安徽省“皖江聯(lián)盟”2025屆高三年級上冊第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

安徽省“皖江名校聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若集合4={久|久<2},B={x[(x—l)2<4},則aU8=()

A.{x\x<2}B.{%|-1<%<2}C.{x\x<3}D.{x|-1<x<3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=(l+i)2,則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)萬在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知平面向量五、石滿足』=(1,8)，口一石|=4,則回的取值范圍是()

A.[2,6]B.[2,273]C.[273,6]D」l,2避]

4.樹人學(xué)校開展學(xué)雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生,分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每

小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有()

A.20種B.40種C.60種D.80種

5.有三臺車床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出

來的零件混放在一起，已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%,任取一個零

件，則它是次品的概率()

A.0.054B.0.0535C,0.0515D.0.0525

6.已知直線久+y-k=0(k>0)與圓/+*=4交于不同的兩點(diǎn)4B,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|02+。用》書|

荏I，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.(A/3,76)B.[也洞C.,2避)D」會,2避)

\_i_4>0

7.已知函數(shù)/(%)=7x0(%)=壯+以+贈若方程=0有且僅有5個不相等的整數(shù)解，

log2\x\fx<0

則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于()

A.-28B.28C.-14D.14

8.“三角換元思想”是三角函數(shù)中的基本思想.運(yùn)用三角換元法可以處理曲線中的最值問題.譬如：已知/

+y2=r2(r>0),求%+y的最大值.我們令久=rcos0,y=rsin0,則/+y=r(cos0+sin。).這樣我們

就把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.已知Z(%,y)是曲線%3+y3-6%y=0(%>0,y>0)上的點(diǎn)，則％2+y2

的最大值為()

A.12B.14C.16D.18

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

第1頁，共10頁

A.直線BC與平面ABCWi所成的角等于卷

B,四棱錐C-ABCWi的體積為。

TT

C,兩條異面直線D1C和BC1所成的角為w

D.二面角C-BCi-D的平面角的余弦值為一§

ra-1n

10.已知數(shù)列{an}滿足由+2a2+?--+2an=n-2,則()

的前項和為心

A.an=n+1B.{an}nj,

C.{(-l)n/J的前100項和為100D.{|an—5|}的前30項和為357

n.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的數(shù)字

“8”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點(diǎn)M(-a,0),N(a,0)距離之積等于a2(a>0)的動

點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線,曲線C是當(dāng)a=2時的雙紐線，P是曲線C上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是［-2,2］B.|0P|的最大值是2逆

C.APMN面積的最大值為2D.\PM\+忻州的取值范圍是［4,4姆］

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知cosa+cos0=sina+sin￡=貝!Jcos(a—￡)=

13.橢圓C：苧+y=1的左右焦點(diǎn)分別為尸1、尸2，點(diǎn)M為其上的動點(diǎn)當(dāng)NF1MF2為鈍角時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)

的取值范圍是

14.“算24”游戲是以除去大小王的52張撲克牌為載體，任意抽取4張，把撲克牌對應(yīng)的4個整數(shù)

(4=1J=11,Q=12,K=13)通過加減乘除(沒有乘方開方)以及括號運(yùn)算，使最后的運(yùn)算結(jié)果是24的一個

數(shù)學(xué)游戲.因為和撲克牌的花色無關(guān)，所以游戲可以看作在集合M={n\n<13,n6N*}={1,2,3,…,13}中每

次任選1個數(shù)，選4次得到4個整數(shù)，記為數(shù)組(a力,c,d),因為算24和選取4個數(shù)的順序無關(guān)，可以假設(shè)

第2頁，共10頁

a<b<c<d,比如(3,4,6,11),顯然游戲不同的牌組就對應(yīng)不同的數(shù)組，那么所有不同的數(shù)組一共有

個.如果數(shù)組為(1,6,6,8),寫出一個結(jié)果為24的算式.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在“BC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,面積為S,且4s=y/^(b2—a2—c2>).

(1)求B；

(2)若a=2,b=2",。為AC邊的中點(diǎn)，求BD的長.

