高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)教師用書第一章第二講命題及其關(guān)系充分條件與必要條件

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1．命題的概念用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3．充要條件充分條件與必要條件的定義從集合角度理解若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為Bp是q的充分不必要條件p?q且qeq\a\vs4\al(?/)pA是B的真子集集合與充要條件的關(guān)系p是q的必要不充分條件peq\a\vs4\al(?/)q且q?pB是A的真子集p是q的充要條件p?qAeq\a\vs4\al(＝)Bp是q的既不充分也不必要條件peq\a\vs4\al(?/)q且qeq\a\vs4\al(?/)pA，B互不包含1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命題．((2)一個(gè)命題非真即假．()(3)四種形式的命題中，真命題的個(gè)數(shù)為0或2或4.()(4)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．()(5)若p是q成立的充分條件，則q是p成立的必要條件．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是()A．若a≤b，則a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，則a≤bC．若a＋c>b＋c，則a>bD．若a>b，則a＋c≤b＋c解析：選A命題的否命題是將原命題的條件和結(jié)論均否定，所以題中命題的否命題為“若a≤b，則a＋c≤b＋c”．3．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R(R為△ABC外接圓半徑)．若sinA>sinB，則eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)，即a>b，所以A>B；若A>B，則a>b，所以2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，所以“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要條件．4．(2018·唐山一模)若x∈R，則“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)x>1時(shí)，eq\f(1,x)<1成立，而當(dāng)eq\f(1,x)<1時(shí)，x>1或x<0，所以“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的充分不必要條件，選A.5．“若a<b，則ac2<bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是________解析：原命題：“若a<b，則ac2<bc2”，這是假命題，因?yàn)槿鬰＝0時(shí)，由a<b，得到ac2＝bc2＝0，不能推出ac2<bc2逆命題：“若ac2<bc2，則a<b”，這是真命題，因?yàn)橛蒩c2<bc2得到c2>0，所以兩邊同除以c2，得a<b，因?yàn)樵}和逆否命題的真假性相同，逆命題和否命題的真假性相同，所以真命題的個(gè)數(shù)是2.答案：26．設(shè)向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，則“a⊥b”是“x＝2”的________解析：a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，則a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－eq\f(1,2)，∴x＝2?a⊥b，反之a(chǎn)⊥b?x＝2或x＝－eq\f(1,2)，∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分條件．答案：必要不充分eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一四種命題的相互關(guān)系及真假判斷)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]四種命題的關(guān)系及其真假判斷是高考的熱點(diǎn)之一，一是對“若p，則q”形式命題的改寫要熟練，二是弄清命題的四種形式之間的真假關(guān)系.一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題.1．(2018·武漢模擬)對于原命題“正弦函數(shù)不是分段函數(shù)”，下列敘述正確的是()A．否命題是“正弦函數(shù)是分段函數(shù)”B．逆命題是“分段函數(shù)不是正弦函數(shù)”C．逆否命題是“分段函數(shù)是正弦函數(shù)”D．以上都不正確解析：選D原命題可寫成“若一個(gè)函數(shù)是正弦函數(shù)，則該函數(shù)不是分段函數(shù)”，否命題為“若一個(gè)函數(shù)不是正弦函數(shù)，則該函數(shù)是分段函數(shù)”，逆命題為“若一個(gè)函數(shù)不是分段函數(shù)，則該函數(shù)是正弦函數(shù)”，逆否命題為“若一個(gè)函數(shù)是分段函數(shù)，則該函數(shù)不是正弦函數(shù)”，可知A、B、C都是錯(cuò)誤的，故選D.2．設(shè)原命題：若a＋b≥2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是()A．原命題真，逆命題假B．原命題假，逆命題真C．原命題與逆命題均為真命題D．原命題與逆命題均為假命題解析：選A可以考慮原命題的逆否命題，即a，b都小于1，則a＋b<2，顯然為真．其逆命題，即若a，b中至少有一個(gè)不小于1，則a＋b≥2為假，如a＝1.2，b＝0.2，則a＋b<2.3．命題“已知a>1，若x>0，則ax>1”的否命題為(A．已知0<a<1，若x>0，則ax>1B．已知a>1，若x≤0，則ax>1C．已知a>1，若x≤0，則ax≤1D．已知0<a<1，若x≤0，則ax≤1解析：選C命題中，“已知a>1”是大前提，在四種命題中不能改變；“x>0”是條件，“ax>1”是結(jié)論．由于命題“若p，則q”的否命題為“若綈p，則綈q”，故該命題的否命題為“已知a>1，若x≤0，則ax≤1”．[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．判斷命題真假的2種方法(1)直接判斷：判斷一個(gè)命題是真命題，需經(jīng)過嚴(yán)格的推理證明；而要說明它是假命題，只需舉一反例即可．(如第2題逆命題的真假判斷)(2)間接判斷(等價(jià)轉(zhuǎn)化)：由于原命題與其逆否命題為等價(jià)命題，如果原命題的真假不易直接判斷，那么可以利用這種等價(jià)性間接地判斷命題的真假．(如第2題原命題的真假判斷)2．謹(jǐn)防3類失誤(1)如果原命題是“若p，則q”，則否命題是“若綈p，則綈q”，而命題的否定是“若p，則綈q”，即否命題是對原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)．(2)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫．(如第1題)(3)當(dāng)命題有大前提時(shí)，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提．(如第3題)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二充分、必要條件的判斷)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)充分條件、必要條件以其獨(dú)特的表達(dá)形式成為高考命題的熱點(diǎn).