2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之圖形的對稱

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之圖形的對

選擇題（共10小題）

1.如圖，點(diǎn)P是/498內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。4和射線上的動(dòng)點(diǎn)，4PMN

周長的最小值是5c〃z,則NAOB的度數(shù)是（）

D.40°

2.如圖，等腰三角形48c的底邊BC長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線所分別交AC,48邊于E,

點(diǎn)M為線段E尸上一動(dòng)點(diǎn)，則△CZJM周長的最小值為（）

C.10D.12

3.如圖，四邊形A8CD中，ZC=50°,ZB=ZD=90o,E、尸分別是BC、0c上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周

)

C.70°D.80°

4.如圖，點(diǎn)尸是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且乙4。2=40°,點(diǎn)〃和點(diǎn)N分別是射線。4和射線03上的動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則/MPN的度數(shù)為（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

5.如圖，在AABC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長

C.ADD.AC

6.如圖，在矩形488中，AB=5,AD=3,動(dòng)點(diǎn)P滿足S△物B=矩形ABC。，則點(diǎn)尸到A、8兩點(diǎn)距離之

A.V29B.V34C.5V2D.V41

7.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）

?卷c⑥Q

8.如圖，在2義2的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC,則與AABC成軸對稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形

共有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

9.如圖，在RtZXABC中，90°,AC=6,BC=8,AD是/BAC的平分線.若P,Q分別是A。

和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+尸。的最小值是（）

D

o/

1224

A.—B.4C.一D.5

55

10.如圖，ZVIBC中，ZBAC=90°，48=3,AC=4,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，將△AB￡）沿A。翻折得到^

AED,連CE,則線段CE的長等于（

57

C.一D.

35

二.填空題（共5小題）

11.如圖，ZAOB=30°,點(diǎn)M、N分別在邊04、05上，且0M=l,ON=3,點(diǎn)尸、。分別在邊05、

0A上，則MP+PQ+QN的最小值是

12.如圖，矩形中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E是8C邊上一點(diǎn)，連接AE,把沿AE折疊，使點(diǎn)8

落在點(diǎn)次處.當(dāng)ACEB'為直角三角形時(shí)，8E的長為

13.如圖，正方形ABCD的邊長是16,點(diǎn)E在邊AB上，AE=3,點(diǎn)/是邊BC上不與點(diǎn)8,C重合的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△班尸沿EF折疊，點(diǎn)B落在B'處.若△C￡>3’恰為等腰三角形，則DB'的長

為

14.如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在邊上，把△3CE沿直線CE對折，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)尸

處，連接。立若點(diǎn)E,F,。在同一條直線上，AE=2,則。/=,BE=

15.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12,E是邊CD上一點(diǎn),連接AE、折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE

上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BF,點(diǎn)、F在上，若DE=5,則GE的長

為.

AFD

三.解答題(共5小題)

16.如圖在平面直角坐標(biāo)系中,△A8C各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A(4,0),B(-1,4),C(-3,1)

(1)在圖中作B'C使B'C和△ABC關(guān)于x軸對稱;

(2)寫出點(diǎn)A',正，C'的坐標(biāo).

17.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,3).

(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC,則△ABC的面積是；

(2)若點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于〉軸對稱，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為:

(3)已知P為x軸上一點(diǎn)，若AAB尸的面積為4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

18.(1)如圖1,在AB直線一側(cè)C、。兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P,使C、D、尸三點(diǎn)組成的三角形的周長

最短，找出此點(diǎn)并說明理由.

(2)如圖2,在NAO8內(nèi)部有一點(diǎn)P,是否在。4、OB上分別存在點(diǎn)E、F,使得E、F、P三點(diǎn)組成

的三角形的周長最短，找出E、尸兩點(diǎn)，并說明理由.

(3)如圖3,在NAOB內(nèi)部有兩點(diǎn)〃、N,是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F,使得E、F、M、N,

四點(diǎn)組成的四邊形的周長最短，找出區(qū)廠兩點(diǎn)，并說明理由.

19.如圖，在△ABC中，ZABC=45°，點(diǎn)尸為邊BC上的一點(diǎn)，BC=3BP,且/E4B=15°，點(diǎn)C關(guān)于

直線B4的對稱點(diǎn)為。，連接2。，又△APC的PC邊上的高為A8

(1)求的大?。?/p>

(2)判斷直線8。，AH是否平行？并說明理由；

(3)證明：NBAP=/CAH.

