重慶市縉云教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)9月月考試題

PAGE20PAGE19重慶市縉云教化聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)9月月考試題留意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，全部答案必需用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，全部答案必需填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。第I卷（選擇題）一、選擇題已知函數(shù)，若且，則函數(shù)取得最大值時(shí)x的可能值為A. B. C. D.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍是A.， B.，

C. D.直線與圓O：相交于M，N兩點(diǎn)，若，P為圓O上隨意一點(diǎn)，則的取值范圍為A. B. C. D.已知平面對(duì)量，，滿意，，記與夾角為，則的最小值是A. B. C. D.已知且，若向量滿意，則當(dāng)向量、的夾角取最小值時(shí)，A. B.8 C. 已知函數(shù)，若使得在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.平面上的兩個(gè)向量和，若向量，且，則的最大值為

A. B. C. D.已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，且，當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

A. B. C. D.二、不定項(xiàng)選擇題把函數(shù)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍橫坐標(biāo)不變后得到函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù)有以下四個(gè)推斷，其中正確的是A.該函數(shù)的解析式為

B.該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C.該函數(shù)在上是增函數(shù)

D.函數(shù)在上的最小值為，則下列說法中錯(cuò)誤的為

A.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

B.向量不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底

C.若，則在方向上的投影為

D.非零向量和滿意，則與的夾角為已知函數(shù)，下列說法正確的是

A.是周期函數(shù)

B.若，則

C.在區(qū)間上是增函數(shù)

D.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，，定義對(duì)于下列說法：其中正確的是A.函數(shù)的值域是；

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

C.函數(shù)是周期函數(shù)，其最小正周期為；

D.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．第II卷（非選擇題）三、填空題已知，向右平移個(gè)單位后為奇函數(shù)，則______，若方程在上恰有兩個(gè)不等的根，則m的取值范圍是______．在中，已知，，，則的面積為______．已知平面對(duì)量，，，滿意，，，若平面對(duì)量且，則的最小值是______．半徑為R的圓外接于，且，若，則面積的最大值為________．四、解答題如圖所示，海平面上有3個(gè)島嶼A，B，C，它們位于海平面上，已知B在A的正東方向，C在A的北偏西的方向，C在B的北偏西方向上，某一天上午8時(shí)，甲，乙兩人同時(shí)從A島嶼乘兩個(gè)汽艇動(dòng)身分別前往B，C兩個(gè)島嶼執(zhí)行任務(wù)，他們?cè)谏衔绲?0時(shí)分別同時(shí)到達(dá)B，C島嶼．現(xiàn)在已知甲乙都是勻速前進(jìn)的，且乙的前進(jìn)速度為3海里小時(shí)．

求A、B兩個(gè)島嶼之間的距離；

當(dāng)天下午2時(shí)甲從B島嶼乘汽艇動(dòng)身前往C島嶼執(zhí)行任務(wù)，且速度為海里小時(shí)，1個(gè)小時(shí)后乙馬上從C島嶼乘汽艇以原速度返回A島嶼，求乙前進(jìn)多少小時(shí)后，甲乙兩個(gè)人之間的距離最近？

留意：．

已知向量，且函數(shù)的兩條對(duì)稱軸之間的最小距離為．

Ⅰ若方程恰好在有兩個(gè)不同實(shí)根，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及的值．

Ⅱ設(shè)函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)a，b的值．

已知函數(shù)．

Ⅰ求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

Ⅱ?qū)⒑瘮?shù)的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍縱坐標(biāo)不變，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程在上恰有2個(gè)根，求a的取值范圍．

已知向量，且函數(shù)的兩條對(duì)稱軸之間的最小距離為．Ⅰ若方程恰好在有兩個(gè)不同實(shí)根，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．Ⅱ設(shè)函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)a的值．

已知向量且函數(shù)的兩條對(duì)稱軸之間的最小距離為．Ⅰ若方程恰好在有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及的值．Ⅱ設(shè)函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)a，b的值．

已知向量，函數(shù)，．

當(dāng)時(shí)，求的值；

若的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值；

是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由可知函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以由題意可得，，解得，，

