安徽省亳州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)

2025屆安徽省高三摸底大聯(lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。3．本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)、復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合．則圖中陰影部分表示的集合為（）

A． B． C． D．3．有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（）

A．9 B．10 C．11 D．12

4．已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（）

A． B． C． D．

5．已知，則值為（）

A． B． C． D．1

6．已知雙曲線，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．

7．已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則的值為（）

A． B．3 C． D．

8．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則可能的不同取值的個(gè)數(shù)為（）

A．45 B．46 C．90 D．91二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．

9．已知隨機(jī)變量滿足：，則（）

A． B．C． D．

10．設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)?，若關(guān)于的不等式的解集為或，下列說法正確的是（）

A．的極大值為0

B．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心

C．直線與函數(shù)的圖象相切

D．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍為

11．已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則（）

A．曲線的圖象由兩個(gè)圓構(gòu)成

B．的最大值為

C．的取值范圍為

D．直線與曲線有且僅有3個(gè)交點(diǎn)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．12．已知向量，且，則向是在向量上的投影向量坐標(biāo)是_______．13．已知函數(shù)與的圖象上任意3個(gè)相鄰的交點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則_______．14．用個(gè)不同的元素組成個(gè)非空集合（，每個(gè)元素只能使用一次），不同的組成方案數(shù)記作，且當(dāng)時(shí)，．現(xiàn)有7名同學(xué)參加趣味答題活動(dòng)，參加一次答題，即可隨機(jī)獲得四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學(xué)獲得卡片后，可集齊全4種卡片的概率為________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（13分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．

（1）求；

（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長(zhǎng)．

16．（15分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與直線分別交橢圓于和兩點(diǎn)，求四邊形的面積．

17．（15分）如圖，在四棱錐中，，平面平面．

（1）證明：；

（2）若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

18．（17分）已知函數(shù)．

（1）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；

（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．19．（17分）已知數(shù)列，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．

（1）判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請(qǐng)說明理由；

（2）已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；

（3）證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有”．2025屆安徽省高三摸底大聯(lián)考－數(shù)學(xué)

參考答案、解析及評(píng)分細(xì)則1．B，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．故選B．2．D，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為．故選D．3．B因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)共6個(gè)，且，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第三位數(shù)，即6，則，解得．故選B．4．A球的體積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的側(cè)面積為。故選A．5．C因?yàn)?，所以，可得，即，所以，解得。故選C．

6．B設(shè)點(diǎn)，則，即，又兩條漸近線方程為，即，故有，所以．故選B．

7．D因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即①，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即②，聯(lián)立①②可得，所以．故選D．

8．B由題設(shè)可得，其中，故，且奇偶交錯(cuò)出現(xiàn)。（1）若為奇數(shù)，由可得對(duì)可取遍中的每一個(gè)奇數(shù)；（2）若為偶數(shù)，由可得對(duì)可取遍中的每一個(gè)偶數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，；考慮時(shí)，調(diào)整為3，則對(duì)應(yīng)的可增加，依次對(duì)諸至少一個(gè)）調(diào)整為3后，即，從上述的調(diào)整過程可得取遍了中的奇數(shù)或偶數(shù)（取奇數(shù)還是偶數(shù)取決于的奇偶性），當(dāng)時(shí)，取遍了中的奇數(shù)，合計(jì)46個(gè)，故選B．

9．BCD因?yàn)?，所以，解得，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選BCD．

10．ABC對(duì)于A，由，解得或，所以，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，設(shè)切點(diǎn)為，則解得所以直線與函數(shù)的圖象相切于，故C正確；對(duì)于D，由A選項(xiàng)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，令，解得或3，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，所以的取值范圍為，故D錯(cuò)誤．故選ABC．

11．AC由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個(gè)圓，故A正確；表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，最大值為，故B錯(cuò)誤；如圖所示，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，即圖中直線的斜率為1，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則直線與圓相切，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得表示的是點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，故的取值范圍為，故C正確；由C項(xiàng)可知直線與圓均相切，所以直線與曲線有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選AC．

12．由題意知，因?yàn)?，可得，解得，所以在上的投影向量為?/p>

13．如圖所示，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)分別為，由得，所以，則，所以為等腰直角三角形，所以點(diǎn)到直線的距離為，即，解得．

14．根據(jù)題干可列出對(duì)應(yīng)取值表格如下：12341121131314176151152510613190657163301350即個(gè)人集齊全4種卡片等價(jià)于7個(gè)不同元素組成4個(gè)非空集合，再將4個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)4種卡片，所以．

15．解：（1）由，得，①由，得，②

由①②聯(lián)立，得，

由，得，所以，

又由，得．

（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，得．由，即，所以．

由余弦定理，得，即，

所以，可得，

所以的周長(zhǎng)為．

16．解：（1）由題意知，且，解得，

則橢圓的方程為．

（2）易知四邊形為平行四邊形，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓消去并整理得，

由韋達(dá)定理得

，

因?yàn)榕c平行，所以這兩條直線的距離，

則平行四邊形的面積．

17．（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即?/p>

又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面?/p>

因?yàn)槠矫妫浴?/p>

（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，因?yàn)椋字?/p>

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

平面的法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

則

令，則，故，

故

設(shè)二面角的大小為，由圖形可知，為銳角，

故二面角的余弦值為．

18．解：（1），由題意知，解得，

經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)為函數(shù)的極值點(diǎn)，故．

（2）設(shè)，定義域?yàn)椋?/p>

，

設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在使，

所以當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的最大值

，

因?yàn)楹愠闪ⅲ?/p>

即恒成立，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即恒成立，

因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，

所以只需恒成立，即，

解得．

故的取值范圍是

19．（1）解：（1）因?yàn)?，則，又，故，即，數(shù)列是