高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量及其應(yīng)用 專項練習(xí)（原卷版+解析）

綜合訓(xùn)練07平面向量及其應(yīng)用（10種題型60題專練）

一.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算（共9小題）

1.（2023?大理州模擬）若平面向量二與三的夾角為60°,,|b1=1.則等于（）

A.V3B.2^3C.4D.12

2.（2023?廣西模擬）如圖，在△ABC中，AB=6,AC=3,ZBAC=^-,=2DC,則標(biāo)?標(biāo)=（）

3

A.18B.9C.12D.6

3.（2023?市中區(qū)校級模擬）在△ABC中，有瓦?（AB-BC）=2CB?（CA-AB）.貝UtanC的最大值是（）

A.亞B?亞C.叵D.叵

7372

4.（2023?阿勒泰地區(qū)一模）在△ABC中，4B=1,AC=2,ZBAC=135°,BD=XBC.若AO-LAC,則入

=（）

A啦-1BS+lcS+l口啦-1

5.（2023?河北模擬）萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如圖

所示，分別以正三角形A8C的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為

萊洛三角形，已知A,B兩點間的距離為2,點P為右上的一點，則瓦?（麗+衣）的最小值

為______________________

6.（2023?重慶模擬）已知向量三的夾角為6?！?，IaI=2IbI=2?若對任意的xi、（m,+°°）,且

x\<xi,X[lnx2則M的取值范圍是()

xrx2

A.[/,+8)B.[e,+8)c.,-KO)D.[Le)

ee

7.（2023?畢節(jié)市模擬）已知點G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)NC取最大值時，cosC=（）

A.AB.旦C.2D.工

5555

8.（2023?合肥三模）哥特式建筑是1140年左右產(chǎn)生于法國的歐洲建筑風(fēng)格，它的特點是尖塔高聳、尖形拱

門、大窗戶及繪有故事的花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常

見，它是由線段AB和兩個圓弧AC、圍成，其中一個圓弧的圓心為A,另一個圓弧的圓心為2,圓。

與線段A8及兩個圓弧均相切，若AB=2,則=（）

A.B.上C.D.

16737

9.（2023?宜章縣二模）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且6=2csin（A哈）?

⑴求C；

（2）若c=l,。為△ABC的外接圓上的點，BA,=BA2＞求四邊形A3。面積的最大值.

二.投影向量（共6小題）

10.（2023?湖南模擬）已知向量7元滿足金+石）年=2，且1%|=1，則向量Z在向量％上的投影向量為（）

A.1B.-1C.bD.-b

11.（2023?全國二模）已知向量之，與滿足，則在:方向上的投影向量為（）

A.aB.bC.2aD.2b

12.（2023?武陵區(qū)校級模擬）若向量Z，E滿足Z=（-4,3）-b=（5,12））則向量E在向量二上的投影向

量為（）

A.（且，型）B.（巫，更）

k65657v25257

64_4864_48

c.f

25,方

13.（2023?靜安區(qū)二模）已知向量Z=（i,近）,且Z，E的夾角為JL，，則E在7方向上的投影向量等

3

于_______________________

14.（2023?石家莊二模）已知非零向量；，三滿足，則在4方向上的投影向量為（)

—?

A.-aB.-bD.b

15.（2023?河北三模）已知平面向量，E為單位向量，且（工+2石）1（WV），則向量E在向量之上的投影

向量的坐標(biāo)為_______________________

三.平面向量的基本定理（共5小題）

16.(2023?泰州模擬)在平行四邊形ABC。中,，屈*標(biāo).若AB=mDF+nAE，則m+n=)

3

A.1B.35D.4

2463

17.（2023?貴陽模擬）在△ABC中，為2C邊上的中線，E1為4。的中點，則EC=（

1—?Q—?Q—?1?Q—?1—?

A.IAB-|ACB.-4AB+4ACc.4AB+4ACD.4AB-4AC

44444444

18.（2023?淄博模擬）已知△AB。中，04=1,OB=2,,過點。作。。垂直AB于點貝U（

1.

19.（2023?開封一模）已知AABC中，。為8C邊上一點，且BD—BC，則AD=（）

3

A.yAC-tyABB--1-AC-?-1-ABc--1-AC-^ABD-^-AC-t^AB

20.（2023?海安市校級一模）己知等邊△ABC的邊長為2,。為BC的中點，尸為線段AD上一點，尸ELAC,

垂足為石，當(dāng)時，=（）

A.B.C.D.

