2024-2025學(xué)年江西省撫州市高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年江西省撫州市高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合M=[x\y=lg(2x-3)},N={y\y>1},則MCN=()

A.B.(1,|)C.(l,+8)D.(|,+8)

2.某高中為鼓勵全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查7名同學(xué)在某周周日校園跑

的時長(單位：分鐘)，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：35,30,50,90,70,85,60.則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)

分別為()

A.60,58B,60,60C,55,58D,55,60

3.已知z=富(。eR)為實(shí)數(shù),則|2z+zi|=()

A.A/3B.2C.1D8

4.曲線y=e*+s譏2K在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為()

A.3x+2y—2=0B.2x—2y+1=0C.3x—y+1=0D.3x—2y+2=0

5.已知銳角a,/?滿足sina+sinasin^=cosacosp,貝2a+S=()

717171

A.2B.yC.D.Ji

6.過點(diǎn)P(l,-3)的直線Z與曲線M：(x-2)2+y2=i(2WKW3)有兩個交點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為()

A.(1,1]B.(1,2]C.(1,2]D.(|,4]

7.已知橢圓7：,+"=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為1的直線I與T交于4B兩點(diǎn),若線段4B

的中點(diǎn)M在直線x+2y=0上，貝U7的離心率為()

A.號B.亨C.§D.孝

8.如圖，在平行四邊形ABC。中，tan/BAD=7,AB=5y/2fAD=5萬為邊BC上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且族?族

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知雙曲線c：J——2=1，貝1k)

A.爪的取值范圍是(—6,3)

B.m=1時，C的漸近線方程為y=

C.C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(一3,0),(3,0)

D.C可以是等軸雙曲線

10.下列函數(shù)中，存在數(shù)列｛斯｝使得的，a2,和7'(a。，f(a2)-f(a3)都是公差不為0的等差數(shù)列的是()

2024

A./(x)=tanxB./(x)=log2xC./(x)=xD./(x)=1g簽金

11.己知定義在R上的偶函數(shù)/'(X)和奇函數(shù)g(x)滿足/'(2+%)+g(-久)=1,貝!1()

A./(均的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱B.f(x)是以8為周期的周期函數(shù)

C.g(x+8)=gQ)D.牛鱉/(軌-2)=2025

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.二項(xiàng)式(x-y)6的展開式中％4y2的系數(shù)為.

,JT___TT____

13.已知函數(shù)/(%)=2024s譏(2乂-%)在區(qū)間(1,zn)內(nèi)恰有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為.

14.已知三個正整數(shù)的和為8,用X表示這三個數(shù)中最小的數(shù)，則X的期望EX=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

2024年全國田徑冠軍賽暨全國田徑大獎賽總決賽于6月30日在山東省日照市落幕.四川田徑隊(duì)的吳艷妮以12

秒74分的成績打破了100米女子跨欄的亞洲紀(jì)錄，并奪得了2024年全國田徑冠軍賽女子100米跨欄決賽的

冠軍，通過跑道側(cè)面的高清軌道攝像機(jī)記錄了該運(yùn)動員時間雙單位：s)與位移y(單位：爪)之間的關(guān)系，得

到如下表數(shù)據(jù)：

X2.82.933.13.2

y2425293234

畫出散點(diǎn)圖觀察可得久與y之間近似為線性相關(guān)關(guān)系.

(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

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(2)記4=%-匕=%-6%-(1,其中%為觀測值，均為預(yù)測值，4為對應(yīng)(久"％)的殘差，求前3項(xiàng)殘差的和.

參考數(shù)據(jù)：即=i騰=45.1,型=1刈%=434.7,參考公式：b=Y?=1Xiyi-nxy,a=y-bx.

—nx2

16.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且。=等空.

4—a

(1)證明：b=4cosC；

(2)若C=^,c=鄧,求△ABC的周長.

17.(本小題15分)

已知直線Z：x=my+九交拋物線C：y2=N兩點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，且FM1FN.

(1)證明：m2+n>0；

(2)求71的取值范圍.

18.(本小題17分)

如圖，在棱長為4的正方體/BCD-中，將側(cè)面CD”G沿CG逆時針旋轉(zhuǎn)角度。至平面CD/?其中

eE(0,分，點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn).

(1)當(dāng)12彳。4//1=狎，求四棱錐P—CDi/G的體積；

(2)當(dāng)直線與平面CD/iG所成的角為稱時，求cos。的值.

19.(本小題17分)

定義：若對于任意幾6N*,數(shù)列｛Xn｝,｛即｝滿足：①Xn^Vn；②/'(久n)=/(即)，其中/(久)的定義域?yàn)椤＃?/p>

Xn,yneD,則稱｛嗎｝，關(guān)于f(久)滿足性質(zhì)G.

