【高效備課】北師大版八(上) 第5章 二元一次方程組 5 應(yīng)用二元一次方程組-里程碑上的數(shù) 教案

【高效備課】北師大版八(上)第5章二元一次方程組5應(yīng)用二元一次方程組——里程碑上的數(shù)教案授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容北師大版八年級(jí)上冊(cè)第5章“二元一次方程組”第5節(jié)“應(yīng)用二元一次方程組——里程碑上的數(shù)”。本節(jié)課主要內(nèi)容包括：

1.通過解決實(shí)際問題，讓學(xué)生理解并掌握應(yīng)用二元一次方程組解決問題的方法。

2.學(xué)習(xí)如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，建立方程組，并運(yùn)用方程組求解。

3.探討里程碑上的數(shù)之間的規(guī)律，運(yùn)用二元一次方程組解決相關(guān)問題。

4.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。通過解決里程碑上的數(shù)問題，學(xué)生將學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，提高抽象思維能力和建模能力。同時(shí)，運(yùn)用二元一次方程組求解問題，鍛煉學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。在分析問題和解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.理解并掌握二元一次方程組的建立和解法。

2.能夠?qū)?shí)際問題抽象為二元一次方程組并求解。

難點(diǎn)：

1.抽象出問題中的等量關(guān)系，建立正確的方程組。

2.理解和運(yùn)用消元法、代入法等解方程組的技巧。

解決辦法：

1.通過具體例題演示，引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問題中的變量關(guān)系，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并建立方程組。

2.采用逐步引導(dǎo)、小組討論的方式，讓學(xué)生在嘗試中學(xué)習(xí)，通過解答過程讓學(xué)生體會(huì)消元法和代入法的應(yīng)用。

3.設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)際操作中鞏固方程組的建立和解法，提高解題技巧。

4.對(duì)難點(diǎn)問題進(jìn)行分解，先解決方程組中的簡(jiǎn)單部分，再逐漸過渡到復(fù)雜問題，幫助學(xué)生逐步克服難點(diǎn)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：每人一本北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備相關(guān)例題和練習(xí)題的打印資料，以及使用多媒體設(shè)備展示的教學(xué)PPT。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備黑板、粉筆、投影儀等基本教學(xué)工具。

4.教室布置：將教室座位安排為小組合作模式，以便學(xué)生進(jìn)行討論和小組活動(dòng)。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：通過展示一道簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，如“兩地之間的距離和速度問題”，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)方法解決。接著提出本節(jié)課的主題：“我們將會(huì)學(xué)習(xí)如何使用二元一次方程組來解決這類問題。”

2.新課講授（15分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

-首先，介紹二元一次方程組的定義和基本形式，讓學(xué)生理解方程組中變量的關(guān)系。

-其次，通過例題講解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，重點(diǎn)分析等量關(guān)系的建立。

-最后，演示消元法和代入法解二元一次方程組的步驟，并通過例題讓學(xué)生跟隨演示進(jìn)行解題。

3.實(shí)踐活動(dòng)（10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

-讓學(xué)生獨(dú)立完成教材上的練習(xí)題，鞏固二元一次方程組的建立和解法。

-設(shè)計(jì)一道與里程碑上的數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題，讓學(xué)生嘗試建立方程組并求解。

-讓學(xué)生分組討論，分享解題過程中的思考和遇到的問題，互相學(xué)習(xí)解決方法。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

-方程組的建立：討論如何從實(shí)際問題中抽象出等量關(guān)系，建立正確的方程組。

-解題方法的選擇：討論在解方程組時(shí)，何時(shí)使用消元法，何時(shí)使用代入法，以及兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

-實(shí)際應(yīng)用的拓展：討論二元一次方程組在生活中的其他應(yīng)用，舉例回答如商品定價(jià)、旅行計(jì)劃等問題。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)二元一次方程組在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。通過提問方式讓學(xué)生復(fù)述方程組的建立和解法，確保學(xué)生掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)。同時(shí)，指出在解題過程中可能遇到的問題和解決策略，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

總用時(shí)：45分鐘教學(xué)資源拓展一、拓展資源

1.拓展閱讀材料：介紹二元一次方程組在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用案例，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本利潤(rùn)分析、物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)問題、工程學(xué)中的測(cè)量問題等。