四.平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共4小題）

21.（2023?烏魯木齊模擬）已知向量7=（2,3）,E=（-1，2）,若相與7-24共線，則工等于（）

n

A.-AB.Ac.-2D.2

22

22.（2023?龍口市模擬）已知向量a=（加2，-9）,b=（1，-1），則“，”=-3”是“a〃b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

23.（2023?林芝市二模）已知向量Z=（t-2,3）-羨（3,-1），且金+2%）鹿，則

24.（2023?高州市二模）己知向量W=（_i,2），b=（3,入），若彳+23與WV平行，則實數(shù)）的值為

（）

A.上B.—C.6D.-6

33

五.數(shù)量積表示兩個向量的夾角（共4小題）

25.（2023,2月份模擬）平面向量Z與％相互垂直，已知?=（6,-8）,,且％與向量（1,0）的夾角是鈍角，

則b=（）

A.（-3,-4）B.（4,3）C.（-4,3）D.（-4,-3）

26.（2023?沈陽三模）已知Z=（l,2），，若彳與E的夾角是銳角，則實數(shù)尤的取值范圍

是.

27.（2023春?大理市校級期中）已知平面向量2=（0,1）,己=（遮，2），則向量與7的夾角

為.

28.（2023?楊浦區(qū)校級三模）對任意兩個非零的平面向量五和下，定義.五.若平面向量Z，

E滿足lZl>El>0,Z與4的夾角0G（0,—）,且之⑤三和石⑤之都在集合｛二■I〃ez｝中，則彳區(qū)三

42

六.數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系（共5小題）

29.（2023?運城三模）已知向量之，石滿足Z=（l,入），b+2a=（l,-3），且:_LV則實數(shù)入=（）

A.1或工B.-1或!C.1或1D.-1或」

2222

30.（2023?安徽模擬）已知平面向量之=（1,3）,b=（-l,2），若Z+tE與彳垂直，則實數(shù)r=（）

A.-2B.-1C.1D.2

31.（2023?桃城區(qū)校級模擬）己知向量，（1,-cos26）>若2_1_1），貝Ucos26=（）

32.（2023?紅河州一模）已知向量@=（2,m）,b=（4,-1）,且（a-b）~L（a+b），則實數(shù)加=（）

A.2B.AC.8D.

2

33.（2023?平定縣校級模擬）己知向量；=（i,2），b=（-l,1）;c=（m,2），且金一2三）1W，則實

數(shù)m—（）

A.-1B.0C.1D.任意實數(shù)

七.正弦定理（共5小題）

34.（2023?汕頭二模）在△ABC中，已知C=45°,c=2,則角2為（）

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

35.（2023?寶雞模擬）在△ABC中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且工-咨B.

a1+cosA

（1）證明：2a=b+c；

（2）若cosA=段，求△ABC的面積.

5

36.（2023?榆林二模）在銳角△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對應(yīng)的邊分別是〃，b,c,且2csin（B-A）=

2?sinAcosB+Z?sin2A,則￡的取值范圍是.

a

37.（2023?邢臺一模）已知△ABC內(nèi)角A,B,。所對的邊長分別為Q,b,c,2

V2a2cosB+b2=2abcosC+a2+c2,

（1）求&

（2）若△ABC為銳角三角形，且〃=4,求△A3C面積的取值范圍.

38.（2023?潮陽區(qū)三模）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.C=—,AB邊上的高為

3

(1)若SAABC=2?,求AABC的周長;

（2）求2二的最大值.

ab

八.余弦定理（共8小題）

39.（2023?雁塔區(qū)校級模擬）在△ABC中，若〃2+C2一房=一的,則角5=（）

A.120°B.60°C.135°D.150°

40.（2023?蒙城縣校級三模）在△A3C中，ZA,/B,NC的對邊分別為〃，b,c,且cos?。-COS2A=&

sinAsinB-sin2B.

（1）求NC的大?。?/p>

（2）已知〃+。=4,求△ABC的面積的最大值.

41.（2023?崇州市校級模擬）記△A3C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為mb,c,面積為8=60°,次+科

=3ac,則b—.

42.（2023?銅仁市模擬）銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若02=.（什方），則sig的取

值范圍是（）

43.（2023?瓊山區(qū)校級一模）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c.a=2有，b=2,且百

cosA（ccosB+bcosC）+asinA=0.

（1）求A；

（2）設(shè)。為BC邊上一點，且AO_LAC,求△ABO的面積.

B

44.(2023?江西模擬)已知△A3C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,△ABC的面積為S,?2+Z?2-c2

=25.