A

20.矩形ABC。中，AB=8,AD=12.將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為OE.

Ap

(1)如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP,求法的值；

(2)如圖②，若E是的中點(diǎn)，"的延長線交于點(diǎn)凡求8尸的長.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之圖形的對稱（2024年7月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，點(diǎn)尸是內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5c",點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。4和射線QB上的動(dòng)點(diǎn)，LPMN

周長的最小值是5c〃z,則/A08的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】B

【分析】分別作點(diǎn)尸關(guān)于。4、。8的對稱點(diǎn)C、D,連接C￡）,分別交。4、QB于點(diǎn)/、N,連接OC、

OD、PM、PN、MN,由對稱的性質(zhì)得出PM=DM,OP=OC,ZCOA^ZPOA；PN=CN,OP=OD,

ZDOB=ZPOB,得出忘/C。。，證出△OC。是等邊三角形，得出/COO=60°,即可得出結(jié)

果.

【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、的對稱點(diǎn)C、D,連接CD,

分別交。4、于點(diǎn)M、N,連接。C、OD、PM、PN、MN,如圖所示：

:點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D,關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C,

；.PM=DM,OP=OD,ZDOA^ZPOA；

,/點(diǎn)、P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C,

:.PN=CN,。尸=OC,ZCOB=ZPOB,

1

:.OC=OP=OD,NAOB=RCOD,

???△PMN周長的最小值是5cm,

：.PM+PN+MN=5,

：.DM+CN+MN=5,

即CD=5=OP,

：.OC=OD=CD,

即△OCZ）是等邊二角形,

：.ZCOD^60°,

AZAOB=30°；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對稱的性質(zhì),

證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，等腰三角形A8C的底邊8C長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,A8邊于E,

F點(diǎn).若點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CAM周長的最小值為（）

C

A.6B.8C.10D.12

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【答案】C

【分析】連接A。，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，故AOL8C,再根據(jù)三角形的面

積公式求出的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

故的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接

「△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是8C邊的中點(diǎn)，

：.AD±BC,

[1

：.S^ABC=^BC'AD=X4XAD=16,解得A￡>=8,

???EF是線段AC的垂直平分線，

點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

.,.AD的長為CM+MD的最小值，

一11

：.^CDM的周長最短=CM+MO+CO=AZ)+^C=8+/4=8+2=10.

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，四邊形ABC￡)中，ZC=50°,ZB=ZD=90°,E、尸分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEP的周

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】D

【分析】據(jù)要使aAEF的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC

和CD的對稱點(diǎn)A',A",即可得出/AA'E+ZA"=ZHAA'=50°,進(jìn)而得出NAEF+/AFE=2

CZAA'E+ZA"),即可得出答案.

【解答】解：作A關(guān)于BC和C。的對稱點(diǎn)A',A",連接A'A",交BC于E,交C。于R則A'

A"即為△AEF的周長最小值.作。A延長線

VZC=50°,

：.ZDAB=130°,

：.ZHAA'=50°,

AZA4ZE+ZA"=ZHAA'=50°,

'：ZEA'A=ZEAA',ZFAD=ZA",

：.ZEAA'+NA"AP=50°,

.?.Z￡AF=130°-50°=80°,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性

質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E,尸的位置是解題關(guān)鍵.

4.如圖，點(diǎn)尸是/AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且乙4。8=40。，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。4和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則/MPN的度數(shù)為（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】B

【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于08的對稱點(diǎn)尸1、尸2,連尸1、尸2,交OA于交OB于N,的

周長=P1P2,然后得到等腰△OP1P2中，ZOPiP2+Z（?P2Pi=100o,即可得出

=ZOP1M+ZOP2N=100°.

【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、OB的對稱點(diǎn)尸1、尸2,連接P1P2,交。4于交OB于N,則

OP1=OP=OP2,NOPiM=NMPO,NNPO=/NP2O,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP=P1M,PN=P2N,則

△PMN的周長的最小值=尸1尸2,

.?.NPIOP2=2NAOB=80°,

，等腰△OP1P2中，/OP1P2+/OP2Pl=100°,

/MPN=ZOPM+ZOPN^ZOP1M+ZOPiN=100°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確正確作出輔助線，得到等腰△0PP2中/。尸1尸2+/

。尸2Pl=100。是關(guān)鍵.凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于

某直線的對稱點(diǎn).

