2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章計數(shù)原理測評訓練含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE1-第五章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024山西朔州一模)若2x+2xn的二項式綻開式中二項式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)A.7 B.6 C.5 D.4答案C解析∵2x+2xn的二項∴2n=32,∴n=5.2.(2024北京朝陽期末)一般地,一個程序模塊由很多子模塊組成,一個程序模塊從起先到結(jié)束的路途稱為該程序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個計算機程序模塊,則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數(shù)是()A.6 B.14 C.49 D.84答案C解析依據(jù)分類分步計數(shù)原理可得(2+2+3)×(4+3)=49(種).3.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù)a,b,組成復數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有()A.36個 B.42個 C.30個 D.35個答案A解析由題意知,b只能從1,2,3,4,5,6中選一個數(shù)字,有6種選法,a從剩余的6個數(shù)字中選一個數(shù)字,共6種選法,故滿意題意的虛數(shù)有6×6=36(個).4.2x-1x23A.-6 B.-2 C.2 D.6答案A解析2x-1x23的綻開式的通項Tk+1=(-1)k·(2)3-kC3kx3-3k,令3-3k=0,得5.(2024四川綿陽期末)設(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則a1+a3+a5=()A.61 B.121 C.122 D.224答案C解析∵(1+2x)5=a0+a1x+…+a4x4+a5x5,∴令x=1,得(1+2×1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243;令x=-1,得[1+2×(-1)]5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1.∴a1+a3+a5=12×(243+1)=1226.(2024河北衡水模擬)(x2+x+1)x-2x5的綻開A.40 B.-80 C.120 D.140答案B解析∵x-2x5的綻開式的通項為Tk+1=C5k·(-2)k·∴(x2+x+1)x-2x5的綻開7.(2024山東聊城二模)2024年是脫貧攻堅年,為順當完成“兩不愁,三保障”(“兩不愁”即不愁吃、不愁穿,“三保障”即義務教化、基本醫(yī)療、住房平安有保障),某市擬派出6人組成三個幫扶隊,每隊兩人,對脫貧任務較重的甲、乙、丙三個縣進行幫扶,則不同的派出方法種數(shù)為()A.15 B.60 C.90 D.540答案C解析先把6個人平均分成3組,有C62C42C22A33=15種方法,再把這3組分派到甲、乙、丙三個縣,8.楊輝三角是楊輝的一大重要探討成果,現(xiàn)將楊輝三角中的數(shù)換為正整數(shù),形成三角數(shù)表,并按如圖規(guī)律排列(例如9為第4行第3列,12為第5行第4列),則2019為()A.第63行第5列 B.第63行第3列C.第64行第6列 D.第64行第3列答案D解析由題意及圖形知,第n行有n個數(shù)(n∈N+),奇數(shù)行的數(shù)字從左向右遞減,偶數(shù)行的數(shù)字從左向右遞增,∴在該圖中,前n(n∈N+)行共有n(n∵63×642=2016<202464×652=2080>2024∴在前63行,共有2016個數(shù),此時2024位于第64行.∵偶數(shù)行的數(shù)字從左向右遞增,∴第2024為第64行第3列.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.