(1)求cosC；

(2)若Qcos5+Z?sinA=c,a=V5?求反

45.（2023?榆林二模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,若△ABC的面積是

退小2受"a2）,貝（）

4

A.—B.空C.—D.4

3366

46.（2023?大理州模擬）在①2a-b=2ccosB,②S=?（G年-③?sin（A+B）=l+2sin2c三個條

42

件中選一個，補(bǔ)充在下面的橫線處，然后解答問題.

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,己知.

（1）求角C的值；

（2）若6=4,點。在邊AB上，CD為NACB的平分線，ZkCDB的面積為色巨，求邊長a的值.

3

九.三角形中的幾何計算（共4小題）

47.（2023?天門模擬）某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索二角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角二角形二條

邊所對的外接圓的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且

此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角AABC外接圓的半徑為2,且三

條圓弧沿△ABC三邊翻折后交于點P.若AB=3,則sinNE4C=；若AC：AB；

BC=6：5：4,貝ij鞏+P8+PC的值為.

48.（2023?江寧區(qū)校級模擬）已知△ABC的內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足二-tanA=??

bcosA

（1）求角8的大小；

（2）若，設(shè)△ABC的面積為S,滿足S=3?，求b的值.

49.（2023?江西模擬）《周髀算經(jīng)》中“側(cè)影探日行”一文有記載：“即取竹空，徑一寸，長八尺，捕影而視

之，空正掩目，而日應(yīng)空之孔.”意謂：“取竹空這一望筒，當(dāng)望筒直徑1是一寸，筒長/是八尺時（注：

一尺等于十寸），從筒中搜捕太陽的邊緣觀察，則筒的內(nèi)孔正好覆蓋太陽，而太陽的外緣恰好填滿竹管的

50.（2023?渾南區(qū)校級三模）如圖，函數(shù)/（無）=2sin（3x+cp）（w>0,0<（p<it）的圖象與坐標(biāo)軸交于點

A,B,C,直線交/（x）的圖象于點。，O（坐標(biāo)原點）為△A2D的重心（三條邊中線的交點），其

一十.解三角形（共10小題）

51.（2023?宜春模擬）如圖，一架飛機(jī)從A地飛往2地，兩地相距500A%行員為了避開某一區(qū)域的雷雨

云層，從A點起飛以后，就沿與原來的飛行方向成12°角的方向飛行，飛行到中途C點，再沿與原

來的飛行方向AB成18°角的方向繼續(xù)飛行到終點B點.這樣飛機(jī)的飛行路程比原來的路程5Q0km大約

多飛了（）（sinl2°七0.21,sinl8°心0.31）

A.10kmB.20kmC.30kmD.40km

52.（2023?衡水模擬）已知△ABC中，a,。，c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且2asinA=（2Z?+c）sinB+（2c+b）

sinC.

(1)求角A的大小;

(2)設(shè)點。為8C上一點，是AABC的角平分線，且AO=2,b=3,求△ABC的面積.

53.(2023?重慶模擬)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b+c=2asin

(1)求A；

(2)設(shè)的中點為。，若CD=m且6-c=L求△ABC的面積.

54.(2023?桃城區(qū)校級模擬)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a(cosB+cosC)+(b+c)

cos(B+C)=0.

(1)求A；

(2)若。為線段8c延長線上的一點，KBALAD,BD=3CD,求sin/ACD

55.(2023?晉江市校級模擬)在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，△ABC的面積

⑴若注ccosB=V2a-b>求.'［「也-的值;

sinB

(2)求旦的取值范圍.

b

56.(2023?黃石模擬)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosC+csinA=6.

(1)求A；

(2)AD=2DC.BD=3,求△ABC面積的最大值.

57.（2023?寧波一模）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,—-t^=4cosC-

ba

22

（1）求一:b的值;

2

c

（2）若---=---+~--,求cosA.

tanBtanAtanC

58.(2023?宜春一模)在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且〃+0=2ccos艮

(1)求證：C=2B；

(2)求a+3b的最小值.

bcosB

59.(2023?江西二模)在①3absinC=4AB?AC；?a(3sinB+4cosB)=4c,這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在

下面問題中，并加以解答.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,.

(1)求sinA的值；

(2)若△ABC的面積為2,a=4,求△ABC的周長.

注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

60.(2023?開福區(qū)校級二模)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a,b,c是公差為2的

等差數(shù)列.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積.

(2)是否存在正整數(shù)b,使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，請

說明理由.