又因?yàn)?，所以，即，可得?/p>

所以可得，，

所以，

所以取到最大值時(shí)，則，，即，，

當(dāng)k取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)時(shí)，只有適合，

故選：B．

由可知函數(shù)的對(duì)稱軸為，進(jìn)而求出的取值集合，再由，可得的取值集合，代入函數(shù)中可得，進(jìn)而求出函數(shù)取到最大值時(shí)x的集合，k取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)可得x的取值選項(xiàng)．

本題考查函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．

2.【答案】D

【解析】解：當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則，，即，，則可得；

當(dāng)，則，，，，則可得，

故選：D．

分的正負(fù)探討，要使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為可知，或，分別求出的范圍即可．

本題考查求由三角函數(shù)的單調(diào)性求最值的應(yīng)用，屬于中檔題．

3.【答案】A

【解析】解：取MN的中點(diǎn)A，連接OA、OP，則，

，點(diǎn)O到直線MN的距離，

在中，，，

，

，

當(dāng)，同向時(shí)，取得最小值，為；

當(dāng)，反向時(shí)，取得最大值，為．

的取值范圍為．

故選：A．

取MN的中點(diǎn)A，連接OA、OP，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，于是推出，，而，故，其中，從而得解．

本題考查平面對(duì)量在幾何中的應(yīng)用，除了平面對(duì)量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算外，還用到了點(diǎn)到直線的距離公式、二倍角公式等，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．

4.【答案】D

【解析】解：設(shè)，則．

又．

．

則

．

，，則，

當(dāng)時(shí)，，有最大值為，

有最小值為，

又，

的最小值是．

故選：D．

設(shè)，則，用數(shù)量積表示與的夾角的余弦值，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．

本題考查平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)求最值，考查計(jì)算實(shí)力，是中檔題．

5.【答案】C

【解析】解：如圖，

設(shè)，，，

由，得C在以A為圓心，以2為半徑的圓上，

由圖可知，當(dāng)OC與圓A相切時(shí)，向量、的夾角取最小值，

，，，可得，則向量、的夾角取最小值為，且．

．

故選：C．

由題意畫出圖形，求得向量、的夾角的最小值，并求得當(dāng)向量、的夾角取最小值時(shí)的，代入向量數(shù)量積公式求解．

本題考查平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．

6.【答案】D

【解析】解：函數(shù)，

使得在區(qū)間上為增函數(shù)，

可得：，，可得，，

當(dāng)時(shí)，滿意整數(shù)至少有1，2，舍去；

當(dāng)時(shí)，由，時(shí)，，

由時(shí)，，要使整數(shù)有且僅有一個(gè)，需，解得．

實(shí)數(shù)的取值范圍是

故選：D．

由已知可求，，可得，，分類探討，可得當(dāng)時(shí)，由，時(shí)，，由時(shí)，，要使整數(shù)有且僅有一個(gè)，需，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍．

本題主要考查利用的圖象特征，單調(diào)性的應(yīng)用，是中檔題．

7.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積及模長(zhǎng)公式，考查與圓有關(guān)的最值問題，屬于較難題．

由題意得出，畫出圖形，取AB的中點(diǎn)D，求出，說明C在以D為圓心的圓上，利用求O點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大值的方法即可求出．【解答】解：，，

，，，，取AB的中點(diǎn)D，且，如圖所示：則，，，，，在以D為圓心，為半徑的圓上，的最大值為

故選B．

8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，協(xié)助角公式，考查計(jì)算實(shí)力，屬于較難題．

由題意可知：為R上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為R上的增函數(shù)．

則在單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則恒成立，則，依據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得k的取值范圍．

