吉林省梅河口市五中2025屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題含解析

吉林省梅河口市五中2025屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列說法正確的個數(shù)有（）（?。┟}“若，則”的否命題為：“若，則”；（ⅱ）“，”的否定為“，使得”；（ⅲ）命題“若，則有實根”為真命題；（ⅳ）命題“若，則”的否命題為真命題；A.1個 B.2個C.3個 D.4個2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.3．中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面，若該頸部中最細處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.404．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立D.如果，那么5．已知為等差數(shù)列，為公差，若成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.6．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一條直線 B.一個橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個橢圓7．設、分別是橢圓（）的左、右焦點，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且，則的長為（）A. B.1C. D.8．函數(shù)在單調遞增的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.9．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.10．已知曲線，下列命題錯誤的是（）A.若，則是橢圓，其焦點在軸上B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為D.若，，為上任意一點，，為曲線的兩個焦點，則11．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”假設內(nèi)容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1個不能被5整除12．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，是雙曲線與橢圓的共同焦點，點P是兩曲線的一個交點，且為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線為______14．已知圓，若圓的過點的三條弦的長，，構成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差的最大值是______.15．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________16．圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，且，（1）求的通項公式；（2）求的前n項和的最大值18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值19．（12分）已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過點（1）求圓的標準方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數(shù)取值范圍20．（12分）已知與定點，的距離比為的點P的軌跡為曲線C，過點的直線l與曲線C交于M，N兩點.（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若，求.21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率等于，點，且的面積等于（1）求橢圓的標準方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點，當點A關于y軸的對稱點在直線PB上時，直線是否過定點?若過定點，求出此定點；若不過，請說明理由22．（10分）已知，是橢圓：的左、右焦點，離心率為，點A在橢圓C上，且的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若B為橢圓C上頂點，過的直線與橢圓C交于兩個不同點P、Q，直線BP與x軸交于點M，直線BQ與x軸交于點N，判斷是否為定值.若是，求出定值，若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)四種命題的結構特征可判斷（?。áぃ┑恼`，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷（ⅱ）的正誤，根據(jù)判別式的正誤可判斷（ⅲ）的正誤.【詳解】命題“若，則”的否命題”為“若，則”，故（ⅰ）錯誤.“，”的否定為“，使得”，故（ⅱ）正確，當時，，故有實根，故（ⅲ）正確，“若，則”的否命題為“若，則”，取，則，故命題若，則為假命題，故（ⅳ）錯誤.故選：B2、C【解析】取的中點，連接，易證平面，進一步得到線面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C3、B【解析】設雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因為雙曲線焦點在軸上，設雙曲線方程為由雙曲線的性質可知：該頸部中最細處直徑為實軸長，所以，可得，因為離心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對稱性可知頸部最右點橫坐標為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B4、C【解析】設圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關系，可得即可得答案.【詳解】設圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當且僅當時等號成立，所以對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立.故選：C5、C【解析】先利用已知條件得到，解出公差，得到通項公式，再代入數(shù)列，利用裂項相消法求和即可.【詳解】因為成等比數(shù)列，，故，即，故，解得或（舍去），故，即，故的前項和為：.故選：C.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.6、A【解析】根據(jù)題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個橢圓或一條直線.故選：A.7、C【解析】由橢圓的定義得：，，結合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C8、D【解析】求出導函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調遞減，選項中只有是的必要不充分條件.選項AC是的充分不必要條件，選項B是充要條件.故選：D9、B【解析】設，根據(jù)線面垂直的性質得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.10、D【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的性質以及定義逐一判斷即可.【詳解】曲線，若，則是橢圓，其焦點在軸上，故A正確；若，則，即是圓，半徑為，故B正確；若，則是雙曲線，當，則漸近線方程為，當，則漸近線方程為，故C正確；若，，則是雙曲線，其焦點在軸上，由雙曲線的定義可知，，故D錯誤；故選：D11、B【解析】由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設其否定成立進行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考點：反證法12、D【解析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件求出兩曲線的共同焦點，再由橢圓、雙曲線定義求出a，b即可計算作答.【詳解】橢圓的焦點，由橢圓、雙曲線的對稱性不妨令點P在第一象限，因為等腰三角形，由橢圓的定義知：，則，，由雙曲線定義知：，即，，，所以雙曲線的漸近線為：.故答案為：【點睛】易錯點睛：雙曲線(a>0,b>0)漸近線方程為，而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即)，應注意其區(qū)別與聯(lián)系.14、2【解析】根據(jù)題意，求得過點的直線截圓所得弦長的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【詳解】圓的圓心，半徑，設點為點，因為，故點在圓內(nèi)，當直線過點，且經(jīng)過圓心時，該直線截圓所得弦長取得最大值；當直線過點，且與直線垂直時，該直線截圓所得弦長取得最小值，此時，則滿足題意的直線為，即，又，則該直線截圓所得弦長為；根據(jù)題意，要使得數(shù)列的公差最大，則，故最大公差.故答案為：.15、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當即時等號成立.故答案為【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.16、2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）40【解析】（1）根據(jù)遞推關系，判定數(shù)列是等差數(shù)列，然后求得首項和公差，進而得到通項公式；（2）令，求得，進而根據(jù)數(shù)列的前項和的意義求得當或5時，有最大值，進而求得和的最大值.【小問1詳解】解：∵數(shù)列滿足，∴，∴是等差數(shù)列，設的公差為d，則，即，解得，∴，∴【小問2詳解】令，得，解得，所以當或5時，有最大值，且最大值為18、（1）詳見解析（2）【解析】（1）利用垂直關系，轉化為證明線面垂直，即可證明線線垂直；（2）利用垂直關系，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，利用公式，即可求解二面角的余弦值.【小問1詳解】如圖，取的中點，連結，，，因為，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，且平面，所以，又因為底面時菱形，所以，又因為點分別為的中點，所以，所以，且，所以平面,又因為平面，所以；【小問2詳解】由（1）可知，平面，連結，因為，，點為的中點，所以，則兩兩垂直，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，所以,，，，，，所以,，，設平面的法向量為，則，令，則，，故，設平面的法向量為，所以，因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標準方程是：.【小問2詳解】圓：圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.20、（1）（2）或【解析】（1）設曲線上的任意一點，由題意可得，化簡即可得出（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當斜率不存在時，即可求出、的坐標，從而求出，當直線的斜率存在，設直線方程為，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達定理，則，即可求出，從而求出直線方程，由圓心在直線上，即可求出弦長；【小問1詳解】解：（1）設曲線上的任意一點，由題意可得：，即，整理得【小問2詳解】解：依題意當直線的斜率不存在時，直線方程為，則，則或，即、，所以、，所以滿足條件，此時，當直線的斜率存在，設直線方程為，，，則，消去整理得，由，解得或，所以、，因為，，所以，解得，所以直線方程為，又直線過圓心，所以，綜上可得或；21、（1）（2）【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為,設，用“設而不求法”表示出和.表示出直線PB，把A關于y軸的對稱點為帶入后整理化簡，即可得到，從而可以判斷出直線恒過定點.【小問1詳解】由題意可得：，解得：，所以橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】由題意可知,直線的斜率存在且不為0,設直線的方程為,設設點A關于y軸的對稱點為.聯(lián)立方程組，消去y可得：,所以.因為直線PB的方程為,