江西省廣昌某中學(xué)2025屆高考模擬（三）數(shù)學(xué)試題（含解析）

江西省廣昌一中2025屆高考全真模擬（三）數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1-z

2.如圖，平面四邊形中，ABLBC,AB=6,BC=2,AABD為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻

折，使點(diǎn)。移動(dòng)至點(diǎn)P,且則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

A.8%B.6兀C.4%

已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足2s“=2田+/1,則X的值是（）

C.-2

4.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略

不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）

￡

x-2,(x>10)

5.設(shè)/(%)=，則”5)=()

yw+6)],(x<io)

用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是（

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

7.在AABC中，“1皿母3!1。＞1”是“入45。為鈍角三角形”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知平面a,夕，直線/滿足/ua,貝！是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

9.復(fù)數(shù)的2=-l-2z〈z為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.已知集合4={1|1<X424},B=<x\y=-,1=>,則=()

、，—f+6%—5,

A.{x|x>5)B.{x|5<x<24}

C.{x|xVl或xN5}D.{x[5<x<24}

11.設(shè)等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S〃，若。3=2,〃]+%=5,則S6=()

A.10B.9C.8D.7

12.已知數(shù)列{%}中，q=l,%=2,且當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a.—4=2;當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，%+2+1=3(為+1).則此數(shù)

列的前20項(xiàng)的和為()

1QQ11ool2ool2o

A.^-—^+90B.^—^+100C.^—^+90D.^—^+100

2222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)八％)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為了'(%)，若函數(shù)y=f'(x)沒有零點(diǎn)，且f[f(%)-20191=2019,當(dāng)

g(x)=sinx—cosx—西在上與“X)在R上的單調(diào)性相同時(shí)，則實(shí)數(shù)化的取值范圍是.

14.某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為.

俯視圖

15.“六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開

展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的

不同安排種數(shù)為.

16.已知a=logo302〃=log20.2,則q+力."（填“>”或“="或

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）S“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且4—S,=g〃—g"2.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）若b“=2%-5a“,求數(shù)列也｝中最小的項(xiàng).

18.（12分）如圖，點(diǎn)T為圓0：必+/=1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)?分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A,B,連接

54延長(zhǎng)至點(diǎn)尸，使得麗=而，點(diǎn)尸的軌跡記為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）若點(diǎn)A,5分別位于X軸與y軸的正半軸上，直線與曲線C相交于Af,N兩點(diǎn)，且|人卻=1,試問在曲線

C上是否存在點(diǎn)Q,使得四邊形OMQN為平行四邊形，若存在，求出直線/方程；若不存在，說明理由.

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=三，?一1（“eH0）.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/（%）在（0"（。））處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（九）沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.（12分）已知六面體ABCDEF如圖所示，BE1平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD=y/5,

FM1

AB=AF=AD=2,"是棱ED上的點(diǎn)，且滿足——=-.

MD2

E

(1)求證：直線8/〃平面加4C；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

21.(12分)為了加強(qiáng)環(huán)保知識(shí)的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)設(shè)置了四個(gè)箱子，分別寫有“廚余垃

圾，，、“有害垃圾，，、“可回收物，，、，，其它垃圾，，；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所

有卡片中隨機(jī)抽取20張，按照自己的判斷將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得5分，投放

錯(cuò)誤得。分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得。分.從所有參賽選手

中隨機(jī)抽取20人，將他們的得分按照［0,20］、(20,40］,(40,60］、(60,80］,(80,100］分組，繪成頻率分布直方圖

如圖：

(1)分別求出所抽取的20人中得分落在組［0,20］和(20,40］內(nèi)的人數(shù)；

(2)從所抽取的20人中得分落在組［0,40］的選手中隨機(jī)選取3名選手，以X表示這3名選手中得分不超過20分的

人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=msinx+J^cosx(根〉0)的最大值為2.

(I)求函數(shù)"X)在［。,河上的單調(diào)遞減區(qū)間;

（II）AABC中,7（A—工）+/（3—工）=4#sinAsinB,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,dc,且C=60°,c=3,求

44

AABC的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

2+i_(2+z)(l+i)_2+3，+，2_1+3，_13.