【解答】

解：若方程無解，

則

或恒成立，所以為R上的單調(diào)函數(shù)，

，都有，

則為定值，

設(shè)，則，易知為R上的增函數(shù)，

，

，

又與的單調(diào)性相同，

在R上單調(diào)遞增，則當(dāng)，恒成立，

當(dāng)時(shí)，，

，

，

此時(shí)，

故選A．

9.【答案】BD

【解析】【分析】

本題主要考查的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

利用的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，的得出結(jié)論．

【解答】解：把函數(shù)的圖象沿著x軸向左平移個(gè)單位，可得的圖象；

再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍橫坐標(biāo)不變后得到函數(shù)的圖象，

對(duì)于函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；

由于當(dāng)時(shí)，，故該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；

在上，，故該函數(shù)在上不是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

在上，，故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)在上取得最小值為，，故D正確．

故選BD．

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查平面對(duì)量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等學(xué)問，對(duì)學(xué)問廣度及精確度要求比較高，屬于較難的題．

由向量的數(shù)量積、向量的投影、基本定理與向量的夾角等基本學(xué)問，逐個(gè)推斷即可求解．

【解答】

解：對(duì)于與的夾角為銳角，

，

且時(shí)與的夾角為，

所以且，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B．向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底，B正確；

對(duì)于若，則在方向上的正射影的數(shù)量為，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于因?yàn)?，兩邊平方得?/p>

，

則，

，

故，

而向量的夾角范圍為，

得與的夾角為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．

故錯(cuò)誤的選項(xiàng)為ACD．

故選ACD．

11.【答案】AB

【解析】【分析】

本題考查正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角公式，屬于較難題，

先對(duì)函數(shù)化為分段函數(shù)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析每一個(gè)選項(xiàng)即可．

【解答】

解：函數(shù)化為分段函數(shù)

對(duì)于A，，是周期為的函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)椋傻茫?/p>

則有，

此時(shí)可得，

可得，故B正確；

對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，可知，故D錯(cuò)誤．

故選AB．

12.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題主要考查新定義，隨意角的三角函數(shù)的定義，函數(shù)的周期性、單調(diào)性的定義，函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．

由題意可得，再利用函數(shù)的周期性、單調(diào)性的定義，函數(shù)的圖象的對(duì)稱性得出結(jié)論．

【解析】

解：由已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，，

定義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值為；

當(dāng)時(shí)，取最小值為，

可得的值域是，故A正確．

由于點(diǎn)關(guān)于直線即的對(duì)稱點(diǎn)為，故，

故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確．

由于角和角的終邊相同，故函數(shù)是周期函數(shù)，其最小正周期為，故C正確．

在區(qū)間上，x不斷增大，同時(shí)y值不斷減小，r始終不變，故不斷增大，故是增函數(shù)，

故函數(shù)在區(qū)間，上不是減函數(shù)，故D不對(duì)，

故選ABC．

13.【答案】

【解析】解：，其中，，

則其向右平移后，

因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，故，

則或，即或，，

因?yàn)?，故只能?/p>

即此時(shí)有，，

所以；

方程在上恰有兩個(gè)不等的根

等價(jià)于函數(shù)與在圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出函數(shù)的圖象如下：

由圖可得．

依據(jù)平移后函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合得范圍可得，；

方程有不等兩根等價(jià)于函數(shù)與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可．

本題考查三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，考查方程根與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，涉及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．

14.【答案】

【解析】解：，

，

作，則，則，即，

設(shè)，則，

在中，由余弦定理得：，

即，整理解得：，

，，，

在中，由余弦定理得．

則，

則的面積，

故答案為：．

作，則，設(shè)，則，在中，由余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出CD與BD的長(zhǎng)，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出cosB的值，然后求出sinB，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，依據(jù)條件作出協(xié)助線，利用余弦定理以及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有肯定的難度．

15.【答案】

【解析】解：，，即，

不妨令，由于，所以，，

如圖所示，分別以和為橫、縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，

，

，且x，，

點(diǎn)S的軌跡是以4為焦距的雙曲線的右支．

，，

如圖，設(shè)的夾角為，則，，

，，

即，的夾角為，

，，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得等號(hào)．

故答案為：．

由，可知，于是可分別以和為橫、縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，此外，不妨設(shè)，則，，，于是有，而，且x，，所以點(diǎn)S的軌跡是以4為焦距的雙曲線的右支．再設(shè)的夾角為，可推知，的夾角為，將其代入，可得，最終結(jié)合雙曲線的定義、平面對(duì)量的減法運(yùn)算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值．

