安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)冬季聯(lián)賽試題文含解析

PAGE22-安徽省示范中學(xué)培優(yōu)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)冬季聯(lián)賽試題文（含解析）一、選擇題（本大題共12小題．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知全集，，，則等于（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別解出不等式,可得,,再依據(jù)集合的補(bǔ)集、交集定義求解即可【詳解】由題,可得,,則,所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,考查解不等式2.如圖，選自我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》．圖中大正方形邊長(zhǎng)為5，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)小正方形（陰影部分），直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為4．若將一質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入大正方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分的概率是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由勾股定理,可得陰影部分,即小正方形的邊長(zhǎng)為1,所求即為小正方形與大正方形的面積比【詳解】由題,大正方形邊長(zhǎng)為5,直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為4,依據(jù)勾股定理可得直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)為3,則陰影部分,即小正方形邊長(zhǎng)為,依據(jù)面積型的幾何概型公式計(jì)算可得,質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分的概率為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查面積型的幾何概型的概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)，，則的值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故選A.4.下列命題正確的是（）．A.若為假命題，則，都是假命題B.是的充分不必要條件C.命題“若，則”的逆否命題為真命題D.命題“，”的否定是“，”【答案】C【解析】【分析】由邏輯聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)推斷A選項(xiàng)；由不等式的性質(zhì)推斷B選項(xiàng)；由原命題推斷逆否命題的真假來(lái)推斷C選項(xiàng)；由存在性命題的否定的定義來(lái)推斷D選項(xiàng)【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,若為假,則,中有一個(gè)是假命題即可,故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),無(wú)法推出,故不是的充分條件,故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,命題“若,則”的逆否命題為“若,則”,該命題正確,故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,命題“,”的否定是“”,故D錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判定,考查對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞,充分不必要條件,逆否命題,存在性命題的否定的理解5.已知函數(shù)，則的值為（）．A.7 B.9 C.14 D.18【答案】D【解析】【分析】因?yàn)?原式可整理為,分析的性質(zhì)可得,即可求解【詳解】由題,,則,因?yàn)?則,所以.則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,考查對(duì)數(shù)的性質(zhì),考查視察分析的實(shí)力,處理該題時(shí)不應(yīng)干脆代入數(shù)據(jù)處理,而是視察所求之間的關(guān)系,利用函數(shù)性質(zhì)求解,以此簡(jiǎn)化運(yùn)算6.為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位【答案】C【解析】先化簡(jiǎn)變形把變?yōu)?，然后由平移公式有?duì)應(yīng)相等可得，明顯向左平移．7.如圖，在四邊形中，對(duì)角線垂直平分，垂足為，若，則（）．A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】由圖可得,轉(zhuǎn)化,依據(jù)與的位置關(guān)系進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)閷?duì)角線垂直平分,垂足為,所以,,即,所以,則,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,考查平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用,考查垂直向量的應(yīng)用8.函數(shù)f（x）=ln||的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可解除；由,可解除，故選D.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查學(xué)問點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，依據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特別點(diǎn)以剛好函數(shù)圖象的改變趨勢(shì)，利用解除法，將不合題意的選項(xiàng)一一解除.9.若實(shí)數(shù)，滿意約束條件，若的最大值為，則的最小值為（）．A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè),即,且,畫出可行域,平移直線,由圖可得截距最大時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出,代回直線方程,再平移直線找到截距最小時(shí)的點(diǎn),從而求得的最小值【詳解】由題,設(shè),即,因?yàn)?所以,可行域如圖所示,平移直線,在點(diǎn)處截距最大,則此時(shí),即,則；再平移直線,在點(diǎn)處截距最小,此時(shí)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想10.