2022-2023學(xué)年北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編：軸對(duì)稱（含答案解析）

2022-2023學(xué)年北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編

---軸對(duì)稱

參考答案與試題解析

一.選擇題（共14小題）

1.（2022秋?西城區(qū)期末）以下是用電腦字體庫(kù)中的一種篆體寫出的“誠(chéng)信友善”四字，若

把它們抽象為幾何圖形，從整體觀察（個(gè)別細(xì)微之處的細(xì)節(jié)可以忽略不計(jì)），其中大致是

軸對(duì)稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形

叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A,B,C選項(xiàng)中的字都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊,

直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；

D選項(xiàng)中的字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

2.（2022秋?平谷區(qū)期末）以下四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.?綠色食品B.期J、/循環(huán)回收⑥C.、一/節(jié)

能D.e節(jié)水

【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做

軸對(duì)稱圖形，由此即可判斷.

【解答】解：下四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是綠色食品標(biāo)志，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的定義.

3.（2022秋?懷柔區(qū)期末）下列圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的為（）

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形

叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：B,C,。選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折

疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；

A選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

4.（2022秋?密云區(qū)期末）《國(guó)語(yǔ)?楚語(yǔ)》記載：“夫美者，上下、內(nèi)外、大小、遠(yuǎn)近皆無(wú)害

焉，故曰美”.這一記載充分表明傳統(tǒng)美的本質(zhì)特征在于對(duì)稱和諧.中國(guó)建筑布局一般都

是采用均衡對(duì)稱的方式建造，更具脫俗的美感和生命力.下列建筑物的簡(jiǎn)圖中，不是軸

對(duì)稱圖形的是（）

【分析】直接根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)

這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱解答即可.

【解答】解：A,C,。選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊,

直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形;

B選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形;

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

5.（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，兩個(gè)全等的直角三角板有?條邊重合，組成的四個(gè)圖形中,

()

B.

D.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：4A選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意;

2、B選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確不符合題意;

C、C選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意;

D、。選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部

分沿對(duì)稱軸折疊后可重合.

6.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）下列圖形都是由兩個(gè)全等三角形組合而成，其中是軸對(duì)稱圖形

C./7D.I7I

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形

叫做軸對(duì)稱圖形進(jìn)行分析即可.

【解答】解：4兩個(gè)全等三角形組合不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

2、兩個(gè)全等三角形組合不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、兩個(gè)全等三角形組合不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

。、兩個(gè)全等三角形組合是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案、軸對(duì)稱圖形的概念，關(guān)鍵是正確找出對(duì)

稱軸的位置.

7.(2022秋?密云區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)M(1,-6)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N

的坐標(biāo)是()

A.(-1,-6)B.(-1,6)

C.(1,6)D.(-6,1)(-6,1)

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，

縱坐標(biāo)不變進(jìn)行求解即可.

【解答】解：點(diǎn)M(1,-6)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)是(-1,-6).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于x,y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正確記憶橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)的變化規(guī)律

是解題關(guān)鍵.

8.(2022秋?東城區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，長(zhǎng)方形ABCZ)的兩條對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，

鄰邊長(zhǎng)分別為4,6.若點(diǎn)A在第一象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

A.(-2,-3)B.(2,3)

C.(-2,-3),或(-3,-2)D.(2,3),或(3,2)

【分析】由題意判斷點(diǎn)C在第三象限，由鄰邊長(zhǎng)分別為4,6,可求解.

【解答】解：：長(zhǎng)方形ABCD的兩條對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，點(diǎn)A在第一象限，

...點(diǎn)C在第三象限，

長(zhǎng)方形ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別為4,6,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,-3）或（-3,-2）,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題

的關(guān)鍵.

9.（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A,2兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，如果

點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點(diǎn)C的個(gè)數(shù).

【解答】解：當(dāng)為腰時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；

當(dāng)為底時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)

題.