綜合訓(xùn)練07平面向量及其應(yīng)用（10種題型60題專練）

一.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算（共9小題）

1.（2023?大理州模擬）若平面向量二與E的夾角為60。，，|三|=1，則等于（）

A.V3B.2V3C.4D.12

【分析】先求向量的數(shù)量積，然后利用向量的模的求解方法求解即可.

【解答】解：因為平面向量Z與E的夾角為60。，，|b1=11

所以lal=2,ab=|a||b|cos9=2XIXcos600=1，

所以|；+2E|=V（a+2b）2=7a2+4ab+4b2=44+4義1+4=273-

故選：B.

【點評】本題主要考查向量數(shù)量積運算，向量模的運算性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?廣西模擬）如圖，^AABC中，AB=6,AC=3,ZBAC=^~,=2左，則族?標(biāo)i=（）

3

A.18B.9C.12D.6

【分析】利用平面向量的數(shù)乘與加減運算，把問題轉(zhuǎn)化為的數(shù)量積求解.

【解答】解：：=2玩，；.，

.??.O??1.O?

AD=AB+BD=AB號（AC-AB）=與福號AC，

???AB-AD=AB'（-1-AB-^AC）=y|AB|2-^AB-AC

=y|AB|2-ty|AB||AC|cos^-=yX36+yX6X3X（^-）=6.

故選：D.

【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.（2023?市中區(qū)校級模擬）在△ABC中，有菽?（AB-BC）=2CB?（CA-AB）,貝I]tanC的最大值是（）

A.晅B.叵C.叵D.運

7372

【分析】利用余弦定理和數(shù)量積定義化簡得出三角形三邊。，6,c的關(guān)系，利用基本不等式求出cosC的

最小值，顯然C為銳角，要使tanC取最大值，則cosC取最小值，從而得出sinC的最大值，即可得出答

案.

【解答】解：???菽.（血-前）=24?（五-正）,

又菽BC=CACB-

，,即a2+2b2=3ci,

2八21/2,22、_______

2.,22a+b丁（a+2b）,/-------歷

由余弦定理得cosC=y---------=全譜》2展當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)

a「2abJ。=---2ab3bbaV3bba3

招-上即b=V2a時等號成立，

3b6a

在△ABC中，C為銳角，要使tanC取最大值，則cosC取最小值浮，此時sinC=41-cos2c

33

tanC=且嗎=1=號,即tanC的最大值是叵.

cosCV222

~3~

故選：D.

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

4.(2023?阿勒泰地區(qū)一模)在△ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=135°,BD=XBC)ADLAC,則入

=（）

A2V2-1R2V2+1p2V2+1n2V2-1

5577

【分析】將標(biāo)表示成標(biāo)=（1-入）AB+XAC，再根據(jù)[（1-九）AB+XAC]AC=O＞利用平面向量數(shù)量

積的運算求出A的值.

【解答】解：AD=AB+BD=AB+^BC=AB+X(AC-AB)=(1-X)AB+XAC)

'：AD1AC,

???AD1AC.

則［(1-入)標(biāo)+入菽］?正=0，(1-X)AB-AC+X|AC|2=0-(1-入)XlX2Xcosl35°+A22=0,

(1-X)X1X2X(-^y-)+22xX=Q，即-V2(1-X)+4X=0,即，解得

、一&_a(4-V^)_啦-2即._272-1

企+4=(可+4)(43)「^'

故選：D.

BD

【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

5.（2023?河北模擬）萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如圖

所示，分別以正三角形A8C的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為

萊洛三角形，已知A,B兩點間的距離為2,點P為篇上的一點，則瓦?（麗+五）的最小值為

10-4V7_.

【分析】利用平面向量的線性運算及向量數(shù)量積的運算將所求式子表示為2而24，再利用三角形的幾

何意義求解即可.

【解答】解：設(shè)。為8c的中點，E為的中點，如圖所示,

A

則=2(PE+EA)■(PE-EA)=2(PE2-EA2)>

在正三角形ABC中,AD=7AB2-BD2^722-12=V3，

所以，

所以,

sCE=VCD2+DE2=冬,

所以，

所以隹?(而+正)的最小值為：2PE2^1=2(2^y-)2-1-10-4V7-

故答案為：10-4V7.