5.如圖，在△ABC中，AB^AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，尸是A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長

度等于BP+“最小值的是（）

B.CEC.ADD.AC

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題；等腰三角形的性質(zhì).

【答案】B

【分析】如圖連接尸C,只要證明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC^CE,推出P、C、

E共線時(shí)，P8+PE的值最小，最小值為CE的長度.

【解答】解：如圖連接PC,

：.AD1BC,

：.PB=PC,

:.PB+PE=PC+PE,

;PE+PCNCE,

：.P,C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

6.如圖，在矩形A8CD中，AB=5,AD=3,動(dòng)點(diǎn)P滿足S△用B=恭矩形ABCD,則點(diǎn)尸到A、8兩點(diǎn)距離之

A.V29B.V34C.5A/2D.V41

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【專題】空間觀念；幾何直觀；模型思想.

【答案】D

【分析】首先由S△朋B=3矩形ABCD,得出動(dòng)點(diǎn)尸在與43平行且與的距離是2的直線/上，作A關(guān)

于直線/的對稱點(diǎn)E,連接AE,連接BE,則8E的長就是所求的最短距離.然后在直角三角形ABE中，

由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值.

【解答】解：設(shè)AABP中A8邊上的高是/?.

..1

?S/\PAB—矩形ABCD,

11

：.-AB-h=^AB-AD,

23

2

.,./?=|A￡)=2,

動(dòng)點(diǎn)尸在與AB平行且與AB的距離是2的直線/上，如圖，作A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)E,連接AE,

連接8E,則BE的長就是所求的最短距離.

在RtZkABE中，'：AB=5,AE=2+2=4,

：.BE=yjAB2+AE2=V52+42=V41,

即PA+PB的最小值為"I.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最

短的性質(zhì).得出動(dòng)點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵.

7.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）

B邀C⑥D(zhuǎn)C

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形

叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

【解答】解：4是軸對稱圖形，故A符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故8不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故。不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點(diǎn).確定軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后

可重合.

8.如圖，在2X2的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC,則與△ABC成軸對稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形

共有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).

【專題】網(wǎng)格型.

【答案】c

【分析】解答此題首先找到AABC的對稱軸，EH、GC、AD,8E等都可以是它的對稱軸，然后依據(jù)對

稱找出相應(yīng)的三角形即可.

【解答】解：與AABC成軸對稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形有△ABG、△CDRAAEF、ADBH,叢BCG

共5個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)；找著對稱軸后畫圖是正確解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,是N8AC的平分線.若P,。分別是

和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

24

C.——D.5

5

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【答案】C

【分析】過點(diǎn)C作交A8于點(diǎn)交A。于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作PQLAC于點(diǎn)Q,由是/BAC

的平分線.得出尸這時(shí)尸C+PQ有最小值，即CM的長度，運(yùn)用勾股定理求出A3,再運(yùn)用

ABC=^AB-CM=^AC-BC,得出CM的值，即PC+P。的最小值.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQLAC于點(diǎn)Q,

是N8AC的平分線.

:.PQ=PM,這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，

,.?AC=6,3C=8,NAC8=90°,

：.AB=ylAC2+BC2=V62+82=10.

:SAABC=^AB-CM=%C?BC,

AC-BC6x8_24

：.CM=

~~AB~萬L號'

即PC+PQ的最小值為二.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足尸C+P。有最小值時(shí)點(diǎn)尸和。的位置.

10.如圖，△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，將沿翻折得到^

AED,連CE,則線段CE的長等于（

557

A.2B.-c.-D.-

435

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

【答案】D

【分析】如圖連接8E交于O,作A”_LBC于”.首先證明垂直平分線段BE,ABCE是直角三

角形，求出8C、BE,在Rt^BCE中，利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖連接BE交4。于O,作AHJ_8c于H.

在RtzXABC中，VAC=4,AB=3,

；.BC=V32+42=5,

■:CD=DB,

：.ED=DC=DB=^

11

V—BC*AH=4*AB*AC,

22

12

：.AH=苦,

'：AE=AB,

.?.點(diǎn)A在BE的垂直平分線上.