下列等式正確的是()A.CB.CC.C51+D.C答案ABD解析由組合數(shù)的運算性質(zhì)知:C50+C51+C52+C10.下列關于(a-b)10的說法,正確的是()A.綻開式中的二項式系數(shù)之和是1024B.綻開式的第6項的二項式系數(shù)最大C.綻開式的第5項或第7項的二項式系數(shù)最大D.綻開式中第6項的系數(shù)最小答案ABD解析由二項式系數(shù)的性質(zhì)知C100+C101+C102+…+C1010=210=1024,故A正確;二項式系數(shù)最大的項為C105,是綻開式的第6項,故B正確,C錯誤;由綻開式的通項為Tk+1=C10ka10-k(-b)k=(-1)kC10k11.(2024江蘇連云港期末)為弘揚我國古代的“六藝文化”,某夏令營主辦單位支配利用暑期開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程,每周一門,連續(xù)開設六周,則下列說法正確的是()A.某學生從中選3門,共有30種選法B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周,共有240種排法C.課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周,共有144種排法D.課程“樂”不排在第一周,課程“御”不排在最終一周,共有504種排法答案CD解析依據(jù)題意,依次分析選項:對于A,某學生從中選3門,6門中選3門共有C63=20(種),故A對于B,課程“射”“御”排在不相鄰兩周,先排好其他的4門課程,有5個空位可選,在其中任選2個,支配“射”“御”,共有A44A52=480種排法對于C,課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周,由捆綁法分析,將“禮”“書”“數(shù)”看成一個整體,與其他3門課程全排列,共有A33A44=144種排法對于D,課程“樂”不排在第一周,課程“御”不排在最終一周,分2種狀況探討,若課程“樂”排在最終一周,有A55種排法,若課程“樂”不排在最終一周,有C41C41A44種排法,12.某中學為提升學生勞動意識和社會實踐實力,利用周末進社區(qū)義務勞動,高三一共6個班,其中只有1班有2個勞動模范,本次義務勞動一共20個名額,勞動模范必需參與并不占名額,每個班都必需有人參與,則下列說法正確的是()A.若1班不再安排名額,則共有C204種B.若1班有除勞動模范之外學生參與,則共有C195種C.若每個班至少3人參與,則共有90種安排方法D.若每個班至少3人參與,則共有126種安排方法答案BD解析對于A,若1班不再安排名額,則20個名額安排到5個班級,每個班級至少1個,依據(jù)插空法,有C194種安排方法,故A對于B,若1班有除勞動模范之外學生參與,則20個名額安排到6個班級,每個班極至少1個,依據(jù)插空法,有C195種安排方法,故B對于CD,若每個班至少3人參與,相當于16個名額被占用,還有4個名額須要分到6個班級,分5類:①4個名額到一個班,有6種;②一個班3個名額,一個班1個名額,有A62=30(種);③兩個班都是2個名額,有C62=15(種);④兩個班1個名額,一個班2個名額,有C61C52=60(種);⑤四個班都是1個名額,有C64=15(種),則共有126三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若6Cn2=An3答案5解析若6Cn2=An3,則6×n(n-114.(2024江蘇泰州期末)在某市舉辦的中學生運動會上,將4名同學全部安排到田徑、游泳和球類3個不同競賽項目做志愿者,共有種不同安排方法;若每個項目至少須要1名志愿者,則不同的安排方法有種(用數(shù)字作答).

答案8136解析對于第一空:每個學生都可以被安排到運動會的田徑、游泳和球類3個不同競賽項目中的一個,有3種安排方法,則4名同學有3×3×3×3=81種安排方法;對于其次空:分2步進行分析:①先將4名同學分成3組,有C42=6②將分好的三組全排列,支配到3個不同競賽項目,有A33=6種則有6×6=36種不同的安排方法.15.(2024福建三明二模)已知(1+ax)(1+x)5的綻開式中x2的系數(shù)為20,則a=.