16.(本小題12分)

如圖，四棱錐S—4BCD中，底面4BCD是矩形，SA=AD=2,AB=2也，SC=4,M是S8的中點(diǎn)，

MC1BD.

S

(1)證明：S4，平面4BCD；

(2)若點(diǎn)P是棱SC上的動點(diǎn)，直線力P與平面力MC所成角的正弦值為嚶，求胎的值.

1U3L

17.(本小題12分)

高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.

若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4

分，答案中有錯誤選項的得。分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為p(O<p<1),有

3個選項正確的概率為1-p.在一次模擬考試中：

(1)小明可以確認(rèn)一道多項選擇題的選項/是錯誤的，從其余的三個選項中隨機(jī)選擇2個作為答案，若小明

該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3,求p；

(2)小明可以確認(rèn)另一道多項選擇題的選項4是正確的，其余的選項只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只

選/不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機(jī)選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機(jī)選擇2

個，共選3個.若p=|,以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個方案？

18.(本小題12分)

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已知雙曲線C：a―￡=l(a>0力〉0)的離心率為2,且經(jīng)過點(diǎn)(2,3).

(1)求C的方程；

(2)若直線，與C交于48兩點(diǎn)，且科?布=0(點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求|4B|的取值范圍.

19.(本小題12分)

給出以下三個材料：

①若函數(shù)/(x)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)(。)的導(dǎo)數(shù)叫做八支)的二階導(dǎo)數(shù)，記作尸'(尤).類似的，函數(shù)/(X)的

二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)人嗎的三階導(dǎo)數(shù)，記作「〃(久)，函數(shù)/(久)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)人嗎的四階

導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)/(X)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)的"階導(dǎo)數(shù)，記作f(n)(x)=［尸

n>4；

②若幾GN*,定義?1!=nx(n—1)x(n—2)x???x3x2x1；

③若函數(shù)f。)在包含町的某個開區(qū)間(a,6)上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任意％e(a,b)有g(shù)(X)=/(%))+

竿(乂―劭)+今凡)2+-+乃竽2Q—%o)n+…，我們將9(%)稱為函數(shù)/(%)在點(diǎn)％=劭處的泰勒展

開式.

11

例如/\(久)=/在點(diǎn)久=0處的泰勒展開式為91。)=1+%+-%2+---+^xn+■■-

根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

(1)求出/0)=cosx在點(diǎn)X=0處的泰勒展開式g(x)；

(2)用/'(x)=cosx在點(diǎn)x=。處的泰勒展開式前三項計算cos0.3的值,精確到小數(shù)點(diǎn)后4位；

(3)現(xiàn)已知萼=(1一§(1+§(1-勺(1+另…(1-勺(1+勺…,試求器=1+的值?

第4頁，共10頁

參考答案

1.C

2.C

3.X

4.C

5.B

6.C

7.4

8.D

9.ABC

10.AD

11.BCD

12T

13.(號，呼)

14.1820；6+(1-6+8)

15.解：(1)由三角形面積公式及條件可知：4S=道(/?2-。2一。2)=2acsinB,

由余弦定理知扶—q2—c2=—2accosB,

所以—V^cosB=sinBntanB=—避，

因為BG(0,TT),所以B=竽；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)余弦定理有6(2+c2-b2=2accosB0c2+2c-24=0,

所以c=4,易知2麗=瓦？+品，

所以4麗之=前2+阮2+2就.前=16+4+2x2x4x(-1)=12,

即BO=73.