10.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個(gè)等腰三角形的兩條邊分別是2c機(jī)和5c",則第三條邊的

邊長(zhǎng)是（）

A.2cmB.5cmC.2c7九或5cD.不能確定

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為2c7W,底邊長(zhǎng)為5c機(jī)時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚?/p>

腰長(zhǎng)為5cH7,底邊長(zhǎng)為2c加時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為2cm,底邊長(zhǎng)為5c機(jī)時(shí)，

V2+2=4<5,

.??不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5c7",底邊長(zhǎng)為2c機(jī)時(shí)，

等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為5c〃z,5cm,2cm,

綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長(zhǎng)是50w,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)

鍵.

11.（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在中，ZACB=90°,N8的度數(shù)為a.點(diǎn)P

在邊BC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)8點(diǎn)C重合），作尸OLA8于點(diǎn)。，連接孫，取必上一點(diǎn)E,

使得在連接即，CE并延長(zhǎng)CE交A2于點(diǎn)尸之后，有EC=ED=EA=EP.若記NAPC

的度數(shù)為x,則下列關(guān)于所的表達(dá)式正確的是（）

A./DEF=2x-3aB./DEF=2a

C.ZDEF=2a-xD.ZZ)￡F=180°-3a

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)求出NCEP,由三角形外角的性質(zhì)可求NB48,ZDEP,由

平角定義即可求出/OEE

【解答】W：'：EC=EP,

：.ZECP=ZEPC=x,

：.ZCEP=1SO0-2x,

'：ZAPC^ZB+ZR\B,

：.ZPAB=ZAPC-ZB,

ZPAB=x-a,

":ED=EA,

NEAD=/EDA=x-a,

???ZDEP=ZEAD+ZEDA=2x-2a,

ZDEF=180°-ZCEP-NDEP,

：.ZDEF=1SO°-(180°-2x)-(2x-2a)=2a.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

12.（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，在Rtz\ABC中，ZC=90°,以△ABC的一邊為腰畫等

腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形

的個(gè)數(shù)最多是（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A,B,C三個(gè)頂點(diǎn)為等腰三角形的頂點(diǎn)可以畫

出4個(gè)等腰三角形，分別以三條邊等腰三角形的底邊可以作出3個(gè)等腰三角形，最多可

以作出7個(gè)不同的等腰三角形.

【解答】解：①以8為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交A8于點(diǎn)。，△80是等腰三角形，

圖1

②以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交A8于點(diǎn)E,△ACE就是等腰三角形;

圖2

③以C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)R△BC尸就是等腰三角形，交于點(diǎn)

F,是等腰三角形；

B

圖3

④作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H,△ACH就是等腰三角形;

圖4

⑤作AB的垂直平分線交AC于G,則△AGB是等腰三角形;

圖5

⑥作BC的垂直平分線交AB于I,則△8C7和△AC/都是等腰三角形，此情形點(diǎn)H與點(diǎn)、

/重合與④的情形重合，共計(jì)2個(gè)等腰三角形.

綜上所述，最多有4個(gè)等腰三角形.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，等邊△43。和等邊△8CE中，A、B、C三點(diǎn)共線，AE

和C。相交于點(diǎn)尸，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①△ABE四△O2C

②平分/APC

③AF=DF+BF

@ZAFD=60°

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證△A8E0ZXO8C,可判斷①選項(xiàng)；根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)得出NAE8=/OC8,AE=OC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出/AED=/Z)C8+/

EAB=NAEB+NEAB=NEBC=60°,可判斷④選項(xiàng)；作3G_LC。于點(diǎn)G,BH1AE

點(diǎn)、H,由SAABE=&DBC可得3G=3",進(jìn)一步可得BF平分NAPC,可判斷②選項(xiàng)；在

AE上截取4=。尸，連接B/,易證△AB/gZXDBE(SAS),再證明△B/7是等邊三角形，

得FI=BF,進(jìn)一步可判斷③選項(xiàng).