答案2解析∵已知(1+ax)(1+x)5=(1+ax)(1+C51x+C52x2+C53x3+C5綻開式中x2的系數(shù)為C52+aC51=20,16.元宵節(jié)燈展后,如圖懸掛有6盞不同的花燈須要取下,每次取1盞,共有種不同取法.(用數(shù)字作答)

答案90解析因為取燈時每次只能取一盞,所以每串燈必需先取下面的燈,即每串兩個燈取下的依次確定,問題轉(zhuǎn)化為求六個元素排列,其中甲在乙前,丙在丁前,戊在己前的排列數(shù),先將六個元素全排列共有A66種排法,因為甲乙依次確定,丙丁依次確定,戊己依次確定,所以六個元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法數(shù)為A66A22A22A22=四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)某單位職工義務獻血,在體檢合格的人中,O型血共有28人,A型血共有7人,B型血共有9人,AB型血共有3人.(1)從中任選1人去獻血,有多少種不同的選法?(2)從四種血型的人中各選1人去獻血,有多少種不同的選法?解從O型血的人中選1人有28種不同的選法,從A型血的人中選1人有7種不同的選法,從B型血的人中選1人有9種不同的選法,從AB型血的人中選1人有3種不同的選法.(1)任選1人去獻血,即無論選哪種血型的哪一個人,這件“任選1人去獻血”的事務都能完成,所以由分類加法計數(shù)原理,共有28+7+9+3=47種不同的選法.(2)要從四種血型的人中各選1人,即要在每種血型的人中依次選出1人后,這件“各選1人去獻血”的事務才完成,所以用分步乘法計數(shù)原理,共有28×7×9×3=5292種不同的選法.18.(12分)在楊輝三角形中,每一行除首末兩個數(shù)之外,其余每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.(1)試用組合數(shù)表示這個一般規(guī)律;(2)在數(shù)表中試求第n行(含第n行)之前全部數(shù)之和;(3)摸索究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù),使它們的比是3∶4∶5,并證明你的結(jié)論.解(1)Cn(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1.(3)設Cnr-1∶C由Cnr-1即3n-7r+3=0.①由CnrCn即4n-9r-5=0.②解①②聯(lián)立方程組,得n=62,r=27,即C6226∶C6227∶19.(12分)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),且a2=60,求:(1)n的值;(2)-a12+a222-a3解(1)因為T3=Cn2(-2x)2=a2x所以a2=Cn2(-2)2化簡可得n(n-1)=30,且n∈N+,解得n=6.(2)Tk+1=C6k(-2x)k=akx所以ak=C6k(-2)所以(-1)kak-a12+a222-=C61+C62+…+C6620.(12分)5名男生,2名女生站成一排照相.求在下列約束條件下,有多少種不同的站法.(1)女生不站在兩端;(2)女生相鄰;(3)女生不相鄰;(4)站成兩排,前排3人,后排4人.解(1)先考慮兩端站的人,再考慮其他位置,滿意條件的站法有A52·A5(2)將相鄰對象捆綁,當作一個對象,與其他對象一起全排列,可得滿意條件的站法有A66·A2(3)分兩步:第一步,先排男生,有A55其次步,將2名女生插入男生所形成的6個空(包括兩端)中,有A62由分步乘法計數(shù)原理知,滿意條件的站法有A55·A6(4)無論分成多少排,實質(zhì)都是要在7個不同位置上排7個不同對象,因此滿意條件的站法共有A77=5040(種21.(12分)用0,1,2,3,4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù).(1)在組成的三位數(shù)中,求全部偶數(shù)的個數(shù);(2)在組成的三位數(shù)中,假如十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小,則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”,如301,423等都是“凹數(shù)”,試求“凹數(shù)”的個數(shù);(3)在組成的五位數(shù)中,求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù).解(1)將全部的三位偶數(shù)分為兩類:①若個位數(shù)為0,則共有A42=12個;②若個位數(shù)為2或4,則共有2×3×3=18個.所以,共有30(2)將這些“凹數(shù)”分為三類:①若十位數(shù)字為0,則共有A42=12個;②若十位數(shù)字為1,則共有A32=6個;③若十位數(shù)字為2,則共有A22=2個.所以,共有(3)將符合題意的五位數(shù)分為三類:①若兩個奇數(shù)數(shù)字在百位和萬位,則共有A22·A33=12個;②若兩個奇數(shù)數(shù)字在十位和千位,則共有A22·C21·所以,共有28個符合題意的五位數(shù).22.(12分)已知m,n是正整數(shù),f(x)=(1+x)m+(1+x)