16.解：（1）取4B的中點(diǎn)N,連接MN,CN,BD與CN交于Q點(diǎn)、,

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在底面矩形48CD中，易知tan/DBC=照="=tan乙BNC=黑,

DC.bIV

所以4BNC=4DBC0BD1CN,

因為Jl〃r_￡?D，MCCNC=C,MC、NCu平面CMN,

所以BD_L平面CMN,

因為MNu平面CMN,所以BD1MN,

易知MN〃S4所以BD1SA,

由題意可知"2=AD2+AB2=12=SC2-SA2,

所以SA1AC,而AC,BD相交，且2&B0u平面ABC。，

所以SA1平面ABCD；

(2)由上可知SA1AD,SA1AB,AB1AD,

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以力。、AB,4S分別為x軸、y軸、z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0)、5(0,0,2),C(2,2避,0)、8(0,2也0)、M(0,也,1),

則而=(2,2避,0),AM=(0,72,1),

設(shè)平面力MC的一個法向量為竊=(x,y,z),

則郎.杭2X2"y=Q°-取久="，則有=(A/2-1,72),

設(shè)#=；1&=；1(2,2”,-2)=(2；1,2&；1,一2；1),其中0W/1<1,

貝IJ而=無+可=(0,0,2)+(22,2722,-22)=(242也;1,2—22),

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因為直線4尸與平面4MC所成角的正弦值為嚅，

則|cos(而，砌=叵型|2%一?|回

1、,I|m|?\AP\拜?"67—87+410

解得即蒙=).

412>C4,

17.解：(1)根據(jù)題意可知，X=0,4,6,

若該題有2個選項正確，則P(X=0)=|p,P(X=6)=],

若該題有3個選項正確，則P(X=4)*x(l—p)=l—p,

則分布列如下：

X046

21

P3P1—p尹

所以E(X)=0x加2+4x(l-p)+6x11p=4-2p=3,

解之得p=|；

(2)不妨記一道多選題“有2個選項正確”為事件

“有3個選項正確”為事件心，

若小明選擇方案①，

記小明該題得分為X,貝UX的可能取值為2,3,對應(yīng)概率為:

P(X=2)=P02)=泉2P(X=3)=PQ41)=I1，

故E(X)=2x>23x冷17；

若小明選擇方案②，

記小明該題得分為匕貝葉的可能取值為0,4,6,對應(yīng)概率為:

P(y=0)=?(/!!)xg+P(/l2)x|=|x|+|x|=^

P(y=4)=P(X2)X|=|X|=^

P(r=6)=P(41)xg=|x|=i

故E(y)W0湍4+4x“A6x；1等99

若小明選擇方案③，

第7頁，共10頁

記小明該題得分為Z,則Z的可能取值為0,6,對應(yīng)概率為：

P(Z=0)=P(41)X3+「(&)x=|+|x|=|,

P(Z=6)=P(^2)x^|-|x|=t>

79174

SfcE(Z)=0x-+6x-=—

E(Z)<E(X)<E(Y),

故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案②.

±-4=i

18.解：(1)由題意可得'a2+￡

a2

解得次=1,按=3,

故雙曲線方程為C：%2一q=1.

(2)當(dāng)直線I斜率不存在時，可設(shè)2(辦,％4),B(xA,-yA),

則a=(以,丫4),OB=(XA-YA),

將其代入雙曲線方程得/-苧=1，

又方-OB=XA-y\=o，解得=±誓

此時=2\yA\=如,

當(dāng)直線，斜率存在時，設(shè)其方程為丫=依+血，設(shè)8(%2》2)，

y=kxm

聯(lián)立方程%2_尤=i，消去y得,

,3

(3—k2)x2—2kmx—m2—3=0,

△=4k2m2+4(m2+3)[3—Ar2)=12(nr-A:2+3)>0

則瓦？?~OB=%ix2+y，2

=巧冷+(k%i+峭(k%2+m)

第8頁，共10頁

2

=(1+fc)%i%2++X2)+租2

=(1++m2=0,

22

化簡得3/c2+3=2m,止匕時/=6(/c+9)>0,

1fe2X2

所以|4B|="1+的XiFl=V+'A/(I+x2)-4%ix2

—m2—3

12(m2—k2+3)

=+k2

~~(3—H)2

=,/6xI+ION+9

J妙―6H+9

=^/6X+16k2,

N7k4-6k2+9

當(dāng)k=0時，此時|4B|=A/6,

當(dāng)kKO時，此時|4B|=M1+運(yùn)得

???3-fc2*0,

???1+卷>2

16

故妙+三_6>0,

k2

1

因止匕|4B|=J+k2+1-