已知函數(shù)，且的最大值與的最大值相等，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的對(duì)稱軸和最大值,將問題轉(zhuǎn)化為存在,使恒成立,再解不等式即可【詳解】由題,當(dāng)時(shí),,因?yàn)榈淖畲笾蹬c的最大值相等,所以存在,使恒成立,則,即,解得或,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值問題,考查利用二次函數(shù)的性質(zhì)處理含參問題,考查轉(zhuǎn)化思想11.祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的宏大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”教材中的“探究與發(fā)覺”利用祖暅原理將半球的體積轉(zhuǎn)化為一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的體積之差，從而得出球的體積計(jì)算公式．如圖（1）是一種“四腳帳篷”的示意圖，用隨意平行于帳篷底面的平面截帳篷，得截面四邊形為正方形，該帳篷的三視圖如圖（2）所示，其中正視圖的投影線方向垂直于平面，正視圖和側(cè)視圖中的曲線均為半徑為1的半圓．仿照上述球的體積計(jì)算方法，得該帳篷的體積為（）．圖（1）圖（2）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題,“祖暅原理”為兩個(gè)等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等,則可將該四角帳篷的體積等價(jià)于一個(gè)棱柱減去一個(gè)棱錐的體積,依據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),求解即可【詳解】由“祖暅原理”可得這個(gè)四角帳篷的體積等價(jià)于一個(gè)四棱柱減去一個(gè)四棱錐的體積,底面積為正方形,對(duì)角線長(zhǎng)為,即邊長(zhǎng)為；高為,所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查類比推理的應(yīng)用,考查幾何體的體積,考查分析推理實(shí)力12.若數(shù)列滿意：對(duì)隨意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”．現(xiàn)有以下數(shù)列：①；②；③；④；其中是數(shù)列的有（）．A.①③ B.②④ C.②③ D.①④【答案】D【解析】【分析】利用特別值的方法可以否定②③,再依據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)證明①④即可【詳解】①,則,,則,故①是“數(shù)列”；②,則,若,則只能是1,2,但,,此時(shí),故②不是“數(shù)列”；③,則,若,則只能是1,2,但,,此時(shí),故③不是“數(shù)列”；④,則,，則,故④是“數(shù)列”故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查對(duì)新定義的理解,考查分析閱讀實(shí)力,考查推理論證實(shí)力二、填空題（本大題共4小題，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．）13.在邊長(zhǎng)為1的正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離大于1的概率為______．【答案】【解析】【分析】由邊長(zhǎng)為1的正六邊形,依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得對(duì)角線均大于1,進(jìn)而得到所求【詳解】由題,依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得正六邊形的對(duì)角線均大于1,如圖,六個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)的狀況數(shù)為,對(duì)角線的條數(shù)為,則頂點(diǎn)中兩點(diǎn)之間距離大于1的概率為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求解,考查古典概型的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題14.在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則_____________．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以由正弦定理可得，，整理得，，所以，又，所以，解得（?fù)值舍去），所以，所以．15.已知曲線與直線，對(duì)隨意的，直線與曲線都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】先分類探討畫出曲線的圖象,再依據(jù)對(duì)隨意的,直線與曲線都有兩個(gè)不同的交點(diǎn),變換直線找到符合條件的狀況,即可得到斜率的范圍【詳解】由題,因?yàn)榍€,則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；畫出圖象,如下圖所示,若對(duì)隨意的,直線與曲線都有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則直線與曲線分別交于兩支,故,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查已知交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參問題,考查數(shù)相結(jié)合實(shí)力,考查分類探討思想16.如圖，設(shè)、是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是與軸、軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作．在此斜坐標(biāo)系中，已知，，夾角為，則______．【答案】【解析】【分析】由題意,,,分別求出,,,進(jìn)而利用數(shù)量積求出夾角即可【詳解】由題,,,所以,則,,則,所以,則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用,考查利用數(shù)量積求向量的夾角,考查運(yùn)算實(shí)力三、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程演算步驟．）17.某蛋糕店安排按天生產(chǎn)一種面包，每天生產(chǎn)量相同，生產(chǎn)成本每個(gè)6元，售價(jià)每個(gè)8元，未售出的面包降價(jià)處理，以每個(gè)5元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．