2024-2025學年新教材高中數(shù)學第四章對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)4.4指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長的比較一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE3第四章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)§4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較*§5信息技術支持的函數(shù)探討（略）學問點1三種函數(shù)的不同增長1.☉%#1￥@￥158%☉(2024·北京順義區(qū)模擬)當x越來越大時,下列函數(shù)中,增長速度最快的應當是()。A.y=100x B.y=log100xC.y=x100 D.y=100x答案：D解析：由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長,則當x越來越大時,函數(shù)y=100x的增長速度最快。故選D。2.☉%2*5@@*63%☉(2024·延安中學模擬)下面對函數(shù)f(x)=log13x與g(x)=13x在區(qū)間(0,+∞)上的衰減狀況的說法中正確的是A.f(x)的衰減速度越來越慢,g(x)的衰減速度越來越快B.f(x)的衰減速度越來越快,g(x)的衰減速度越來越慢C.f(x)的衰減速度越來越慢,g(x)的衰減速度越來越慢D.f(x)的衰減速度越來越快,g(x)的衰減速度越來越快答案：C解析：結合指數(shù)函數(shù)y=13x和對數(shù)函數(shù)y=log13x的圖像易得3.☉%84*@@4#4%☉(2024·泉州七中月考)四個物體同時從某一點動身向前運動,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關于時間x(x>1)的函數(shù)關系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,假如它們始終運動下去,最終在最前面的物體具有的函數(shù)關系是()。A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2xC.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x答案：D解析：由函數(shù)性質(zhì),可得選項D正確。故選D。學問點2三種函數(shù)圖像性質(zhì)的應用4.☉%#920@*￥7%☉(2024·臨川一中月考)三個數(shù)60.7,0.76,log0.76的大小關系為()。A.0.76<log0.76<60.7 B.0.76<60.7<log0.76C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7答案：D解析：在同一坐標系中畫出函數(shù)y=x0.7,y=0.7x,y=log0.7x的圖像,視察x=6時的y值,或由60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0來推斷。故選D。5.☉%533#￥0**%☉(2024·廈門統(tǒng)考)已知f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>0,a≠1,若f(1)g(2)<0,那么f(x)與g(x)在同一坐標系內(nèi)的圖像可能是()。圖4-4-1答案：C解析：因為f(1)g(2)=aloga2<0(a>0,a≠1),所以loga2<0,所以0<a<1。結合四個選項,可知選C。6.☉%@3#887*#%☉(2024·襄城高一檢測)設x∈(0,1)時,y=xp(p∈R)的圖像在直線y=x的上方,則p的取值范圍是()。A.p≥0 B.0<p<1C.p<1 D.p>1答案：C解析：畫圖可知,C正確。7.☉%8￥7￥1￥6￥%☉(2024·深圳中學月考)已知f(x)=x2-bx+c且f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),則有()。A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx)C.f(bx)<f(cx) D.f(bx),f(cx)大小不定答案：B解析：由f(1+x)=f(1-x),知b2=1,b=2由f(0)=3,知c=3。此時f(x)=x2-2x+3。當x<0時,3x<2x<1,函數(shù)y=f(x)在x∈(-∞,1)上是減函數(shù),所以f(bx)<f(cx);當x=0時,f(bx)=f(cx);當x>0時,3x>2x>1,函數(shù)y=f(x)在x∈(1,+∞)上是增函數(shù),所以f(bx)<f(cx)。綜上,f(bx)≤f(cx)。故選B。8.☉%@*￥065￥7%☉(2024·長沙一中檢測)當2<x<4時,2x,x2,log2x的大小關系是()。A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2xC.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x答案：B解析：方法一:在同一坐標系中畫出函數(shù)y=log2x,y=x2,y=2x的圖像,在區(qū)間(2,4)內(nèi)從上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的圖像。所以x2>2x>log2x。故選B。方法二:取x=3,經(jīng)檢驗知B正確。故選B。9.☉%6*￥3*0*5%☉(2024·吉安一中檢測)函數(shù)f(x)=2x與函數(shù)g(x)=x2的圖像交點的個數(shù)是。

答案：3解析：函數(shù)f(x)=2x與g(x)=x2的圖像如圖所示,明顯函數(shù)f(x)=2x與g(x)=x2的圖像在(-∞,0)上有一個交點,又f(2)=g(2)且指數(shù)函數(shù)的增長速度大于冪函數(shù)的增長速度,所以在(0,+∞)上它們有2個交點。綜上,兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)為3。10.☉%6##5￥#16%☉(2024·南陽一中月考)函數(shù)y=x2與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(0,+∞)上增長較快的一個是。