【點評】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

6.(2023?重慶模擬)已知向量Z,E的夾角為60°,IaI=2IbI=2，若對任意的羽、(機(jī)，+8),且

XlnXXlnx

xi<x2,l2-2l>|-_2-?；則根的取值范圍是()

xrx2

3

A.[e,+8)B.[e,+°0)C.仕，Q)D.仕，e)

ee

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義求得ZE=1，于是由數(shù)量積的應(yīng)用可得|a-2b1=2.對任意的尤1、尤26

(加，+8),且xi<x2,則將>----2_2----轉(zhuǎn)化為，即，則構(gòu)造函數(shù)f(x)得

xl-x2x

函數(shù)在(m,+8)上單調(diào)遞減，求導(dǎo)判斷了(無)單調(diào)性，即可得相的取值范圍.

【解答】解：已知向量之，%的夾角為60。，|aI=2lbI=2.

貝人

所以|；-2芯|=7(a-2b)2=Va2-4ab+4b2=也-4+4=2，

所以對任意的xi、X2E.Cm,+8),且xi<x2,,]Jl!jxilnx2~%21nxi<2xi-2x2,

lnxlnx<.ooi_n

所以——9--——-<--——,即，設(shè)f(x)='riV2,即/(x)在(m,+8)上單調(diào)遞減，

X2XiX2X1X

又xe(0,+8)時，(x)="1尸=0'解得尤=e3,

X4

所以xe(0,e3),f(x)>0,f(x)在xe(0,e3)上單調(diào)遞增；

xE(e3,+8),f(x)<0,f(x)在(e3,+°°)上單調(diào)遞減，

所以m^e3.

故選：A.

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

7.(2023?畢節(jié)市模擬)已知點G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)NC取最大值時，cosC=()

A.AB.旦C.2D.工

5555

【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合AG(AC+AB)，BG=_^_(BA+BC)及余弦定理可得?05，=看，根

據(jù)基本不等式即可求解.

【解答】解：由題意，

所以(GA+GB)2=(GA-GB)2-

DH*2?2■9?2?2?

即GA+GB+2GA-GB=GA+GB-2GAGB，

所以,

所以AG_LBG,

91—?—*1—?91—?1—*—?

又AGqX卷(AC+AB)甘(AC+AB)，BG*X卷(BA+BC)*(BA+BC)，

JNOO

則,

,....,.2

所以WCB=AC-AB+KA-BC+AB,即^bcosC=/?ccosA+?ccosB+c2,

222

「a+b-c

由cosA二cosB='COSC=2ab

2bc2ac

所以4Z2+Z?2=5C2,

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,

又〉=35%在(0,n)上單調(diào)遞減，Ce(0,IT),

所以當(dāng)/C取最大值時，cosC=g.

5

故選：A.

【點評】此題考查向量的數(shù)量積運算及余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合三角形重心的性質(zhì)和余弦定

理可得/+62=502,然后利用基本不等式求解，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

8.(2023?合肥三模)哥特式建筑是1140年左右產(chǎn)生于法國的歐洲建筑風(fēng)格，它的特點是尖塔高聳、尖形拱

門、大窗戶及繪有故事的花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常

見，它是由線段AB和兩個圓弧AC、BC圍成，其中一個圓弧的圓心為A,另一個圓弧的圓心為3,圓。

與線段A8及兩個圓弧均相切，若AB=2,則=（）

A.-J-B.上C.工D.-A

16737

【分析】構(gòu)造直角三角形，勾股定理求圓。的半徑，得到。4,余弦定理求cosNAOB,利用向量數(shù)量積

公式求丞0B-

【解答】解：若AB=2,則圓弧AC、8C的半徑為2,設(shè)圓。的半徑為r,則。4=2-r,過。作

AB,則。D=r,AD=1,

2△0D4中，042=002+402,即（2-分2=於+1,解得萼，則有，△AOB中，由余弦定理得，

4

?e,0A-0B=10A|-|OB|cos/AOB=8）2

41b

故選：A.

【點評】本題考查新情景問題下的圓的綜合應(yīng)用，涉及三角函數(shù)公式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

9.（2023?宜章縣二模）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且6=2csin（A吟）.

（1）求C；

（2）若c=l,。為△ABC的外接圓上的點，BA,=BA＜求四邊形A8CD面積的最大值.

【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角和的正弦公式化簡運算，即可得解;

（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則，推出||cosB=|以|,進(jìn)而知3。為外接圓的直徑，設(shè)NA4C=a,

利用正弦定理，用含a的式子表示A。，CD和8C,再由5=工4小的＞+工8。?。，并結(jié)合三角函數(shù)的知

22

識，得解.