T7-(l-z)(l+z)-2—-2—521

本題正確選項(xiàng)：A

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

2.A

【解析】

將三棱錐尸-A3C補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角形

的外心連線上，在中,計(jì)算半徑08即可.

【詳解】

由AB_LBC,PB±BC,可知BCJ_平面PAB.

將三棱錐尸-A3C補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同.

由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，

記ZXABP的外心為E，由/XABD為等邊三角形，

Be

可得BE=1-又OE——^―=1,故在Rt^OBE中，OB=y/2，

此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8萬(wàn).

故選：A

本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

3.C

【解析】

利用s,先求出an,然后計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

4+2

根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時(shí)，2s1=2。1=4+4,二。]=(一,

故當(dāng)〃N2時(shí)，an=Sn-Sn_x=T-\

???數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，

則4=1,故=0=1,

解得4=—2,

故選C.

本題主要考查了等比數(shù)列前九項(xiàng)和S”的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).

4.C

【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定

此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為7122+62=66，短軸長(zhǎng)為6,

所以橢圓離心率e=—=2叵，

V16舟5

(-21]

所以ee0,——.

故選：C

本題考查了楠圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉(zhuǎn)化為求定10內(nèi)的函數(shù)值，代入即可求出其值.

【詳解】

x-2(x>10)

,/⑴/[/(x+6)](x<10)>

?V(5)="(1)]

=/⑼="(15)]

=/(13)=1.

故選：B.

本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

試題分析：畫出截面圖形如圖

顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C.

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論.

7.C

【解析】

分析：從兩個(gè)方向去判斷，先看tanAtan5>l能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性

不成立，再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，也推不出tanAtan5>l成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結(jié)果.

詳解：由題意可得，在AABC中，因?yàn)閠anAtan6>l,

所以smAsm'>],因?yàn)椤?lt;人(萬(wàn),0<3(不，

cosAcosB

所以sinAsinB>0,cosAcosB>0,

結(jié)合三角形內(nèi)角的條件，故A,B同為銳角，因?yàn)閟inAsin5>cosAcos6,

JI

所以cosAcoSjB—sinAsin5v0,即cos(A+5)<。，所以一<A+JB<?,

2

71

因此0<C<一,所以AA5c是銳角三角形，不是鈍角三角形，

2

所以充分性不滿足,

反之，若AABC是鈍角三角形，也推不出“tanBtanC>l,故必要性不成立，

所以為既不充分也不必要條件，故選D.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，余弦的和角公式,

誘導(dǎo)公式等，需要明確對(duì)應(yīng)此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.

8.A

【解析】

戊，夕是相交平面，直線/u平面a,則反之。，，，直線/滿足/ua,貝必上，或/〃/

或/u平面￡,即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

解:已知直線/u平面a,則“/，知”n“a"L￡”,

反之。，尸，直線/滿足/ua,貝網(wǎng),，或/〃/或/u平面少，

是的充分不必要條件.

故選：A.

本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力.

9.C

【解析】

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.

【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡(jiǎn)單題.

10.D

【解析】

首先求出集合3,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；

【詳解】

解：V-X2+6X-5>0>解得1<X<5

8={x11<%<5},05={115WxW24}.

故選：D

本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

根據(jù)題意%=q+2d=2,4+。4=2q+3d=5,解得弓=4,J=-l,得到答案.

【詳解】

%=%+2d=2,%+%=2%+3d=5,解得％=4,j=-i,故既=6%+152=9.

故選：B.

本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

12.A

【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前九項(xiàng)和公式求出前20項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出前20項(xiàng)

的偶數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而可求解.

【詳解】

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a,.-=2,

則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，%+2+1=3(4+1)，

則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加1是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.

所以S20=%+%+43+,?,+〃20="1+°3+??,+%9++/+?,,+〃20

1f)xQ

=10x1+--—x2+(tz2+l)+(tz4+l)+---(a20+1)-10

3(1—3)3n-3

=100+-^----^--10=------+90-

1-32

故選：A

本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前九項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(F-1]

【解析】

由題意可知：Ax)為R上的單調(diào)函數(shù)，則/(X)-201T為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知/Xx)為R上的增函數(shù)，則g?)