,:DE=DB=DC,

...點(diǎn)。在BE的垂直平分線上，△BCE是直角三角形,

...A。垂直平分線段BE,

11

\'-AD-BO=^BD-AH,

22

12

???OB=

24

；?BE=2OB=W，

在RtABCE中，EC=VBC2-BE2=J52-（等產(chǎn)

解法二：連接BE,于點(diǎn)ROF是三角形中位線，求出。R可得結(jié)論.

【點(diǎn)評】本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用

面積法求高，屬于中考?？碱}型.

二.填空題（共5小題）

11.如圖，ZAOB=30°,點(diǎn)M、N分別在邊。A、OB上,且OM=1,ON=3,點(diǎn)、P、。分別在邊。2、

OA上，則MP+PQ+QN的最小值是_國_.

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】作M關(guān)于08的對稱點(diǎn)AT,作N關(guān)于。4的對稱點(diǎn)N',連接N',即為MP+PQ+QN

的最小值.

【解答】解：作M關(guān)于02的對稱點(diǎn),作N關(guān)于04的對稱點(diǎn)N',

連接"N',即為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對稱的定義可知：NN'OQ=ZM'08=30°,ZONN'=60°,

：.^ONN'為等邊三角形，△OMM'為等邊三角形，

AZN'OM'=90°,

.?.在RtZWON'中，

M'N1=V32+I2=V10.

故答案為VTU.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形

是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，矩形ABC。中，42=3,BC=4,點(diǎn)E是2C邊上一點(diǎn)，連接AE,把沿AE折疊，使點(diǎn)B

3

落在點(diǎn)8'處.當(dāng)△CEB'為直角三角形時(shí)，BE的長為/或3.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】當(dāng)△CEB'為直角三角形時(shí)，有兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)夕落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示.

連接AC,先利用勾股定理計(jì)算出AC=5,根據(jù)折疊的性質(zhì)得NAB'E=/B=90。，而當(dāng)△CEB'為直

角三角形時(shí)，只能得到NE3'C=90°,所以點(diǎn)A、B'、C共線，即N2沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角

線AC上的點(diǎn)8'處，則EB=EB，,AB=AB'=3,可計(jì)算出CB'=2,設(shè)8E=x,貝U￡8'=x,CE

=4-x,然后在Rt^CEB'中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x.

②當(dāng)點(diǎn)2'落在4。邊上時(shí)，如答圖2所示.此時(shí)為正方形.

連接AC,

在RtZkABC中，AB=3,BC=4,

；.AC=V42+32=5,

沿AE折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)8'處，

AZAB'E=/B=90°,

當(dāng)△CEB為直角三角形時(shí)，只能得到/防'C=90°,

...點(diǎn)A、夕、C共線，即沿AE折疊，使點(diǎn)8落在對角線AC上的點(diǎn)距處,

:.EB=EB',AB=AB'=3,

：.CB'=5-3=2,

設(shè)貝W=x,CE=4-x,

在RtZIkCEB'中，

■:EB'2+CB'2=C￡2,

.'.X2+22=(4-x)2,解得x=,

：.BE=I；

②當(dāng)點(diǎn)8,落在A。邊上時(shí)，如答圖2所示.

此時(shí)ABEB'為正方形，：.BE=AB=3.

3

綜上所述，BE的長為一或3.

2

3

故答案為：5或3.

【點(diǎn)評】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等.也考查了矩形的

性質(zhì)以及勾股定理.注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.

13.如圖，正方形ABCD的邊長是16,點(diǎn)E在邊AB上，AE=3,點(diǎn)尸是邊8c上不與點(diǎn)8,C重合的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBP沿EF折疊，點(diǎn)8落在夕處.若△CO8'恰為等腰三角形，則。夕的長為16或

4V5_.

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).

【專題】壓軸題；分類討論.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得配E的長，根據(jù)勾股定理，可得CE的長，根據(jù)等腰三角形的判定，

可得答案.

【解答】解：(z)當(dāng)B'D=B'C時(shí)，

過8'點(diǎn)作GH〃AD,則/夕G￡=90°,

1

當(dāng)B'C=B'。時(shí)，AG=Z)H=以C=8,

由AE=3,AB=16,得BE=13.

由翻折的性質(zhì)，得B'E=BE=13.

：.EG=AG-AE=S-3=5,

：.B'G=<B'E2-EG2=V132-52=12,

：.B'H=GH-B'G=16-12=4,

：.DB'=yjB'H2+DH2=V42+82=4小

(?'z)當(dāng)DB'=CD時(shí)，則。8'=16(易知點(diǎn)廠在BC上且不與點(diǎn)C、B重合).