高考主要考查充分條件、必要條件的判斷，常以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.,充分條件、必要條件作為一個(gè)重要載體，考查的數(shù)學(xué)知識(shí)面較廣，幾乎涉及數(shù)學(xué)知識(shí)各個(gè)方面.[典題領(lǐng)悟]1．(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴當(dāng)λ<0，n≠0時(shí)，m·n<0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，當(dāng)〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，m，n不共線．故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”2．(2017·天津高考)設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2?x≤2，x≤2?/0≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤13．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)閜：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因?yàn)榻恞?綈p但綈peq\a\vs4\al(?/)綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件．4．(2018·江西鷹潭中學(xué)月考)設(shè)f(x)＝x2－4x(x∈R)，則f(x)>0的一個(gè)必要不充分條件是()A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：選C依題意，f(x)>0?x2－4x>0?x<0或x>4.又|x－1|>1?x－1<－1或x－1>1，即x<0或x>2，而{x|x<0或x>4}{x|x<0或x>2}，因此選C.[解題師說]1．熟記判斷充分、必要條件的3種方法方法解讀適合題型定義法第一步，分清條件和結(jié)論：分清誰是條件，誰是結(jié)論；第二步，找推式：判斷“p?q”及“q?p”的真假；第三步，下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論定義法是判斷充分、必要條件最根本、最適用的方法．(如典題領(lǐng)悟第1題)等價(jià)法利用p?q與綈q?綈p；q?p與綈p?綈q；p?q與綈q?綈p的等價(jià)關(guān)系適用于“直接正面判斷不方便”的情況，可將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的又便于判斷真假的命題，再去判斷．常用的是逆否等價(jià)法．(如典題領(lǐng)悟第3題)集合法記條件p，q對應(yīng)的集合分別為A，B.若AB，則p是q的充分不必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件適用于“當(dāng)所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關(guān)，或所描述的對象可以用集合表示時(shí)”的情況．(如典題領(lǐng)悟第2題及第4題)2．把握探求某結(jié)論成立的充分、必要條件的3個(gè)方面(1)準(zhǔn)確化簡條件，也就是求出每個(gè)條件對應(yīng)的充要條件；(2)注意問題的形式，看清“p是q的……”還是“p的……是q”，如果是第二種形式，要先轉(zhuǎn)化為第一種形式，再判斷；(3)靈活利用各種方法判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系，充分、必要條件的判斷常通過“?”來進(jìn)行，即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)命題關(guān)系的判斷，當(dāng)較難判斷時(shí)，可借助兩個(gè)集合之間的關(guān)系來判斷．[沖關(guān)演練]1．(2018·安徽兩校階段性測試)設(shè)a∈R，則“a＝4”是“直線l1：ax＋8y－8＝0與直線l2：2x＋ay－a＝0平行”的(A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選D∵當(dāng)a≠0時(shí)，eq\f(a,2)＝eq\f(8,a)＝eq\f(－8,－a)?直線l1與直線l2重合，∴無論a取何值，直線l1與直線l2均不可能平行，當(dāng)a＝4時(shí)，l1與l2重合．故選D.2．對于直線m，n和平面α，β，m⊥α成立的一個(gè)充分條件是()A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α解析：選C對于選項(xiàng)C，因?yàn)閙⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故選C.3．(2018·湖南湘中名校聯(lián)考)“l(fā)og2(2x－3)<1”是“4x>8”的(A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由log2(2x－3)<1?0<2x－3<2?eq\f(3,2)<x<eq\f(5,2)，4x>8?2x>3?x>eq\f(3,2)，所以“l(fā)og2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要條件，故選A.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍是對充分條件、必要條件與集合之間關(guān)系的深層次考查.關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件，熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、不等式的解法等知識(shí)，在近幾年的高考題中出現(xiàn)頻率較低，但也要引起關(guān)注.[典題領(lǐng)悟]1．(2018·保定模擬)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－eq\f(3,2)x＋1))))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件，∴A?B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))2．(2018·石家莊模擬)已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：法一：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴綈p對應(yīng)的集合為{x|x>10或x<－2}，設(shè)A＝{x|x>10或x<－2}．由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，∴綈q對應(yīng)的集合為{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，設(shè)B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴BA，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)．法二：∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件．即p是q的充分不必要條件，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．