【解答】解：（1）由正弦定理及b=2csin（知sinB=2sinCsin（人+^），

所以sin(A+C)=2sinC(返sinA+」cosA),

22

所以sinAcosC+cosAsinC=V3sinCsinA+sinCcosA,BPsinAcosC=V3sinCsinA,

因為sinAWO,所以tanC=m」nC,=乂_3_

cosC3

又Ce(0,it),所以C=—.

6

A

(2)因為福?=誣2,所以I福I?||cos8=|以|2,BP||cosB=|BA|,

所以/54。=三，即8。為外接圓的直徑，

2

所以工，

2

由（1）知，ZACB=—,所以NACD=2-匹=匹,

6263

設(shè)NB4C=a,則NCAD=Z-a,

2

71

由c=l,ZACB=知，外接圓的直徑R=c

TsinZACB

所以)

在△AC。中，由正弦定理知，R=ADCDAD=2sin3-='/^,C￡=2sin(-^-

sinZACDsinZCAD32

-a)=2cosa,

在△ABC中，由正弦定理知，R=——二----所以BC=2sina,

sinZBAC

所以四邊形ABCD面積S=^-AB-AD+^BC'CD=1X1XA/3+—X2sinaX2cosa=+sin2a,

22222

因為ae（0,—所以2ae（0,it）,

2

所以當(dāng)2a=3_,即a=2L時，sin2a取得最大值1,此時S取得最大值亞+1,

242

故四邊形42。面積的最大值為亞+1.

2

【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，兩角和的正弦公式，平面向量數(shù)量積的運算法則是解

題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

投影向量（共6小題）

10.（2023?湖南模擬）已知向量a，b滿足（a+b），b=2，且IbI=1，則向量Z在向量E上的投影向量為

A.1B.-1C.bD.-b

【分析】由已知可求得ZE=i，然后根據(jù)投影向量的公式，即可得出答案.

【解答】解:因為IbI=1，（工+E）E=ZE+『=2，

所以；E=I，

f———

所以，向量；在向量E上的投影向量為與=以

lb||b|11

故選：C.

【點評】本題主要考查投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2023?全國二模）已知向量：，E滿足，則在7方向上的投影向量為（）

A.aB.bC.2aD.2b

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算，對兩邊同時平方得到ZE=o,再由投影向量的定義即可求解.

【解答】解：由已知條件得:Ia+b|1|a-b|2,即a，b=0.

又在a方向上的投影向量為

-?2——

(a+b)aa|a|+a-b一

(|a+b|cos<a+b，-----F=-；-----=a-

Ia|AH

故選：A.

【點評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2023?武陵區(qū)校級模擬）若向量z，E滿足7=（-4,3）-b=（5,12），則向量E在向量Z上的投影

向量為（）

A.(且，型)B.(巫，48)

'2525J

C.禺，辿)D.禺，色

'2525,%5657

【分析】由向量的數(shù)量積公式求得向量夾角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量b在向量a上的

投影向量.

【解答】解：設(shè)向量a與b的夾角為①

a-b(-4,3)-(5,12)16

則cos0=1Ia|=5,|b|=13-

lai|b|5X1365

則b在a上的投影向量為.

故選：B.

【點評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2023?靜安區(qū)二模）已知向量；=（1,炳）,且W，三的夾角為二，，則三在7方向上的投影向量等于

3

1-

戲一.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式，求出，再結(jié)合投影向量的公式，即可求解.

【解答】解：向量Z=（l,V3）,

則laI=2，

則2a'a，!）-3b2=4,即，解得lb1=1,

故E在Z方向上的投影向量等于|b|cos^r

3IaI4

故答案為：—a.

4

【點評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2023?石家莊二模）己知非零向量之，石滿足，則在E方向上的投影向量為（）

A.-aB.-bC.aD.b

【分析】由己知可得之石=0,根據(jù)投影向量的定義及數(shù)量積的運算律求投影向量即可.

【解答】解：a?+2a-b+bla'za-b+b?，可得a-b=0，

所以在E方向上的投影向量為E,（：-［）_-L=2,±2b石=_1.

lb||b||b|2

故選：B.

【點評】本題考查向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，投影向量的概念，屬基礎(chǔ)題.

15.（2023?河北三模）已知平面向量，E為單位向量，且金+2%）1C-E），則向量E在向量Z上的投影

向量的坐標(biāo)為工）.

一、55-

【分析】由C+2E）_L得ZE，計算E在Z方向上的投影，進(jìn)而得％在Z方向上的投影向量