【解答】解：：AABD和ABCE是等邊三角形，

：.AB=BD,BC=CE,ZEBC=60°,ZABD^ZCBE^60°,

：.ZABD+ZDBE=ZCBE+ZDBE,

即/ABE=ZDBC,

在△ABE和△D8C中，

'AB=DB

'ZABE=ZDBC-

,BE=BC

:.△ABEgADBC(SAS),故①正確；

ZAEB=ZDCB,AE=DC,

；./AFD=NDCB+NEAB=/AEB+/EAB=/EBC=60°,故④正確；

作BG_LC￡)于點(diǎn)G,BHLAE于點(diǎn)H,如圖所示：

??SAABE=SADBC,AE=DC,

工CD?BG=LAE?BH,

22

:.BG=BH,

'JBGLCD,BH±AE,

...點(diǎn)B^ZAFC的平分線上，

平分/AEC,故②正確；

在AE上截取A/=DF,連接8/,

D

在△AB/和△OBE中，

rAB=DB

<NBAI=/BDF，

ADF

.'.△ABI咨ADBF(SAS),

ZAIB^ZDFB,

'：AABE義ADBC,

:./CDB=NEBA,

：.ZDFA=ZABD=6Q°,

/.ZAFC=120°,

；.NIFB=/BFC=60°,

ZAIB^ZDFB^120°,

AZBZF=180°-ZA/B=60°,

AZFB/=60°,

△8/7是等邊三角形，

:.FI=BF,

：.AF=AI+FI=DF+BF,故③正確，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題為三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與

性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、等積法，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵，本題綜合性

較強(qiáng)，難度較大.

14.（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，將一張四邊形紙片A8CL?沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)。恰好

落在邊42的中點(diǎn)。處.設(shè)Si,S2分別為△AQC和AABC的面積，則Si和&的數(shù)量關(guān)

系是（）

A.Si=1S2B.Si=1S2C.SI=2S2D.SI=3S2

32

【分析】利用折疊的性質(zhì)得出：△AOCg/kA。'C,則S^ADC=S^AD'c,利用等底同高

的三角形的面積相等即可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意得：△ADC四△AD'C,

AS^ADC=S/\AD'C.

??,點(diǎn)。'為A8的中點(diǎn)，

：.AD'=DfB.

??,等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等，

S^AD'C=S^BCD，

"SAADZC=2-SAABC,

"SAADC革遼甌。

??,Si寺2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，等底同高的三角形的每個(gè)相等，掌握折疊的

性質(zhì)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共11小題）

15.（2022秋?西城區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，4（-4,-3）關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱的點(diǎn)的

坐標(biāo)為（-4,3）.

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得

出答案.

【解答】解：A（-4,-3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,3）.

故答案為：（-4,3）.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號(hào)關(guān)系是解

題關(guān)鍵.

16.（2022秋?密云區(qū)期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9,則第三邊長(zhǎng)為9.

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4和9,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以

要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解答】解：當(dāng)4是腰時(shí)，因4+4<9,不能組成三角形，應(yīng)舍去；

當(dāng)9是腰時(shí)，4、9、9能夠組成三角形.

則第三邊應(yīng)是9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；己知沒(méi)有明確腰和底邊的題目

一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這點(diǎn)非常

重要，也是解題的關(guān)鍵.

17.（2022秋?平谷區(qū)期末）命題“等邊對(duì)等角”是命題（填“真”或"假”），它的逆命題

是真.

【分析】先寫出其逆命題，再判定即可.

【解答】解：“等邊對(duì)等角”的逆命題是”等角對(duì)等邊“，在同一個(gè)三角形內(nèi)成立，故是

真命題.

【點(diǎn)評(píng)】要根據(jù)逆命題的定義，寫出逆命題，結(jié)合三角形的性質(zhì)來(lái)判斷命題的真假.

18.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，ZVIBC中，AB=AC,。是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，S.ZDAC

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NC,再利用三角形的外角性質(zhì)可得NZMC=

ZB+ZC=100°,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：A2=AC,

：.ZB=ZC,

'：ZDAC是△ABC的一個(gè)外角,

ZDAC=ZB+ZC=100°，

.,.ZB=ZC=50°,

故答案為：50°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.(2022秋?東城區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=36°,BD平分/ABC交

AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，連接。E.則NCDE的度數(shù)是54。.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到/ABC=/C=72°,然后利用

8。平分NA8C交AC于點(diǎn)。求得的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和求得/AD8的度

數(shù)即可.