在[-友，單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則g(x)..O恒成立，則鼠0sin(x+?),?"，根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得上的

取值范圍.

【詳解】

若方程r(x)=o無(wú)解，

則/'(%)>0或f'(x)<0恒成立，所以/(X)為R上的單調(diào)函數(shù),

VxeT?都有f[f{x)-2019」=2019,

則廣⑴-2019,為定值,

設(shè)"〃尤)-2019、，則/(x)=r+2019,,易知了(幻為R上的增函數(shù),

g(x)=sinx—cosx—kx,

gr(x)=sinx+cosx-k=y/2sin(x+-k,

4

又g(x)與/(%)的單調(diào)性相同，

??.g。)在R上單調(diào)遞增，則當(dāng)xe-g],g'(x)..O恒成立，

卷，'兀萬(wàn)1口+n71：3啊.,7TV2II

當(dāng)尤e[——，一]時(shí)，x+———，一],sin(x+—)e[------,U,

2244442

A/2sin(x+—)e[-1,42],

4

此時(shí)匕，-1,

故答案為：(-co,-l]

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔

題.

4

14.-

3

【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.

【詳解】

此四棱錐的高為0,底面是長(zhǎng)為近，寬為2的矩形,

所以體積丫=』乂2義0義尬=多.

33

4

所以本題答案為一.

3

本題考查幾何體與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確

理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.

15.24

【解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來全排列，

同時(shí)它們內(nèi)部也全排列.

【詳解】

第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，有42=2種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全

排有￡團(tuán)=12種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為

盤國(guó)區(qū)=24.

故答案為：L

本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用

插入法.

16.>

【解析】

注意到。>1力<0,故只需比較4+_1與1的大小即可.

ab

【詳解】

由己知，a>l,b<0,故有a><0,a>".又由工f-nlogozOB+logozZulogozOSvl,

ab―一-"

故有a+b>ab.

故答案為：>.

本題考查對(duì)數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)an=n-(2)-7.

【解析】

（1）由4—s”可得出a“M—s“+i=ge+i）—g（”+i）2,兩式作差可求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求得b“=2"-5n,利用數(shù)列的單調(diào)性的定義判斷數(shù)列｛勿｝的單調(diào)性，由此可求得數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)的值.

【詳解】

（1）對(duì)任意的“eN*，由a“_S“=5〃—得a,+]_Sm+]=5（〃+1）_5（"+1）2,

兩式相減得?！?〃，

因此，數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為alt=n；

（2）由⑴得包=2”-5〃,則％-a=[23-5（〃+1）]-（2"-5〃）=2"-5.

當(dāng)"W2時(shí)，bn+1-bn＜0,即：.瓦＞2＞瓦；

當(dāng)時(shí)，bn+l-bn＞0,即b“+i＞b“：.々＜“（瓦＜….

所以，數(shù)列也｝的最小項(xiàng)為a=23-5x3=-7.

本題考查利用S"與%的關(guān)系求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列中的最小項(xiàng)，考查推理能力與計(jì)算能力,

屬于中等題.

2

18.（1）—+y2=1（2）不存在；詳見解析

4

【解析】

（1）設(shè)T（x0,%）,P（x,y）,通過麗=而，即4為PB的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解，點(diǎn)尸的軌跡C的方程.

產(chǎn)

（2）設(shè)直線/的方程為丁=履+乙先根據(jù)|AB|=1,可得±+/=1,①，再根據(jù)韋達(dá)定理，點(diǎn)在橢圓上可得

4t2=4k2+l，②,將①代入②可得4/+左2+i=o,該方程無(wú)解，問題得以解決

【詳解】

（1）設(shè)P（羽y）,則A（%,0）,3（°，%），

由題意知麗=衣，所以A為PB中點(diǎn)，

x

U2

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得〈，即2,

[o=A2±Z、「

丫2

又點(diǎn)T在圓。：X2+/=l±,故滿足/2+寸=1,得L+2=1.

4-

r2

二曲線C的方程土+J=1.