(Hi)當(dāng)CB'=C。時(shí)，貝iJC8=C8',由翻折的性質(zhì)，得EB=EB',：.點(diǎn)、E、C在BB'的垂直平分

線上，；.EC垂直平分3次,由折疊，得跖也是線段的垂直平分線，.?.點(diǎn)/與點(diǎn)C重合，這與

已知“點(diǎn)尸是邊8c上不與點(diǎn)8,C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”不符，故此種情況不存在，應(yīng)舍去.

綜上所述，DB'的長為16或4強(qiáng).

故答案為：16或4班.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換，利用了翻折的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定.

14.如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在AB邊上，把△2CE沿直線CE對折，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)尸

處，連接。E若點(diǎn)E,F,。在同一條直線上，AE=2,則DF=2,BE=建一1.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AO=8C,ZADC=ZB=ZDAE=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到C5=8C,

ZCFE=ZB=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得至I]DF=AE=2；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可

得到結(jié)論.

【解答】解：：四邊形A3。是矩形，

：.AD=BC,ZADC=ZB=ZDAE=90°,

:把△BCE沿直線CE對折，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)尸處,

.CF=BC,ZCFE=ZB=90°,EF=BE,

：.CF=AD.ZCFD=90°,

???ZADE+ZCDF=ZCDF+ZDCF=90°,

???ZADF=ZDCF,

：.AADE^AFCD(ASA),

：.DF=AE=2；

VZAFE=ZCFD=90°,

AZAFE=Z￡)AE=90°,

ZAEF=/DEA,

???AAEF^ADEA,

,AEDE

??—,

EFAE

.22+EF

??—,

EF2

.-.￡F=V5-1(負(fù)值舍去)，

：.BE=EF=V5~1,

方法二：'：AB//CD,

??SAACD=SADCE,

SAACD-SADCF=SADCE-SADCF,

??S/\ADF=S/\ECF,

由題意知，BC=CF,S^ACD=SMBC,S^ECF=SABCE,

SAACD-S^ADF=SAABC-SACEF=SAABC-SABCE,

:?SADCF=SAACE,

xDF?CF=%E?BC,

CF=BC,

：.DF=AE=2,

設(shè)BE=x,

'：AE//CD,

：.AAEF^ACDF,

.AEEF

9，CD~DF"

.2%

??=一,

2+x2

解得：x-V^-1（負(fù)值舍去），

：.BE=y/5-l.

故答案為：2,V5-1.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換（折疊問題），全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩

形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，正方形紙片的邊長為12,E是邊C。上一點(diǎn)，連接AE、折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE

49

上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)8,得到折痕點(diǎn)P在上，若DE=5,則GE的長為1.

-13

BC

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；正方形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知，AABF冬AGBF,8尸垂直平分AG,先證△ABFgZk/ME,推出

AF的長，再利用勾股定理求出的長，最后在RtaAB尸中利用面積法可求出A8的長，可進(jìn)一步求

出AG的長，GE的長.

【解答】解：；四邊形ABC。為正方形，

：.AB=AD=n,ZBAD=ZD=90°,

由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知，之△GBR垂直平分AG,

：.BF±AE,AH=GH,

：.ZBAH+ZABH^9Q0,

又：/物H+/BAH=90°,

ZABH=ZFAH,

：.AABF^/\DAE（ASA）,

：.AF^DE^5,

在尸中，

BF=<AB2+AF2=V122+52=13,

11

S叢ABF=^AB*AF=寺BF?AH,

：.12X5=13AHf

60

：

.AH=否'

120

：.AG=2AH=詈

VAE=BF=13,

12049

???GE=AE-AG=13-蜀=若,

49

故答案為：—.

AFD

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積法求線

段的長度等，解題關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì).

三.解答題(共5小題)

16.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，△A8C各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A(4,0),B(-1,4),C(-3,1)

(1)在圖中作B'C'使AA'B'C和△ABC關(guān)于x軸對稱;

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-對稱.

【專題】數(shù)形結(jié)合.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)夕的坐標(biāo)為(-1,

-4）,點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（-3,-1）,然后描點(diǎn)；

（2）由（1）可得到三個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：（1）如圖，

（2）點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)8'的坐標(biāo)為（-1,-4）,點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（-3,-1）.