本題主要考查的是平面對(duì)量的運(yùn)算，實(shí)際須要將其轉(zhuǎn)化為雙曲線，利用雙曲線的性質(zhì)來解題，其中還用到了三角函數(shù)和均值不等式的學(xué)問，綜合性很強(qiáng)，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的實(shí)力、邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于難題．

16.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．

利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，然后用余弦定理求得利用三角形面積公式，結(jié)合兩角差的正弦函數(shù)公式和二倍角公式得，再利用協(xié)助角公式得，最終利用函數(shù)的值域計(jì)算得結(jié)論．

【解答】

解：因?yàn)樗杂烧叶ɡ淼茫?，即，所以由余弦定理可得：?/p>

又，

故．

由正弦定理得：，所以，所以當(dāng)時(shí)，S最大，．

若，則面積的最大值為．

故答案為．

17.【答案】解：由題意知，，，，海里，

中，由正弦定理得，，

所以，

所以A、B兩個(gè)島嶼之間的距離為海里；

由正弦定理得，，

所以；

設(shè)乙從C島峪乘汽艇以原速度返回A島嶼運(yùn)行t小時(shí)到達(dá)P處，

則甲從B島嶼乘汽艇動(dòng)身前往C島嶼執(zhí)行任務(wù)運(yùn)行小時(shí)到達(dá)Q處，

，其中，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值；

又，所以；

所以乙前進(jìn)小時(shí)后，甲乙兩個(gè)人之間的距離最近．

【解析】中由正弦定理求得AB的值即可；

由正弦定理求出BC，再利用余弦定理求，計(jì)算取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間即可．

本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題．

18.【答案】解：

．

因?yàn)楹瘮?shù)的兩條對(duì)稱軸之間的最小距離為，所以，解得，

．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，由正弦型函數(shù)的圖象性質(zhì)知，在上遞增，在上遞減，在上遞增，

所以，，

且，，

所以，或．

Ⅱ因?yàn)?，所以，所以?/p>

即．

當(dāng)時(shí)，在上遞增，滿意，解得，，；

當(dāng)時(shí)，在上遞減，滿意，解得，，．

綜上所述：或．

【解析】先依據(jù)二倍角公式和協(xié)助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，再由函數(shù)的周期性可求得，從而可得．

Ⅰ依據(jù)正弦型函數(shù)的圖象性質(zhì)，推斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再求出最大值、最小值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，從而得解；

Ⅱ易知，再分兩類：和，并結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性，列出關(guān)于a和b的方程組，解之即可．

本題考查了平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算、三角函數(shù)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用，嫻熟駕馭正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．

19.【答案】解：Ⅰ

，

所以，的最小正周期為．

令，得．

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．

Ⅱ由Ⅰ知，

將函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍縱坐標(biāo)不變，

得到的圖象；

再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，

所以．

由，得，或．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．

由題意，僅有一個(gè)根，因?yàn)?，?/p>

所以，a的取值范圍是．

【解析】Ⅰ由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，得出結(jié)論．

Ⅱ由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得a的范圍．

本題考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，定義域和值域，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．

20.【答案】解：依題又因?yàn)閮蓷l對(duì)稱軸之間的最小距離為，所以由得：，

；Ⅰ當(dāng)時(shí)，，

由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)易知：在上遞增，在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，所以；Ⅱ當(dāng)時(shí)，，所以，

所以，

當(dāng)時(shí)：在上遞增，滿意：，此時(shí)無解，

當(dāng)時(shí)：在上遞減，滿意：，解得：，

綜上所述，．

【解析】本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查平面對(duì)量的數(shù)量積、三角函數(shù)的恒等變形，屬于中檔題．Ⅰ首先依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的恒等變形公式得到依題，由兩條對(duì)稱軸之間的最小距離為，求出w得到函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到的單調(diào)性即可求出m的取值范圍；Ⅱ首先依據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)