2025屆四省八校高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆四省八校高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A. B.C. D.2．為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓4．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A. B.C. D.6．在中，，，為所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.C.－1 D.-27．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.128．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則的最大值為（）A. B.C. D.9．已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、H兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.10．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（）A.1 B.C. D.11．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.12．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點(diǎn)P，，為其焦點(diǎn)，在中，，，則橢圓的離心率為_(kāi)_____14．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)______15．已知離心率為，且對(duì)稱(chēng)軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線C過(guò)點(diǎn)，過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P，向雙曲線C的兩條漸近線分別引垂線，垂足分別是A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積為_(kāi)_____16．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若，與的等差中項(xiàng)為12，則等于_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點(diǎn)且.現(xiàn)將沿著折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在線段上，判斷直線與平面位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.18．（12分）已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)之差的絕對(duì)值為.（1）求的值；（2）若過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線在點(diǎn)處相切，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，菱形的面積為，求二面角的余弦值.20．（12分）已知圓，直線（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（2）過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程21．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且___________.（1）求角的大??；（2）已知，，點(diǎn)在邊上，且，求線段的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運(yùn)算求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴.故選：C.2、D【解析】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進(jìn)借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關(guān)系，變形構(gòu)造出等比數(shù)列，由得其通項(xiàng)公式后可得結(jié)論【詳解】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進(jìn)借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤(rùn)為故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．解題方法是用數(shù)列表示月初進(jìn)貨款，得出遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求解3、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.故選：4、B【解析】方程表示橢圓，可得，解出的范圍即可判斷出結(jié)論.【詳解】∵方程表示橢圓，∴解得或，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B5、D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D6、C【解析】以為建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可得最小值【詳解】如圖，以為建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題方法是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示7、B【解析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個(gè)由8個(gè)全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長(zhǎng)為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個(gè)正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B8、B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)9、B【解析】根據(jù)是等腰三角形且為銳角三角形，得到，即，解得離心率范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，不妨取，，是等腰三角形且為銳角三角形，則，即，，即，，解得，故.故選：B.10、A【解析】設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，所以,因?yàn)?，，所以又，，所?所以,設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，則,即,，故選：A11、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D12、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡(jiǎn)為即表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)最大，即，當(dāng)直線與下半圓相切時(shí)最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合題意，列出方程，代入數(shù)據(jù)，化簡(jiǎn)即可得答案.詳解】由題意得：，所以，所以，解得.故答案為：14、##【解析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.【詳解】由題意可知：復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)，故答案為：15、2【解析】由離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，可得雙曲線方程為，設(shè)，則到兩漸近線的距離為，，從而可求四邊形的面積【詳解】由離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，，∴，故雙曲線方程為，∴漸近線方程為，設(shè)，則到兩漸近線的距離為，，且，∵漸近線方程為，∴四邊形為矩形，∴四邊形的面積為故答案為：216、128【解析】先根據(jù)條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為，由已知，得，①，又，②，由①②得，故答案為：128.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）答案不唯一，見(jiàn)解析【解析】（1）利用折疊前后的線段長(zhǎng)度及勾股定理求證即可；（2）動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足時(shí)和，但時(shí)兩種情況，利用線線平行或相交得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】在折疊前的圖中，如圖：，E為上一點(diǎn)且，則，折疊后，所以，又，所以，所以為直角三角形.小問(wèn)2詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段上，滿(mǎn)足，同樣在線段上取，使得，則，當(dāng)時(shí)，則，又且所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以此時(shí)平面；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，但，所以四邊形為梯形，所以與必然相交，所以與平面必然相交.綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足時(shí)，平面；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，但時(shí)，與平面相交.18、（1）；（2）.【解析】（1）求，設(shè)的兩根分別為，，由韋達(dá)定理可得：，，由題意知，進(jìn)而可得的值；再檢驗(yàn)所求的的值是否符合題意即可；（2）設(shè)，則，由列關(guān)于的方程，即可求得的值，進(jìn)而可得的值，即可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由可得：設(shè)的兩根分別為，，則，，由題意可知：，即，所以解得：，當(dāng)時(shí)，，由可得或，由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足兩個(gè)極值點(diǎn)之差的絕對(duì)值為，符合題意，所以.（2）由（1）知，，設(shè)，則，由題意可得：，即，整理可得：，解得：或，因?yàn)榧礊樽鴺?biāo)原點(diǎn)，不符合題意，所以，則，所以.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，求得菱形的邊長(zhǎng)，取中點(diǎn)，可證，如圖建系，求得點(diǎn)坐標(biāo)及坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，根據(jù)平面PAD，可求得面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則、E分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面積為，，易得菱形邊長(zhǎng)為，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的法向量，由得，令，則所以一個(gè)法向量，因?yàn)?，，所以平面PAD，所以平面的一個(gè)法向量所以，又二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明平行的定理，證明線面平行時(shí)，常用中位線法和平行四邊形法來(lái)證明；利用空間向量求解二面角為?？碱}型，步驟為建系、求點(diǎn)坐標(biāo)、求所需向量坐標(biāo)、求法向量、利用夾角公式求解，屬基礎(chǔ)題.20、（1）相交.（2）或.【解析】（1）先判斷出直線恒過(guò)定點(diǎn)(2，1)，由(2，1)在圓內(nèi)，即可判斷；（2）分斜率存在與不存在兩種情況，利用幾何法求解.【小問(wèn)1詳解】直線方程，即，則直線恒過(guò)定點(diǎn)(2，1).因?yàn)?，則點(diǎn)(2，1)位于圓的內(nèi)部，故直線與圓相交.【小問(wèn)2詳解】直線斜率不存在時(shí)，直線滿(mǎn)足題意；②直線斜率存在的時(shí)候，設(shè)直線方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得:，則直線方程為：.綜上可得，直線方程或.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，根據(jù)題意，列出方程，即可求得公差以及通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，求得，以及，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，故可得，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?