，所以8選項(xiàng)不符合題意；

C.2x=3y,則y：x=2：3,所以。選項(xiàng)符合題意；

x3x33

D.2x=3y,則一=彳，所以---=-~,所以。選項(xiàng)不符合題意.

y2x+y3+25

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性

質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.（22-23八年級(jí)下?上海浦東新?期末）已知P是線段A5的黃金分割點(diǎn)，S.AP＞BP,則下列比例式能成立

的是（）

絲四AB=5-1

A組.也BC"=也D

APAB'APBPABAPAP2

【答案】C

【分析】根據(jù)黃金分割的定義求解即可.

【詳解】解：如圖所示，

P

A1-------------------1------------'R

■尸是線段48的黃金分割點(diǎn)，且釬＞8尸，

.PBAPV5-1

APAB2

A.故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

APAB

B.黑二黑，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

APBP

APRP

C.—=故該選項(xiàng)正確，符合題意；

ABAP

D.絲=叵"，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

AP2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割定義（把線段AB分成兩條線段"和

BP（AP>BP）,且使AP是AB和研的比例中項(xiàng)，叫做把線段A8黃金分割，點(diǎn)P叫做線段A3的黃金分割

點(diǎn)）.

3.（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）已知點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，且滿足AC2=BOAB,則下列式子成

立的是（）

.ACA/5-1?ACA/5-1?BC75-1?CB75+1

/X.（-----------------------D.---------....................V_______=--------------U.--------------------------

BC2AB2AB2AC2

【答案】B

【分析】把AB當(dāng)作已知數(shù)求出AC,求出BC,再分別求出各個(gè)比值，根據(jù)結(jié)果判斷即可.

【詳解】：AC2=BC>AB,

AAC2-BC?AB=O,

VAB=AC+BC

/.AC2-（AB-AC）AB=O,

.,.AC2+AB?AC-AB2=O,

22

.AC=-AB+7AB-4x1x(-AB)

"2x1

:邊長(zhǎng)為正值，

/.AC=士正AB,BC=AB-AC=3~AB,

22

—1+y/5

.AC2-1+^1+^

"~BC~3-V5-3-石-—~,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤,

=@二i,故B選項(xiàng)正確,

AB22

駕=三史，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

AB2

3號(hào)=",故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程和黃金分割的應(yīng)用，把AB當(dāng)作已知數(shù)求出AC,求出BC,再分別求

出各個(gè)比值是解題關(guān)鍵.

4.（22-23九年級(jí)上?上海崇明?期中）在ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，如果">=2,BD=3,

那么由下列條件能夠判定DE〃3C的是（）

.DE2AE2〃AE2CE_2

A.--——Bn.—=-C........——

BC5AC5AD5AC-5

【答案】B

【分析】利用如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于

三角形的第三邊可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

ADAE?ADAE

【詳解】當(dāng)=—或——=——時(shí)n，DE//BC,

DBECABAC

嚼嚏時(shí)，r，口

可得A一E=-2

EC3

當(dāng)*嚏時(shí)，r田AE2

可得——=-

AC5

AE2.AE2

即Hn——二一或——

EC3AC5

所以B選項(xiàng)是正確的,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（22-23八年級(jí)下?上海?期末）如圖，已知尤="，求作x,則下列作圖正確的是（）

a

【答案】B

【分析】先在射線A4上依次截取BC=c,在射線4V上截取小》=》，連接3。，過(guò)C作

交4V于E,則@==即。再根據(jù)尤="，即可得出結(jié)論.

cDEaa

【詳解】如圖，需要在射線A"上依次截取AB=。，BC=C,在射線AN上截取

連接5。，過(guò)。作交AN于E,則

ABADab

——=——，即Rn一二——，

BCDEcDE

所以。石=一；

a

因?yàn)閤=g,

a

所以DE=x即OE即為所求.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的基本作圖，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

6.⑵-24九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）若言《則泊值為

7

【答案】

【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵是正確理解比例的性質(zhì).

【詳解】

a+b5

.,.設(shè)。=7左，a+b=5k（左/0）,

:.b=-2k,

.a7k7

>?—―-----------

b—2k2,

7

故答案為：

7.（22-23九年級(jí)上?上海奉賢?期中）已知線段。是線段b、c的比例中項(xiàng)，如果6=3,c=2,那么

【答案】A/6

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義：若6是a,c的比例中項(xiàng)，即〃=改.即可求解.

【詳解】解：.??線段。是線段6、c的比例中項(xiàng)，

'.a2=bc,

即a2=6,

a=46（負(fù)值舍去）.

故答案是：屈.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是理解比例中項(xiàng)的定義.

8.（23-24九年級(jí)上?上海長(zhǎng)寧?階段練習(xí)）已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且若線段AB的長(zhǎng)

為4厘米，那么線段AC的長(zhǎng)為_(kāi)____厘米.

【答案】（2石-2）/（-2+2君）

【分析】根據(jù)黃金比值是避二1,列式計(jì)算即可.

2

【詳解】??,點(diǎn)C是線段A5的黃金分割點(diǎn)，AOBC,線段A3的長(zhǎng)為4厘米，

4。=存1AB=（275-2）cm,

故答案為：（275-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段與全線段的比等于較

短線段與較長(zhǎng)線段的比，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值且二1叫做黃金比.掌握黃金分割的概

2

念是解題的關(guān)鍵.

9.（22-23九年級(jí)上?上海奉賢?期中）如圖，四邊形ABCD中，AD〃3C〃石尸，如果AE=3,AB=8,CD=10,

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出A笠E=紀(jì)DF，求出=1?5,即可得出答案.

ABCD4

【詳解】9：AD//BC//EF,

.AEDF

??南—五’

VAE=3,AB=8,0)=10,

.3DF

**8-7O-，

解得：

4

1575

CF=CD-DF=10——=—,

44

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，正確得出比例線段是解題的關(guān)鍵.

10.（23-24九年級(jí)上?上海松江?期末）如圖，已知直線4、4、4分別交直線優(yōu)于點(diǎn)&、B、C,交直線“于

點(diǎn)。、E、F,S.1A//12//l3,AB=2BC,DF=6,那么EF=.

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

ARDP

先由運(yùn)用平行線分線段成比例的內(nèi)容可得黑=于=2,再將尸-研=6-歷代入求出

EF,即可求解.

【詳解】解：,."I〃/2〃/3，A8=2BC,

ABDEc

---------2,

BCEF

QDE=DF-EF=6-EF,

:T=2,

EF

解得￡F=2.

故答案為：2.

a+bb+cc+a

11.（22-23九年級(jí)?上海?假期作業(yè)）設(shè)力=2（：_c）=3（c_a『求8〃+魴+5c的值.

【答案】0

【分析】根據(jù)分式基本性質(zhì)，得臀2魯，令臀2進(jìn)而即可求解.

【詳解】根據(jù)分式基本性質(zhì)