四川省鄰水實驗中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

四川省鄰水實驗中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．過點，且斜率為2的直線方程是A. B.C. D.3．拋物線有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后經(jīng)過它的焦點．反之，從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點發(fā)出一條平行于x軸的光線，經(jīng)過拋物線兩次反射后，穿過點，則光線從A出發(fā)到達(dá)B所走過的路程為（）A.8 B.10C.12 D.144．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．漸近線方程為的雙曲線的離心率是（）A.1 B.C. D.27．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.8．已知數(shù)列滿足，令是數(shù)列的前n項積，，現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：①；②為單調(diào)遞增的等比數(shù)列；③當(dāng)時，取得最大值；④當(dāng)時，取得最大值其中所有正確結(jié)論的編號為（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④9．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.10．已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，點在外，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.11．設(shè)，向量，，，且，，則（）A. B.C.3 D.412．已知事件A，B相互獨立，，則（）A.0.24 B.0.8C.0.3 D.0.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____14．已知數(shù)列滿足，，則_________.15．已知為坐標(biāo)原點，、分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上不同于、的動點，直線、與軸分別交于點、兩點，則________16．若雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為___________；若，則雙曲線的右焦點到漸近線的距離為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點（1）若點是雙曲線的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若點P的坐標(biāo)為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率18．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個極值點，且，若，求證：.20．（12分）已知函數(shù)（1）求在點處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積21．（12分）在等比數(shù)列中，已知，（1）若，求數(shù)列的前項和；（2）若以數(shù)列中的相鄰兩項，構(gòu)造雙曲線，求證：雙曲線系中所有雙曲線的漸近線、離心率都相同22．（10分）已知圓M經(jīng)過原點和點，且它的圓心M在直線上.（1）求圓M的方程；（2）若點D為圓M上的動點，定點，求線段CD的中點P的軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量、平面的法向量，應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示，求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】以點D為坐標(biāo)原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，，設(shè)面的法向量為，有，取，則，所以，，，則直線與平面所成角的正弦值為故選：D.2、A【解析】由直線點斜式計算出直線方程.【詳解】因為直線過點，且斜率為2，所以該直線方程為，即.故選【點睛】本題考查了求直線方程，由題意已知點坐標(biāo)和斜率，故選用點斜式即可求出答案，較為簡單.3、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點為，設(shè)光線第一次交拋物線于點，第二次交拋物線于點，過焦點F，準(zhǔn)線方程為：，作垂直于準(zhǔn)線于點，作垂直于準(zhǔn)線于點，則，，，，故選：C4、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義寫出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C6、B【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可確定a,b的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率.【詳解】因為雙曲線近線方程為，故雙曲線為等軸雙曲線，則a=b,故離心率為，則，故選：B.7、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因為直線與垂直，故選：A.8、B【解析】求出，即可判斷選項①正確；求出，即可選項②錯誤；求出，利用單調(diào)性即可判斷選項③正確；求出，即可判斷選項④錯誤，即得解.【詳解】解：因為，①所以，，②①②得，，整理得，又，滿足上式，所以，因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，故①正確；，因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，其中首項，公比為的等比數(shù)列，因為，，所以數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，故②錯誤；，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)最大時，有最大值，因為，所以時，最大，即時，取得最大值，故③正確；設(shè)，由可得，，解得或，又因為，所以時，取得最大值，故④錯誤；故選：B9、B【解析】由題設(shè)命題的描述判斷、的真假，再判斷其復(fù)合命題的真假即可.【詳解】對于命題，僅當(dāng)時，故為假命題；對于命題，由且開口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B10、A【解析】先求出向量，再利用空間向量中點到平面的距離公式即可求解.【詳解】解：由題知，點在內(nèi)，點在外，所以又向量為平面的法向量所以點到平面的距離為：故選：A.11、C【解析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，求得的值，得到向量，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，因為，可得，解得，即，又因為，可得，解得，即，可得，所以.故選：C.12、B【解析】利用事件獨立性的概率乘法公式及條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】因為事件A，B相互獨立，所以，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】聯(lián)立直線得，由無公共點得，進(jìn)而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.14、【解析】由已知可知即數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項公式，即可求.【詳解】由題意知：，即，而，∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，有，∴，則.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項，進(jìn)而得到的通項公式寫出項.15、3【解析】求得坐標(biāo)，設(shè)出點坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得兩點的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：16、①.②.3【解析】由漸近線方程知，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率的定義求雙曲線的離心率，由已知可得右焦點為，應(yīng)用點線距離公式求距離.【詳解】由題設(shè)，，則，當(dāng)時，，則雙曲線為，故右焦點為，所以右焦點到漸近線的距離為.故答案為：，3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因為且，解得，可得雙曲線方程，進(jìn)而可得的漸近線方程（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，再由兩點之間距離公式得，解得，進(jìn)而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點是雙曲線的一個焦點，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設(shè)直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖，過點作，交直線于點，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過點作，交直線于點，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查線面垂直的判定和線面角的求法，解題的關(guān)鍵是通過過點作，交直線于點，連接，然后結(jié)合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題19、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論【小問1詳解】解：當(dāng)時，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調(diào)遞減，，而，即，20、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程；（2）首先求出兩函數(shù)的交點坐標(biāo)，再利用定積分及微積分基本定理計算可得；【小問1詳解】解：因為，所以，所以切線的斜率，切線過點，切線的方程為，即【小問2詳解】解：由題知，即解得或，即或或，直線與曲線于則所求圖形的面積21、（1）；（2）證明過程見解析.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)、等比數(shù)列和等差數(shù)列前項和公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合雙曲線漸近線方程和離心率公式進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，因此，所以，所