2.拓展練習(xí)題：收集更多涉及二元一次方程組的應(yīng)用題，包括不同難度級(jí)別的題目，以供學(xué)生在課后練習(xí)。

3.拓展視頻資源：搜索并整理一些教育平臺(tái)上的教學(xué)視頻，特別是講解二元一次方程組解題技巧和實(shí)際應(yīng)用的視頻。

4.拓展軟件工具：推薦一些數(shù)學(xué)軟件或在線工具，如Mathway、Desmos等，這些工具可以幫助學(xué)生直觀地解決方程組問題。

二、拓展建議

1.鼓勵(lì)學(xué)生在課后閱讀相關(guān)的拓展閱讀材料，了解二元一次方程組在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和實(shí)用性。

-拓展閱讀建議：選擇一些與生活緊密相關(guān)的案例，如家庭預(yù)算規(guī)劃、購(gòu)物打折問題等，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

2.建議學(xué)生完成以下拓展練習(xí)：

-完成教材外的拓展練習(xí)題，特別是那些需要運(yùn)用多種方法和策略的題目，以加深對(duì)二元一次方程組解法的理解。

-嘗試解決一些綜合性的問題，如涉及兩個(gè)變量之間的多個(gè)關(guān)系式，需要學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

-探索不同類型的實(shí)際問題，如線性規(guī)劃問題、最優(yōu)化問題等，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的建立和解法的多樣性。

3.利用視頻資源進(jìn)行自主學(xué)習(xí)：

-觀看教學(xué)視頻，特別是那些講解復(fù)雜問題解決方法的視頻，幫助學(xué)生掌握解題技巧。

-鼓勵(lì)學(xué)生在觀看視頻后，嘗試解決視頻中提出的問題，或自己尋找類似的問題進(jìn)行練習(xí)。

4.推薦使用數(shù)學(xué)軟件工具：

-利用Mathway、Desmos等工具，學(xué)生可以輸入方程組并得到圖形化的解答，這有助于直觀理解方程組的意義和解法。

-鼓勵(lì)學(xué)生在軟件中嘗試不同的方程組，觀察結(jié)果的變化，以加深對(duì)方程組解法的理解。課堂1.課堂評(píng)價(jià)

-提問：在課堂講解過程中，通過提問的方式檢查學(xué)生對(duì)二元一次方程組基本概念和方法的理解程度。例如，可以詢問學(xué)生如何從實(shí)際問題中建立方程組，以及如何選擇合適的解法。

-觀察：在學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)時(shí)，觀察學(xué)生的解題過程，了解他們?cè)诮⒎匠探M和求解過程中可能遇到的問題，以及他們是否能夠獨(dú)立解決問題。

-測(cè)試：在課程結(jié)束時(shí)，進(jìn)行一次小測(cè)驗(yàn)，測(cè)試學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，包括方程組的建立、解法以及實(shí)際應(yīng)用能力。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

-批改：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，關(guān)注學(xué)生在解題過程中的邏輯思維、計(jì)算能力和問題解決策略。

-點(diǎn)評(píng)：在批改作業(yè)后，對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行集體點(diǎn)評(píng)，指出普遍存在的問題，如方程組建立錯(cuò)誤、解法不當(dāng)?shù)龋⑻峁┱_的解題思路和方法。

-反饋：及時(shí)向?qū)W生反饋?zhàn)鳂I(yè)評(píng)價(jià)結(jié)果，對(duì)學(xué)生的進(jìn)步給予肯定，對(duì)存在的問題提出改進(jìn)建議，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力。

-鼓勵(lì)：對(duì)于在作業(yè)中表現(xiàn)出色的學(xué)生，給予口頭或書面的表?yè)P(yáng)，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的自信心和動(dòng)力。

具體評(píng)價(jià)流程如下：

-在課堂提問環(huán)節(jié)，教師可以設(shè)計(jì)不同難度的問題，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用能力的掌握。例如，對(duì)于基礎(chǔ)性問題，可以詢問：“什么是二元一次方程組？請(qǐng)舉一個(gè)例子。”對(duì)于應(yīng)用性問題，可以詢問：“如果你知道兩地之間的距離和各自的速度，如何用二元一次方程組來計(jì)算相遇時(shí)間？”