答案：y=x2解析：當x變大時,x比lnx增長要快,所以x2要比xlnx增長得快。11.☉%6*￥214*￥%☉(2024·石門一中月考)已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3,設兩個函數(shù)的圖像相交于點A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2。若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由。答案：解:依題意知,x1和x2是使兩個函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值。當x<x1時,2x>x3,即f(x)>g(x);當x1<x<x2時,f(x)<g(x);當x>x2時,f(x)>g(x)。因為f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1;又因為f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1024,g(10)=103=1000,f(10)>g(10)。所以x2∈[9,10],即b=9。題型三種函數(shù)的實際應用12.☉%751##￥0@%☉(2024·珠海一中月考)有一組試驗數(shù)據(jù)如下表:t23456v1.54.047.51218.01現(xiàn)打算用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿意的規(guī)律,其中最接近的是()。A.v=log2t B.v=log1C.v=t2-12 D.答案：C解析：當t分別取2,3,4,5,6時,C選項中得到的函數(shù)值最接近試驗數(shù)據(jù),故選C。13.☉%6#**@641%☉(2024·保定期末)據(jù)報道,某淡水湖的湖水在50年內(nèi)削減了10%,若年平均削減率相等,按此規(guī)律,設2013年的湖水量為m,從2013年起,經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關系為()。A.y=0.9x50 B.y=(1-0.1C.y=0.9x50m D.y=(1-0.150x答案：C解析：設每年湖水量為上一年的q%,則(q%)50=0.9,所以q%=0.9150,所以x年后的湖水量y=0.9x5014.☉%3￥07@@#6%☉(2024·九江一中月考)商店某種貨物進價下降了8%,但銷售價沒有變,于是這種貨物的銷售利潤率銷售價-進價進價×100%由原來的r%增加到(r+10)%,則r的值等于A.25 B.20C.15 D.10答案：C解析：設原進貨價為a,銷售價為b,由題意得b-a所以100+r100×10092=r+110100,解得15.☉%6#4**7#1%☉(2024·豐城中學月考)某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關系為y=alog2(x+1),設這種動物第一年有100只,若不考慮自然死亡,到第7年它們發(fā)展到只。

答案：300解析：由已知第一年有100只,得a=100,將a=100,x=7代入y=alog2(x+1),得x=300。16.☉%￥#@504#5%☉(2024·廣雅中學月考)近幾年由于北京房價的上漲,引起了二手房市場交易的火爆,房子沒有什么改變,但價格卻上漲了。小張在2007年以150萬元的價格購得一所新居子,假設這10年來價格年膨脹率不變,那么到2024年,這所房子的價格y(萬元)與價格年膨脹率x之間的函數(shù)關系式是。

答案：y=150(1+x)10解析：1年后,y=150(1+x);2年后,y=150(1+x)2;3年后,y=150(1+x)3,…,10年后,y=150(1+x)10。17.☉%649*0#**%☉(2024·吉安一中檢測)已知元素“碳-14”每經(jīng)過5730年,其質(zhì)量就變成原來的一半?，F(xiàn)有一文物,測得其中“碳-14”的殘存量為原來的41%,此文物距現(xiàn)在約有年。(注:精確到百位數(shù),lg2≈0.3010,lg4.1≈0.613)

答案：7400解析：設距現(xiàn)在有x年,則有12x5730=41%,兩邊取對數(shù),利用計算器可得x18.☉%*@￥7@087%☉(2024·新余四中期中)某工廠今年1月份、2月份、3月份生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件,為了以后估計每個月份的產(chǎn)量,以這三個月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù),用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份數(shù)的關系,模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r(其中p,q,r為常數(shù),且p≠0)或指數(shù)型函數(shù)g(x)=a·bx+c(其中a,b,c為常數(shù),且a≠0),已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,請問用上述哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?并說明理由。答案：解:用指數(shù)型函數(shù)g(x)=a·bx+c作為模擬函數(shù)較好,理由如下:因為f(x)=px2+qx+r,由已知f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,得p+q所以f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,故f(4)=1.3。又因為g(x)=a·bx+c,由已知g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,得a·b+c=1,a·b2+c=1.2,a·b3+c=1.3,解得a=-0.依據(jù)4月份的實際產(chǎn)量為1.37萬件,所以|1.3-1.37|>|1.35-1.37|,故選用g(x)=a·bx+c作為模擬函數(shù)較好。19.☉%13*03@#@%☉(2024·豐城中學月考)我們知道,燕子每年秋天都要從北方飛往南方過冬,探討燕子的科學家發(fā)覺,兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v=5log2Q10,單位是m/s,其中Q(1)計算:燕子靜止時的耗氧量是多少個單位?答案：解:由題知,當燕子靜止時,它的速度v=0,代入函數(shù)關系式可得0=5log2Q10,解得Q=10即燕子靜止時的耗氧量是10個單位。(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時,它的飛行速度是多少?答案：將耗氧量Q=80代入函數(shù)關系式,得y=5log28010=5log28=15(m/s)即當一只燕子的耗氧量是80個單位時,它的飛行速度為15m/s。20.☉%730￥#@3@%☉(2024·百色中學檢測)如圖4-4-2,桶1中的水按肯定規(guī)律流入桶2中,已知起先時桶1中有aL水,桶2是空的,tmin后桶1中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y1=ae-nt(其中n是常數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù))。假設在5min時,桶