（1）若該蛋糕店一天生產(chǎn)30個(gè)這種面包，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：個(gè)，）的函數(shù)解析式；（2）蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量（單位：個(gè)），整理得下表：日需求量282930313233頻數(shù)346674假設(shè)蛋糕店在這30天內(nèi)每天生產(chǎn)30個(gè)這種面包，求這30天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)及方差．【答案】(1),.(2)平均數(shù)為59,方差為3.8.【解析】【分析】（1）當(dāng)需求量小于30時(shí),利潤(rùn)為賣出的利潤(rùn)減去虧損的部分；當(dāng)需求量大于等于30時(shí),利潤(rùn)即為30個(gè)面包的利潤(rùn)；（2）將需求量代入解析式求出利潤(rùn),再利用平均數(shù)公式及方差公式運(yùn)算即可【詳解】（1）由題,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以,（2）由題,則利潤(rùn)545760606060頻數(shù)346674所以平均數(shù)為；方差為【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,考查平均數(shù)與方差,考查運(yùn)算實(shí)力與數(shù)據(jù)處理實(shí)力,考查分類探討思想18.設(shè)數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出,再由,可得,與題干中條件作差,整理后即可得到通項(xiàng)公式；（2）由（1）可設(shè),利用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和即可【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),②,因?yàn)棰?則①②得,,即,檢驗(yàn),,符合,故（2）由（1）,設(shè),則,所以,所以,則【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式,考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,考查運(yùn)算實(shí)力19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，分別是面，面，面的中心，，．（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？假如存在，懇求出的長(zhǎng)度；假如不存在，求說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在,【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)分別至,由中心可得到中點(diǎn),利用中位線證明相交直線平行即可證得面面平行；（2）先求出三棱錐體積,再由三棱錐各邊的比求出的體積即可；（3）將平面平面轉(zhuǎn)化為平面平面,由長(zhǎng)方體可得,因?yàn)?作出即可,進(jìn)而求得【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)分別至,,,分別是面,面,面的中心,,,是,,的中點(diǎn),,,又,,平面,平面,平面平面（2）由題,,由（1）可得,三棱錐的各棱長(zhǎng)為三棱錐的,（3）存在,是長(zhǎng)方體的側(cè)棱,平面,平面,,連接,作,垂足為,因?yàn)殚L(zhǎng)方體,,,,,,平面,平面,平面,平面平面,由（1）,平面平面,平面平面,此時(shí),,,,即,則,,,【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的證明,考查面面垂直的證明,考查三棱錐的體積,考查運(yùn)算實(shí)力與幾何體的分析實(shí)力20.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在使得，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的處理原則“同增異減”可知單調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞減,則求單調(diào)遞減,進(jìn)而求解即可；（2）當(dāng)時(shí)為常數(shù)函數(shù),符合條件；當(dāng)時(shí)可得,代入可得,整理為關(guān)于的方程,即,設(shè),由求解即可【詳解】（1）由題,設(shè),，單調(diào)遞增,且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,,即,解得（2）當(dāng)時(shí),,是個(gè)常數(shù)函數(shù),存在使得；當(dāng)時(shí),單調(diào),若存在使得,則有,即,則,,在有解,設(shè),則,,,即,【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)已知單調(diào)性求參數(shù)問題,考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,考查運(yùn)算實(shí)力21.有一塊半徑為，圓心角為的扇形鋼板，須要將它截成一塊矩形鋼板，分別按圖1和圖2兩種方案截取（其中方案二中的矩形關(guān)于扇形的對(duì)稱軸對(duì)稱）．圖1：方案一圖2：方案二（1）求依據(jù)方案一截得的矩形鋼板面積的最大值；（2）若方案二中截得的矩形為正方形，求此正方形的面積；（3）若要使截得的鋼板面積盡可能大，應(yīng)選擇方案一還是方案二？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求矩形鋼板面積的最大值．【答案】（1）25（2）（3）方案二,最大值為,理由見解析【解析】【分析】（1）連接,設(shè),則,,則矩形面積為關(guān)于的函數(shù),求出最值即可；（2）連接,設(shè),利用正弦定理和三角形的對(duì)稱性質(zhì)可得,利用解得,進(jìn)而求出正方形面積即可；（3）由（2）得到,求出最大值,與（1）的最值比較即可【詳解】解：（1）連接,設(shè),,則,,,,當(dāng),即時(shí),（2）連接,設(shè),正方形關(guān)于扇形軸對(duì)稱,,則,在中,由正弦定理可得,即,則,正方形,,即,則,代入可得,則（3）選擇方案二,由（2）,對(duì)于方案二,當(dāng),即時(shí),由（1）,應(yīng)選擇方案二【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與正弦定理在幾何中的應(yīng)用,考查利用三角函數(shù)求最值,考查運(yùn)算實(shí)力,考查數(shù)形結(jié)合實(shí)力22.已知圓的圓心在射線上，截直線所得的弦長(zhǎng)為6，且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）已知點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得對(duì)圓上的任一點(diǎn)，都有為定值？若存在，懇求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在,為,【解析】【分析】（1