【解答】解：：A2=AC,NA=36°,

...NA3C=NC=lx(180°-36°)=72°,

2

：8A平分/ABC,

/.ZABD^ZDBC^36°,

ZABD=ZA,

?.?點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

AZAE￡)=90°,

ZADE^90°-/A=54°,

故答案為：54°.

【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解等腰三角形的等邊對(duì)等角的性質(zhì),

難度不大.

20.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是40°,則其余兩個(gè)內(nèi)角的度

數(shù)是7數(shù),70°或40°,100°.

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)；當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角為40°

時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0。時(shí)，

.,?等腰三角形的兩個(gè)底角=1X（180°-40°）=70°；

2

當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角為40°時(shí)，則另一個(gè)底角也是40°,

等腰三角形的頂角=180°-2X40°=100°；

綜上所述：等腰三角形的其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為70°,70°或40°,100°,

故答案為：70°,70°或40°,100°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況討論是解題的

關(guān)鍵.

21.（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，RtZXABC中，ZBAC=90°,AB^AC.在BC上截取BD

=BA,作/ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)P,連接PC.若△ABC的面積為8cm2,則4

BPC的面積為4cm2.

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出AP=PD,即得出△A8P和△O8P是

「，

等底同高的三角形，△ACP和△OCP是等底同高的三角形，即可推出「卷SAAR

即可求出答案.

【解答】解：,??20=54,3P是/ABC的角平分線，

：.AP=PD,

：.AABP和△。8尸是等底同高的三角形，△ACP和△OCP是等底同高的三角形，

SAABP=SADBP，S4ACP=SADCP.

*.*SAABC=SAABP+SADBP+SAACP+SADCP,S^BPC=S^DBP+S^DCP,

.112

??S/IBPC7s△Agc=yX8=4cin,

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì).掌握等腰三角形“三線合一”是解答本題的關(guān)鍵.

22.(2022秋?密云區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，A(1,3),B(3,7),點(diǎn)尸在y

軸上，當(dāng)PA+PB取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2).

yA

III____11111A

O1x

-B,

【分析】根據(jù)對(duì)稱性，作出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A,連接84與y軸交于點(diǎn)P,根據(jù)兩

點(diǎn)之間線段最短即可得結(jié)論.

【解答】解：

如圖所示，作出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)y軸的對(duì)稱點(diǎn)A,連接BA交y軸于點(diǎn)P,

此時(shí)B4+PB=PA+PB^A'B,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,2).

故答案為：(0,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱性性質(zhì).

23.(2022秋?平谷區(qū)期末)等腰三角形的一個(gè)角為80°,則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)

為2為或80°.

【分析】等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是30。，則該角可能是底角，也可能是頂角，注意分情

況討論.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)80°的角是底角時(shí)，則頂角度數(shù)為180°-80°X2=20°；

當(dāng)80°的角是頂角時(shí)，則頂角為80°.

故答案為：20°或80°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；若題目中沒(méi)有明確頂角

或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.

24.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，在AABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列四個(gè)結(jié)論中：

?AF=BF

?ZAFD+ZFBC^90°

?DF±AB

?ZBAF^ZCAF

所有正確結(jié)論的序號(hào)是：①②③.

【分析】由作圖可知。尸垂直平分線段AB,BE平分NA8C,利用線段的垂直平分線的性

質(zhì)一一判斷即可.

【解答】解：由作圖可知。p垂直平分線段AS,8E平分

：.FA=FB,DF±AB,故①，③正確，

ZAFD^ZBFD,

'：ZFBC^ZFBD,/FBD+/BFD=9Q°,

：.ZAFD+ZFBC=90°,故②正確，

由作圖不能得到④，

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

25.（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC^BC,ZACB=50°,AZ）_LBC于點(diǎn)。,

MCLBC于點(diǎn)C,MC=BC.點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別在線段A。，AC上，CF^AE,連接MR

BF,CE.

（1）圖中與MF相等的線段是CE；

（2）當(dāng)BF+CE取最小值時(shí)ZAFB=95

【分析】（1）先證明三角形全等，再由性質(zhì)求解；

（2）利用（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)換為兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題，再利用三角形是內(nèi)角和求解.