-在觀察環(huán)節(jié)，教師應(yīng)注意學(xué)生的解題習(xí)慣和思維過程，及時(shí)指出錯(cuò)誤并提供幫助。例如，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在建立方程組時(shí)遺漏了某些條件，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重新審視問題，找出遺漏的部分。

-在測(cè)試環(huán)節(jié)，教師可以設(shè)計(jì)一些綜合性的測(cè)試題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。測(cè)試后，教師應(yīng)分析學(xué)生的答題情況，對(duì)錯(cuò)誤率高的題目進(jìn)行講解，幫助學(xué)生理解。

-在作業(yè)批改環(huán)節(jié)，教師應(yīng)詳細(xì)記錄每位學(xué)生的錯(cuò)誤類型，如計(jì)算錯(cuò)誤、概念不清等，以便在點(diǎn)評(píng)時(shí)能夠有針對(duì)性地講解。

-在作業(yè)點(diǎn)評(píng)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)總結(jié)學(xué)生的常見錯(cuò)誤，并通過實(shí)例講解正確的解題方法。同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提問，解答他們?cè)谧鳂I(yè)過程中遇到的問題。

-在反饋環(huán)節(jié)，教師可以采用個(gè)別反饋或集體反饋的方式，確保每位學(xué)生都能了解自己的學(xué)習(xí)情況。對(duì)于需要改進(jìn)的地方，教師應(yīng)提供具體的建議和指導(dǎo)。

-在鼓勵(lì)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的點(diǎn)滴進(jìn)步，及時(shí)給予肯定，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。例如，可以表?yè)P(yáng)學(xué)生在某次作業(yè)中正確地建立了方程組，或者在解決問題時(shí)運(yùn)用了創(chuàng)造性的方法。板書設(shè)計(jì)①教學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-二元一次方程組的定義

-等量關(guān)系的建立

-消元法和代入法的解題步驟

②關(guān)鍵詞：

-二元一次方程組

-等量關(guān)系

-消元法

-代入法

③重點(diǎn)句子：

-“二元一次方程組是由兩個(gè)二元一次方程構(gòu)成的方程組?！?/p>

-“建立方程組的關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系?！?/p>

-“消元法是通過消去一個(gè)變量來簡(jiǎn)化方程組的方法?！?/p>

-“代入法是將一個(gè)方程的解代入另一個(gè)方程中求解的方法?！钡湫屠}講解例題1：一本書的厚度是2厘米，如果已知封面比封底厚0.5厘米，求封面和封底的厚度。

解：設(shè)封面的厚度為x厘米，封底的厚度為y厘米。根據(jù)題意，可以列出方程組：

x+y=2

x-y=0.5

解得x=1.25,y=0.75。所以封面的厚度是1.25厘米，封底的厚度是0.75厘米。

例題2：甲、乙兩人分別從相距120公里的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度是每小時(shí)15公里，乙的速度是每小時(shí)10公里。問幾小時(shí)后兩人相遇？

解：設(shè)兩人相遇需要t小時(shí)。根據(jù)題意，可以列出方程組：

15t+10t=120

25t=120

解得t=4.8。所以兩人相遇需要4.8小時(shí)。

例題3：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，一種產(chǎn)品的利潤(rùn)是每件30元，另一種產(chǎn)品的利潤(rùn)是每件20元。如果一個(gè)月內(nèi)總共生產(chǎn)100件產(chǎn)品，且利潤(rùn)總額為2800元，求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)了多少件？

解：設(shè)生產(chǎn)第一種產(chǎn)品x件，第二種產(chǎn)品y件。根據(jù)題意，可以列出方程組：

x+y=100

30x+20y=2800

解得x=60,y=40。所以第一種產(chǎn)品生產(chǎn)了60件，第二種產(chǎn)品生產(chǎn)了40件。

例題4：一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的兩倍。如果交換這兩個(gè)數(shù)字的位置，得到的新數(shù)比原數(shù)大36。求原來的兩位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為2x。根據(jù)題意，可以列出方程組：

10(2x)+x=10x+2x+36

20x+x=12x+36

解得x=4。所以原數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4，十位數(shù)字是8，原來的兩位數(shù)是84。

例題5