∴q對應(yīng)的集合為{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，設(shè)M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，又由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴p對應(yīng)的集合為{x|－2≤x≤10}，設(shè)N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要條件知，NM，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)[解題師說]1．解題“2關(guān)鍵”(1)把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間關(guān)系．(2)根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．2．解題“1注意”求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．(如典題領(lǐng)悟第2題)[沖關(guān)演練]1．(2017·湖北新聯(lián)考四模)若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A．[－3,3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]解析：選D∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分條件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－12．(2018·廣州模擬)已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]解析：選C由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，即q?p，p?/q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故選(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析：選B依題意得，原命題的逆命題是“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”．2．設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí)，必有對角線互相垂直，即AC⊥BD；當(dāng)四邊形ABCD中AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD不一定是菱形，還需要AC與BD互相平分．綜上知，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件．3．命題“若x2＋3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為(A．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”B．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”C．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”D．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”解析：選C根據(jù)逆否命題的定義可以排除A、D，因?yàn)閤2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命題為假命題，即逆否命題為假命題．4．設(shè)U為全集，A，B是集合，則“存在集合C，使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C依題意，若A?C，則?UC??UA，若B??UC，可得A∩B＝?；若A∩B＝?，不妨令C＝A，顯然滿足A?C，B??UC，故滿足條件的集合C是存在的．5．命題p：“若x2<1，則x<1”的逆命題為q，則p與q的真假性為(A．p真q真 B．p真q假C．p假q真 D．p假q假解析：選Bq：若x<1，則x2<1.∵p：x2<1，則－1<x<1.∴p真，當(dāng)x<1時(shí)，x2<1不一定成立，∴q假，故選B.6．(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S67．在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________條件．解析：由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，則A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0<B<π，∴A＝B.答案：充要8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．解析：因?yàn)閜(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3,8)．答案：[3,8)9．下列命題：①“a>b”是“a2>b2”②“|a|>|b|”是“a2>b2”③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要條件．其中真命題的是________(填序號(hào))．解析：①a>b?/a2>b2，且a2>b2?/a>b，故①不正確；②a2>b2?|a|>|b|，故②正確；③a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故③正確．答案：②③10．(2018·德州模擬)下列命題中為真命題的序號(hào)是________．①若x≠0，則x＋eq\f(1,x)≥2；②命題：若x2＝1，則x＝1或x＝－1的逆否命題為：若x≠1且x≠－1，則x2≠1；③“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件；④命題“若x<－1，則x2－2x－3>0”的否命題為“若x≥－1，則x2－2x－3≤0解析：當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≤－2，故①錯(cuò)誤；根據(jù)逆否命題的定義可知，②正確；“a＝±1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件，故③錯(cuò)誤；根據(jù)否命題的定義知④正確．故填②④.答案：②④B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．(2018·河南開封二十五中月考)下列命題中為真命題的是()A．命題“若x＞1，則x2＞1”B．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”D．命題“若eq\f(1,x)＞1，則x＞1”的逆否命題解析：選B對于A，命題“若x＞1，則x2＞1”的否命題為“若x≤1，則x2≤1”，易知當(dāng)x＝－2時(shí)，x2＝4＞1，故為假命題；對于B，命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題為“若x＞|y|，則x＞y”，分析可知為真命題；對于C，命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，易知當(dāng)x＝－2時(shí)，x2＋x－2＝0，故為假命題；對于D，命題“若eq\f(1,x)＞1，則x＞1”的逆否命題為“若x≤1，則eq\f(1,x)≤1”，易知為假命題，故選B.2．