【解答】解：（1）：AC=8C,MC=BC,

：.AC=MC,

?：AD±BC于點(diǎn)D,MCLBC于點(diǎn)C,

J.AD//CM,ZMCB=90°,

：.ZMCA=ZCAD=40°,

,/CF^AE,

：.ACMF^AACE（SAS）,

:.MF=CE,

故答案為：CE；

（2）,:MF=CE,

：.BF+CE=BF+MF,

.?.當(dāng)MF和8尸共線時(shí)，和最小，如圖，此時(shí)MB與AC交于點(diǎn)/,

'：MC=BC,ZBCM=90°,

：.ZCMB=45

ZAF'B=NCF'M=180°-ZCMB-ZMCA=95°,

故答案為：95.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最短路徑問(wèn)題，線段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共19小題）

26.（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NC=90°,分NA8C交AC于點(diǎn)￡）,

過(guò)點(diǎn)D作DE〃AB交BC于點(diǎn)E,DF±AB,垂足為點(diǎn)?

（1）求證：BE=DE；

⑵若DE=2,DF=V3＞求8。的長(zhǎng).

【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)先說(shuō)明再利用等腰

三角形的判定得結(jié)論；

（2）利用角平分線的性質(zhì)先得到CD=DF,再在RtACDE中利用勾股定理求出CE的長(zhǎng),

最后在RtACDB中利用勾股定理求出BD的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：：8。分/ABC,

/ABD=/CBD.

'：DE//AB,

：.ZEDB=ZABD.

：.ZCBD=ZEDB.

:.DE=EB.

（2）解:VZC=90°,

：.DC±BC.

又分/ABC交AC于點(diǎn)。，DFA.AB,

:.CD=DF=M.

在RtZkCZJE中，

C￡=VDE2-CD2=1-

?：DE=EB=2,

:.BC=CE+EB=3.

在RtACDB中，

BD=4cD2+BC2=73+9=2V3?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線和等腰三角形，掌握角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的

判定、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

27.(2022秋?平谷區(qū)期末)閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，在△ABC中，AD是8c邊上的中線，E是上一點(diǎn)，

延長(zhǎng)8E交AC于點(diǎn)/，AF=EF,求證：AC=BE.

小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)以，使。連結(jié)8打，構(gòu)造△2/58,通過(guò)證明△BOX與

△AC。全等，△3即為等腰三角形，使問(wèn)題得以解決(如圖2).

請(qǐng)寫出推導(dǎo)過(guò)程.

圖1圖2

【分析】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H,使DH=AD,連結(jié)BH,可證明(SAS),則

BH=AC,/CAD=/H,根據(jù)得NC4O=NAER可證出即，即可

得出AC=BE.

【解答】證明：延長(zhǎng)A。到點(diǎn)”，使。H=A。，連結(jié)

在和△CD4中，

，DH=DA

'NBDH=/CDA，

BD=CD

工ABDgACDA(SAS),

：.BH=AC,ZCAD=ZH,

又,：AF=EF,

：.ZCAD=ZAEF,

又/BEH=ZAEF,

：.ZCAD=ZBEH,

J.ZH^ZBEH,

：.BH=BE,

：.AC=BE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

28.(2022秋?平谷區(qū)期末)如圖，在△ABC中，A2=5,AC=4,BC=3,DE是AB的垂直

平分線，OE分別交AC,AB于點(diǎn)E,D.

(1)求證：AABC是直角三角形；

(2)求AE的長(zhǎng).

【分析】(1)利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/+廿=02,那么

這個(gè)三角形就是直角三角形可得AABC是直角三角形；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得設(shè)&￡=尤，則EC=4-無(wú)，根據(jù)勾股定理

可得/-32=(4-x)2,再解即可.

【解答】(1)證明：:△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,

又；42+32=52,

即AB2^AC2+BC2,

.?.△ABC是直角三角形；

(2)證明：連接8E.

,：DE是AB的垂直平分線,

：.AE=EB,

設(shè)A￡=x,則EC=4-x.

.'.x2-32=(4-%)2.