【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)坐標(biāo)與圖形-對稱：關(guān)于x軸對稱：橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸

對稱：縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

17.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0,1）、B（2,0）、C（4,3）.

（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC,則△ABC的面積是4；

（2）若點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-4,3）；

（3）已知P為無軸上一點(diǎn)，若AAB尸的面積為4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【專題】三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）直接利用AABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案;

（2）利用關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案；

(3)利用三角形面積求法得出符合題意的答案.

111

【解答】解：(1)如圖所示：ZVIBC的面積是：3X4-2X1X2-2X2X4-2X2X3=4；

故答案為：4；

(2)點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為：(-4,3)；

故答案為：(-4,3)；

(3)?.?尸為x軸上一點(diǎn)，的面積為4,

：.BP=S,

二點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為:2+8=10或2-8=-6,

故尸點(diǎn)坐標(biāo)為：(10,0)或(-6,0).

>'A

_i_i_i_S~I~i~i~

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形面積求法以及關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

18.(1)如圖1,在AB直線一側(cè)C、。兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P,使C、D、尸三點(diǎn)組成的三角形的周長

最短，找出此點(diǎn)并說明理由.

(2)如圖2,在NAOB內(nèi)部有一點(diǎn)P,是否在。4、。8上分別存在點(diǎn)E、F,使得E、F、P三點(diǎn)組成

的三角形的周長最短，找出E、尸兩點(diǎn)，并說明理由.

(3)如圖3,在NA08內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N,是否在OA、08上分別存在點(diǎn)E、F,使得E、F、M、N,

四點(diǎn)組成的四邊形的周長最短，找出￡、尸兩點(diǎn)，并說明理由.

A

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由于△PC。的周長=PC+CZ)+P￡),而CD是定值，故只需在直線AB上找一點(diǎn)P,使PC+PD

最小.如果設(shè)C關(guān)于直線4B的對稱點(diǎn)為C',使PC+PO最小就是使PC'+P。最?。?/p>

(2)作尸關(guān)于04、的對稱點(diǎn)C、D,連接C￡>角。4、0B于E、F.此時(shí)尸周長有最小值；

(3)如圖3,作M關(guān)于的對稱點(diǎn)C,關(guān)于的對稱點(diǎn)連接C。，交于E,于凡此時(shí)

使得E、F、M、N,四點(diǎn)組成的四邊形的周長最短.

【解答】解:(1)如圖1,作C關(guān)于直線A8的對稱點(diǎn)。，

連接C'。交4B于點(diǎn)P.

則點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn).

理由：在A2上取不同于尸的點(diǎn)P',連接CP、DP',CP.

?..(7和C關(guān)于直線/對稱，

:.PC=PC',P'C=P'c,

而CP+DP<CP'+DP',

：.PC+DP<CP'+DP'

：.CD+CP+DP<CD+CP'+DP'

即△(7￡?尸周長小于△口)〃周長；

(2)如圖2,作P關(guān)于的對稱點(diǎn)C,關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D,連接CD,交。4于E,。8于F,連接

PC,PD,則點(diǎn)E,尸就是所要求作的點(diǎn)，

理由：在。4,08上取不同于E,尸的點(diǎn)E’,F',連接CE'、E'P、PF'、DF',EF,

：C和P關(guān)于直線OA對稱，。和P關(guān)于直線0B對稱，

:.PE=CE,CE'=PE',PF=DF,PF'=DF',

PE+EF+PF^CE+EF+DF,PE'+PF'+E'F'=CE'+E'F'+DF',

'：CE+EF+DF<CE'+E'F'+DF',

：.PE+EF+PF<PE'+E'F'+PF'；

(3)如圖3,作M關(guān)于的對稱點(diǎn)C,作N關(guān)于。3的對稱點(diǎn)。，連接C。，交于E,0B于F,

則點(diǎn)￡,/就是所要求作的點(diǎn).連接MC,ND.

理由：在。4,08上取不同于E,尸的點(diǎn)E',F',連接CE'、E'P,DF',

：C和M關(guān)于直線0A對稱，

：.ME=CE,CE'=ME',NF=DF,NF'=DF',

由(2)得知MN+ME+EF+NFVMN+ME'+E'F'+F'N.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出對稱點(diǎn)

的位置是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在△ABC中，ZABC=45°,點(diǎn)尸為邊BC上的一點(diǎn)，BC=3BP,且/B48=15°，點(diǎn)C關(guān)于

直線的對稱點(diǎn)為。，連接又△APC的PC邊上的高為AH

(1)求N8尸。的大?。?/p>

(2)判斷直線A8是否平行？并說明理由；

(3)證明：ZBAP=ZCAH.