4-

(2)由題意知直線/的斜率存在且不為零，設(shè)直線/的方程為y=

因?yàn)閨AB|=|O刀=1,故—(|+〃=1,即±=i①,

y=kx+t

消去y得：(4左2+1)r+8H尤+4(廠-1)=0,

聯(lián)立《X221

—+y=1

14'

設(shè)■(4%),N(x2,y2),

Skt4(t2-1)

軟2+1'4公+1

X+y,=k(x.+xA+2t=k\--|+2z=―—

“，k1,I4/+1J4/+1

因?yàn)樗倪呅巍鉓QN為平行四邊形’故。一言，

整理得4/=442+1②,

將①代入②，得4/+左2+i=o,該方程無(wú)解，故這樣的直線不存在.

本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法、滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

19.(1)2x—y—2=0.(2)ci>—7

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;

(2)利用導(dǎo)數(shù)得出g(x)=?的單調(diào)性以及極值，從而得出g(x)的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交

點(diǎn)問題，由圖，即可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)“=1時(shí)，/(耳=9一1，尸(%)=爰

.?.切線斜率左=/10)=2,又切點(diǎn)(0,—2)

???切線方程為y+2=2(x-0),即2x-y-2=0.

(2)/(x)=Oo^^=lo^^=a,t己g(x)=^^,令g(x)=2廣=0得尤=2

eee

g1%)>0nx<2；g'(%)<0=>x>2

.*.g(%)的情況如下表：

X3,2)2(2，+?)

g'(x)+0—

g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

當(dāng)x=2時(shí)，8(%)取極大值8(2)=(

又X--00時(shí)，g(x)->-00；Xf+co時(shí)，g(x)-0

若/(X)沒有零點(diǎn)，即y=g(x)的圖像與直線y=a無(wú)公共點(diǎn)，由圖像知。的取值范圍是

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題.

20.(1)證明見解析(2)《垂

18

【解析】

(1)連接3D，設(shè)BDcAC=O,連接MO.通過證明MO/ABF,證得直線〃平面M4c.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面MAC和平面MCD的法向量，計(jì)算出二面角A-MC-。的正弦值.

【詳解】

(1)連接6。，設(shè)BDcAC=O,連接MO,

因?yàn)锳D〃3C,所以△BOCsA￡)Q4,所以空=422

OBBCT

??MD2DO

在AFBD中，因?yàn)椤?/p>

MF1OB

所似MO"BF,且MOu平面MAC,

故8尸〃平面MAC.

(2)因?yàn)锳D〃BC,AB=2,BC=1,AD=2,CD=^5,所以ABLAD,

因?yàn)锽E"AF,Ml平面ABC。，所以”，平面ABC。，

所以AF_LAB,AFYAD,

取AB所在直線為x軸，取AO所在直線為丁軸，取AE所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由已知可得8(2,0,0),C(2,l,0),。(0,2,0),￡(2,0,3),尸(0,0,2)

…一-…FM1

所以。尸=(0,—2,2),因?yàn)椤?—,

MD2

所以DM=jDF

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,1,g

所以*=(2,1,0),W=0,|,|,設(shè)行=(x,y,z)為平面MAC的法向量,

2x+y=0

m-AM=0

則__.n24c令x=l解得y=-2,z=1,

m-AC=0—y+—z=0

[33

所以加二(1,—2,1)，即加=(1,—2,1)為平面MAC的一個(gè)法向量.

加=12，mCD=(-2,1,0)

同理可求得平面MCD的一個(gè)法向量為n=(1,2,2)

1-4+2___1

所以cos〈〃z,〃〉=

V6x3-376

所以二面角A—MC—。的正弦值為正運(yùn)

本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

21.（1）所抽取的20人中得分落在組［0,20］和（20,40］內(nèi)的人數(shù)分別為2人、3人；（2）分布列見解析，EX=12.

【解析】

（1）將20分別乘以區(qū)間［0,20］、（20,40］對(duì)應(yīng)的矩形面積可得出結(jié)果；

（2）由題可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2,利用超幾何分布概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概

率，可得出隨機(jī)變量X的分布列，并由此計(jì)算出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

（1）由題意知，所抽取的20人中得分落在組［0,20］的人數(shù)有0.0050x