解之得x=2旦，即AE的長(zhǎng)是空.

88

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理.

29.（2022秋?東城區(qū)期末）課堂上，老師提出問(wèn)題：

如圖1,OM,ON是兩條馬路，點(diǎn)A,B處是兩個(gè)居民小區(qū).現(xiàn)要在兩條馬路之間的空?qǐng)?/p>

處建活動(dòng)中心P,使得活空?qǐng)鰟?dòng)中心P到兩條馬路的距離相等，且到兩個(gè)小區(qū)的距離也

相等.如何確定活動(dòng)中心P的位置？

小明通過(guò)分析、作圖、證明三個(gè)步驟正確地解決了問(wèn)題，請(qǐng)你將小明的證明過(guò)程補(bǔ)充完

整.

步驟1分析：若要使得點(diǎn)尸到點(diǎn)A,B的距離相等，則只需點(diǎn)尸在線段4B的垂直平分

線上；若要使得點(diǎn)P到。ON的距離相等，則只需點(diǎn)P在/MON的平分線上.

步驟2作圖：如圖2,作NMON的平分線OC,線段A8的垂直平分線OE,DE交OC

于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸為所求.

步驟3證明：如圖2,連接以，PB,過(guò)點(diǎn)尸作PFLON于點(diǎn)RPGLOM于點(diǎn)G.

'JPFLON,PGLOM,

且點(diǎn)尸在/PON的平分線上（填寫條件），

：.PF=PG（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）（填寫理由）.

:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線DE上，

：.PA=PB（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等）（填寫理由）.

???點(diǎn)尸為所求作的點(diǎn).

圖1圖2

【分析】利用角平分線的性質(zhì)，可得出PF=PG,利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可得出

PA=PB,進(jìn)而可得出點(diǎn)P為所求作的點(diǎn).

【解答】證明：如圖2,連接E4,PB,過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)RPGLOM于點(diǎn)G.

"：PF±ON,PGLOM,

且點(diǎn)尸在/MON的平分線上，

：.PF=PG（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）.

?..點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線DE1.,

：.PA=PB（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等）.

故答案為：點(diǎn)尸在NMON的平分線上；角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；垂直

平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)

及線段垂直平分線的性質(zhì)，找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.

30.（2022秋?懷柔區(qū)期末）己知：如圖，/ABC=NDBE=90°,。為邊AC上■點(diǎn)，AABD

是等邊三角形，且AC=DE.求證：AABgADBE.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到再根據(jù)/4以7=/。8￡=90°,可知

△ABC和△OBE均為直角三角形，然后根據(jù)HL即可證明結(jié)論成立.

【解答】證明：:△ABD是等邊三角形，

：.AB=DB,

VZABC=ZDBE=90°,

AABC和△OBE均為直角三角形，

在RtAABC和RtADBE中，

[AC=DE,

iAB=DB'

：.RtAABC^RtADBE（HL）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

31.（2022秋?密云區(qū)期末）已知：在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,48邊的垂

直平分線分別交AC于點(diǎn)交A8于點(diǎn)E.

（1）求證：DE=DC-,

(2)連接EC,若AB=6,求△EBC的周長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NA8C=60°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得

到A￡>=￡>8,求出NA=NA8￡)=30°,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=Z)C；

(2)判定△EBC是等邊三角形，即可求出周長(zhǎng).

【解答】(1)證明：在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

/.ZABC=60°,

,；DE是AB邊的垂直平分線，

：.AD=DB,

：.ZA=ZABD=30°,

：.ZCBD=60°-30°=30°

2。平分/ABC,

'：DE±AB,AC±BC,

：.DE=DC；

(2)解：在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=30°,AB=6,

.1

??BCjAB=3，

'.'DE是AB邊的垂直平分線，

.1

??BE^-AB=3-

：.BC=BE,

VZABC=60°,

：./\EBC是等邊三角形，

△EBC的周長(zhǎng)為9.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等邊三角形的判定

和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵.

32.(2022秋?密云區(qū)期末)如圖，在△ABC中，ZBAC=6Q°,ZC=40°,NBAC與/

ABC的角平分線A。、BE分別交3C、AC邊于點(diǎn)。和點(diǎn)E.