(1)請寫出一個定義域?yàn)镽的函數(shù)八式)，使得8｝,｛-n｝關(guān)于滿足性質(zhì)G；

(2)設(shè)g(x)=x+3x>0,k>0),若｛/｝，｛%J關(guān)于9(久)滿足性質(zhì)G,證明：xn+yn>2\/k；

(3)設(shè)h(久)=淳+*+出x(xeR),若｛孫｝,關(guān)于h(X)滿足性質(zhì)G,求數(shù)列｛>?+的前幾項(xiàng)和.

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參考答案

l.D

2.B

3.0

4.C

5.4

6.B

l.D

8.B

9.ACD

10.AD

11.ABC

12.15

1勺,5〃4九-|

14-7

15.解：(1)依題意可得x=(x(2.8+2.9+3+3.1+3.2)=3,

y=|x(24+25+29+32+34)=28.8,

^Xiyt-5xy

=1434.7—5x3x28.8紅—27

T7~-45.1-5x32

?=ixj—5x

a=28,8—27x3=-52.2,

所以y關(guān)于％的線性回歸方程為y=27X-52.2.

(2)根據(jù)(1)得到=27X2,8-52.2=23.4,e1=24-23.4=0,6；

y2=27X2,9-52.2=26,1%=25-26.1=-1,1；

y3=27X3—52.2=28.8/=29—28.8=0.2,

所以E'le.=0.6-1.1+0.2=-0.3.

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16.(1)證明：由b=節(jié)詈，整理可得：ab=^b-4ccosA,

由正弦定理得bsinZ=4sinB—4sinCcosA=Asin(A+C)—4sinCcosA=4sinAcosCf

因?yàn)閟i幾4。0,

所以b=4cosC；

(2)因?yàn)镃=p所以b=4cosC=2平，

2

而C=方,c=4，由余弦定理得c2=爐+a-2abcos^f

即3=12+a2—6a,解得a=3,

所以△ABC的周長為3+3P.

17.(1)證明：由題意聯(lián)立｛1二+九，

得y2—4my—4n=0,

又直線1：x=my+n交拋物線C：、2=4%于〃，N兩點(diǎn),

所以/=16m2+16n>0,

所以血2+n>0；

(2)解:設(shè)M(xi,yi),N(x2,y2),

由(1)得yi+及=4m,yxy2=-4n,

因?yàn)镕M1FN,F(l,0),

所以麗?前=0,

BP(xi-i)(x2-i)+y02=o，

即⑺為+n-l)(my2+n-l)+為及=0,

2

整理得(m2+1)7172+m(n—l)(yi+y2)+(n—l)=0,

將yi+y2=4m,y02=—4n代入并整理得，4m2-n2—6n+1,4(m2+n)-(n—l)2>0,

所以n41,5.n2—6n+1>0,

解得：n>3+2"或n<3-272,

即n的取值范圍為(―8,3-2的U[3+2*,+8).

18.解：(1)由題意Di%，平面EFGH,P%u平面EFGH,

所以D/11PH1，又因?yàn)閠an—iPHi=|,

得*=|，所以P"i=6,

因?yàn)槭珿=2巡,GH\=4,PHi=6,

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所以PG2+G/^=P掰，

故PG1GHi，又D/ilPG,GH1nD1H1=H1,

故PG1平面C￡?i/G,

所以U四棱錐P-CD1H1G=x4X4-PG=32s.

(2)如圖，易知GH,FG,GC兩兩垂直，以G為原點(diǎn)，GH^FG^GC^jx,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由題知=則G(0,0,0),C(0,0,4),W1(4cos0,4sin0,O),￡>(4,0,4),

故次=(0,0,4),GH；=(4cos0,4sin0,O),

設(shè)平面CDi"iG的一個法向量為而=(x,y,z),

->-->

m-GC=O,C4z=0,

拓.GH；=0J寸14%COS6+4ysin3=0,

取y=1,得％=—tand,故m=(Tern。,1,0),

又DH；=(4cos6—4,4s譏4一4),

.Ti---?—>\—4sin0+4tan0+4sinO\

Sin=cosDHm=222?

6\V\^1+tan6>.716(cos0-l)+16sin0+16

日口tanO1

、yjl+tan20?^/(cos0—l)2+sin20+1-2'

化簡可得4cos2。-2cos。―1=0,

解得cose=上匕些或cose=匕在(舍去).

44

19.解：(1)4/(%)=/,定義域?yàn)镽,

顯然任意幾EN*,-n。幾，且/(一九)=(-n)2=n2=/(n),

故/(%)=/滿足要求，(注：所有的定義域?yàn)镽的偶函數(shù)均符合題意),

kk

(2)證明：因?yàn)椤?鳥)=gOn),所以馬+7=%1+r，

移項(xiàng)得知一丹=［一］k(xn-yn)

Yn-TIxnyn

k

因?yàn)榫镁舧打，所以%九一％Iw0,故7T=l,xnyn=fc,

由基本不等式安"n店拓，當(dāng)且僅當(dāng)g=