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】⑴根據(jù)點(diǎn)C關(guān)于直線外的對稱點(diǎn)為D，即可得到之△ACP,進(jìn)而得出

=60°,即可得到/8尸。=180°-120°=60°；

(2)先取PD中點(diǎn)E,連接BE,則△3EP為等邊三角形，△瓦汨為等腰三角形,進(jìn)而得到NZ)BP=90°,

即B_D_L8C.再根據(jù)△APC的PC邊上的高為AH,可得A”_L8C,進(jìn)而得出8O〃AH；

(3)過點(diǎn)A作2D、。尸的垂線，垂足分別為G、冗根據(jù)/G8A=NCBA=45°,可得點(diǎn)A在NGBC

的平分線上，進(jìn)而得到點(diǎn)A在NGZ)尸的平分線上.再根據(jù)/G￡＞尸=150°,即可得到NC=/ADP=75°,

進(jìn)而得到RtZkACH中，ZCAH=15°,即可得出N3AP=/CAM

【解答】解：(1),：ZPAB=i5°,NABC=45°,

/.ZAPC=150+45°=60°,

,/點(diǎn)C關(guān)于直線PA的對稱點(diǎn)為D,

：.PD=PC,AD=AC,

：.△A。尸經(jīng)△ACP,

?.ZAPC=ZAPD=60°,

：.ZBPD^1SO°-120°=60°；

(2)直線8￡),AH平行.理由：

;BC=3BP,

11

：.BP=^PC=

如圖，取尸。中點(diǎn)E,連接BE,則43砂為等邊三角形，△5。片為等腰三角形,

：.ZBEP=60°,

1

；.NBDE=*/BEP=30。,

：.ZDBP=90°,BPBDLBC.

又???AAPC的PC邊上的高為AH,

：.AH.LBC,

J.BD//AH；

(3)如圖，過點(diǎn)A作8。、。尸的垂線，垂足分別為G、F.

VZAPC=ZAPD,即點(diǎn)A在N0PC的平分線上,

：.AH=AF.

VZCBD=90°,ZABC=45°,

：.ZGBA=ZCBA=45°,

即點(diǎn)A在NG8C的平分線上，

：.AG=AH,

：.AG=AF,

???點(diǎn)A在/GDP的平分線上.

又尸=30°,

：.ZGDP=150°,

1

ZAZ)P=^x150°=75°,

：.ZC=ZADP=75°,

，RtZ\AC”中，ZCAH=15°,

J.ZBAP^ZCAH.

【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用,

解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)與判定構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

20.矩形A8C。中，AB=8,AD^12.將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，折痕為。E.

Ap

(1)如圖①，若點(diǎn)尸恰好在邊BC上，連接AP,求法的值；

(2)如圖②，若E是A8的中點(diǎn)，"的延長線交于點(diǎn)孔求的長.

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】(1)|.

(2)3.

【分析】(1)如圖①中，取。E的中點(diǎn)連接證明利用相似三角形的性質(zhì)求

解即可.

(2)如圖②中，過點(diǎn)尸作GH〃BC交AB于G,交CD于H.設(shè)EG=x,貝UBG=4-x.證明△EGPs

EGPGEP41

△PHD,推出一=—=—推出PG=2EG=3x,￡>8=AG=4+x,在RtAPHD中，由

PHDHPD123

PH2+DH2=PD2,可得(3x)2+(4+x)2=122,求出x,再證明△EGPS^EBR利用相似三角形的性

質(zhì)求解即可.

【解答】解：(1)如圖①中，取。E的中點(diǎn)連接PM.

AD

E

?.?四邊形A8CO是矩形,

.?.ZBA￡)=ZC=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP1DE,Z2=Z3,ZDAE=ZDPE=90°,

在中，?；EM=MD,

；?PM=EM=DM,

：.Z3=ZMPD,

???N1=N3+NMPD=2N3,

*.*/ADP=2/3,

：.Z1=ZADP,

'：AD//BC,

：.ZADP=NOPC,

：.Z\=ZDPC