(1)求證：△BEC是等腰三角形；

(2)用等式表示線段A3、AC、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和，角平分線的定義得出NEBC=/C,進(jìn)而得出班=EC,

即可得出結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)4B至尸，使BF=BD,連接。R利用等邊對(duì)等角和三角形的外角得出/歹=

NC,再證明△AFZ戶△ACD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF^AC,再根據(jù)線段的和差

即可得出AB+BD^AC.

【解答】(1)證明：在△A8C中，ZBAC=60°,ZC=40°,

ZABC=80°,

「BE平分/ABC,

/.ZEBC=40°,

：.ZEBC=ZC,

：.EB=EC,

.?.△BEC是等腰三角形.

(2)解：AB+BD^AC,

證明：延長(zhǎng)A3至E使BF=BD,連接。尸，

/F=ZBDF,

VZABC=ZF+ZBDF=80°,

.*.2ZF=80°,

?.ZF=40°,

VZC=40°,

.\ZF=ZC,

VAD平分4BAC,

：.ZBAD=ZCAD,

\"AD=AD,

：.AAFD=AACD（ASA）,

J.AF^AC,

：.AB+BF^AC,

即：AB+BD=AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)

造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

33.（2022秋?平谷區(qū)期末）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)45°的角.

作法：

①作直線/,在直線/上任取一點(diǎn)。；

②以。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線/于兩點(diǎn)；

③分別以N為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線/的上方交于點(diǎn)P，

作直線OP；

④作/PON的角平分線OA；

所以NAON即為所求作的45°角.

（1）利用直尺和圓規(guī)依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接PM,PN,

?：PM=PN,

點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上（到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂

直平分線上）（填推理的依據(jù)）.

?：OM=ON,

，點(diǎn)0在線段MN的垂直平分線上.

直線OP是線段MN的垂直平分線.

：.OP±MN.

:.NPON=90°.

平分/PON,

【分析】（1）根據(jù)作法作圖即可；

（2）由垂直平分線的判定可得答案.

,:PM=PN,

...點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上（到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直

平分線上）（填推理的依據(jù)）.

?：OM=ON,

...點(diǎn)0在線段MN的垂直平分線上.

直線OP是線段MN的垂直平分線.

：.OP±MN.

：.ZPON=90°.

平分/尸ON,

;-ZA0N=yZP0N=45°

故答案為：到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線的方法.

34.（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=8,ZCBA=45°.

（1）求證：ACLAB；

（2）分別以點(diǎn)A,C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)。（點(diǎn)。在AC的左側(cè)）,

連接CO,AD,BD.求的面積.

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得NC54=/ACB=45°,然后利用三角形內(nèi)角

和定理求出/CA8=90°,即可解答；

（2）過(guò)點(diǎn)。作。ELBA,交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)題意可得：AC=AD=CD=S,從

而可得△ACD是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得/D4C=60°,從而利用

平角定義可得NZME=30°,最后在RtZSOEA中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)

可得。E=4,從而利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】（1）證明：

：.ZCBA=ZACB=45°,

.\ZCAB=180°-ZACB-ZCBA^9Q0,

：.AC.LAB；

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DEIBA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

由題意得：AC=AD=CD=8,

???△AC。是等邊三角形，

ZDAC=60°,

ZZ）AE=180°-ZDAC-ZCAB=30°,

.?.DE=AA￡>=4,

2

；.AABD的面積=虱小?！?=1*8*4=16,

22

.,.△ABD的面積為16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條

件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

35.（2022秋?順義區(qū)期末）下面是曉東設(shè)計(jì)的“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”

的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：直線/及直線/外一點(diǎn)P.

求作：直線/的垂線，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

作法：如圖，

①任取一點(diǎn)。，使點(diǎn)。與點(diǎn)尸在直線/兩側(cè)；

②以尸為圓心，P。長(zhǎng)為半徑作弧交直線/于A,8兩點(diǎn)；

③分別以A,8為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線/下方交于點(diǎn)C；

④作直線PC.

所以直線PC為所求作的垂線.

根據(jù)曉東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接B4,PB,AC,BC,

"：PA=PB,

...點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直

平分線上）（填推理的依據(jù)）.

VCA=CB,

...點(diǎn)C在線段A8的垂直平分線上.

二直線PC為線段AB的垂直平分線.

即PC±l.

P.

Q*

P.

【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷點(diǎn)P、點(diǎn)C都在線段的垂直平

分線上，則PC垂直平分AB,所以PC，/.

【解答】（1）解：如圖，PC為所作;

（2）證明:

連接B4,PB,AC,BC.如圖,

"：PA=PB,

...點(diǎn)P在線段A8的垂直平分線上(到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平

分線上).

"：CA=CB,

...點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上.

垂直平分

：.pcn.

故答案為：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；CA=CB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),

結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了線段垂直平

分線的性質(zhì).

36.(2022秋?西城區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC,A(-2,6),B(-

5,1),C(3,1).點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線/對(duì)稱，直線/與BC,AC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)。，

E.

(1)求點(diǎn)A到8C的距離；

(2)連接BE,補(bǔ)全圖形并求AABE的面積；

(3)若位于x軸上方的點(diǎn)尸在直線/上，ZBPC=90°,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)A(-2,6),8(-5,1),C(3,1),即可求點(diǎn)A到的距離；

(2)根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形，進(jìn)而求△ABE的面積即可；

(3)根據(jù)題意可得點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，此時(shí)/BPC=9(r,進(jìn)而可以寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1)VA(-2,6),3(-5,1),C(3,1).

:.點(diǎn)A到BC的距離為5；

(2)如圖即為補(bǔ)全的圖形，

「△ABE的面積=△ABC的面積-△3EC的面積=LX8X5--LX8X4=4:

22

（3）由（2）可知：位于x軸上方的點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，

因?yàn)?。E=OC=O8=4,

所以ABDE和△CDE是等腰直角三角形，

所以此時(shí)N8EC=NBPC=90°,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,5）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，三角形面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是

掌握基本作圖方法.

37.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB=AC,/BAC=a（0°<a<90"）,AD

為BC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)8作于E,交于點(diǎn)尸，作NA8E的角平分線于

M,交AC于N.

（1）①補(bǔ)全圖形1:

②求NCBE的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）如圖2,若/a=45°,猜想Ab與8M的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；

②由等腰三角形的性質(zhì)得出AOLBC,ZDAC=lzBAC=la,證出NAOB=90°,由

22

直角三角形的性質(zhì)可得出答案；

（2）連接A/C,證出/MBC=45°,證明△AEP絲ZXBEC（ASA）,由全等三角形的性質(zhì)

得出AF=BC,證出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC=

MBM,則可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如下:

圖1

@'：AB=AC,。為8C的中點(diǎn)，

：.AD±BC,ZDAC=l.ZBAC^l-a,

22

/.ZADB^90°,

'：BELAC,

；./AEB=/BEC=9G°,

：.ZAEB=ZADB^90°,

ZAFE=ZBFD,

：.ZCBE=ZDAC=l.a；

(2)y/2BM.

證明：連接MC,

圖2

：/BAC=45°,ZA￡B=90°,

：.ZBAC=ZABE=45°,

J.AE^EB,

?:BN平分/ABE,

：.ZNBE=1ZABE=22.5°,

2

VZDAC=AzBAC=22.5°,

2

NEBC=ZDAC^/NBE=22.5°,

ZMBC=45°,

在△AEP和△BEC中，

，ZEAF=ZEBC

<AE=BE，

ZAEF=ZBEC

AAEF^ABEC（ASA）,

：.AF=BC,

?.?。為BC的中點(diǎn)，AD1.BC,

：.AD是BC的垂直平分線，

；.BM=MC,

VZMBC=45°,

/.叢BMC是等腰直角三角形，

；.BC=?BM,

:.AF=4^BM.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，

角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的

關(guān)鍵.

38.（2022秋?東城區(qū)期末）在△ABC中，AB^AC,ZA=100°.點(diǎn)M在2C的延長(zhǎng)線上,

ZABC的平分線交A