如果x，y是實(shí)數(shù)，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C設(shè)集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，則A的補(bǔ)集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補(bǔ)集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，顯然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．3．若x>5是x>a的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(5，＋∞) B．[5，＋∞)C．(－∞，5) D．(－∞，5]解析：選D由x>5是x>a的充分條件知，{x|x>5}?{x|x>a}，∴a≤5，故選D.4．在命題“若m＞－n，則m2＞n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個(gè)數(shù)是________解析：若m＝2，n＝3，則2>－3，但22<32，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，若m＝－3，n＝－2，則(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命題是假命題，則否命題也是假命題．故假命題的個(gè)數(shù)為3.答案：35．(2018·武漢調(diào)研)已知“命題p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命題q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________________解析：命題p：x＞m＋3或x＜m，命題q：－4＜x＜1.因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)6．寫出命題“已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．解：(1)逆命題：已知a，b∈R，若a2≥4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，為真命題．(2)否命題：已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2<4b，為真命題．(3)逆否命題：已知a，b∈R，若a2<4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，為真命題．7．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}(1)若x∈A是x∈B的充分條件，求a的取值范圍；(2)若A∩B＝?，求a的取值范圍．解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}(1)由題意知A?B，當(dāng)a＝0時(shí)，B＝?，不合題意．當(dāng)a>0時(shí)，B＝{x|a<x<3a}則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a≥4，))解得eq\f(4,3)≤a≤2.當(dāng)a<0時(shí)，B＝{x|3a<x<a}則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≤2，,a≥4，,))無解．綜上，a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)).(2)要滿足A∩B＝?，當(dāng)a>0時(shí)，B＝{x|a<x<3a則a≥4或3a≤2，即0<a≤eq\f(2,3)或a≥4.當(dāng)a<0時(shí)，B＝{x|3a<x<a}則a≤2或a≥eq\f(4,3)，即a<0.當(dāng)a＝0時(shí)，B＝?，A∩B＝?.綜上，a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪[4，＋∞)．C級(jí)——重難題目自主選做1．“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a為奇函數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選Cf(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝sinx－eq\f(1,x)，f(－x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＝－sinx＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,x)))＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)；反之，當(dāng)f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a為奇函數(shù)時(shí)，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＋a＋sinx－eq\f(1,x)＋a＝2a，故a＝0，所以“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a為奇函數(shù)”的充要條件，故選C.2．(2018·南山模擬)已知條件p：eq\f(1,4)<2x＜16，條件q：(x＋2)·(x＋a)＜0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為()A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4)C．(－∞，－4] D．(4，＋∞)解析：選B由eq\f(1,4)＜2x＜16，得－2＜x＜4，即p：－2＜x＜4.方程(x＋2)(x＋a)＝0的兩個(gè)根分別為－a，－2.①若－a＞－2，即a＜2，則條件q：(x＋2)(x＋a)＜0等價(jià)于－2＜x＜－a，由p是q的充分不必要條件可得－a＞4，則a＜－4；②若－a＝－2，即a＝2，則(x＋2)(x＋a)＜0無解，不符合題意；③若－a＜－2，即a＞2，則q：(x＋2)(x＋a)＜0等價(jià)于－a＜x＜－2，不符合題意．綜上，可得a的取值范圍為(－∞，－4)，故選B.(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)——保分題目巧做快做1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的(A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)橛伞癮＝3”可以推出“A?B”，反過來，由A?B可以得到“a＝3或a＝2”，不一定推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A?B”2．命題p：“若x2<1，則x<1”的逆命題為q，則p與q的真假性為(A．p真q真 B．p真q假C．p假q真 D．p假q假解析：選Bq：若x<1，則x2<1.∵p：x2<1，則－1<x<1.∴p真，當(dāng)x<1時(shí)，x2<1不一定成立，∴q假，故選B.3．(2018·河南開封二十五中月考)下列命題中為真命題的是()A．方程ax2＋x＋a＝0有唯一解的充要條件是a＝±eq\f(1,2)B．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”D．命題“若eq\f(1,x)＞1，則x＞1”的逆否命題解析：選B對于A，方程ax2＋x＋a＝0有唯一解，則a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝1－4a2＝0，,a≠0，))求解可得a＝0或a＝±eq\f(1,2)，故為假命題；對于B，命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題為“若x＞|y|，則x＞y”，分析可知為真命題；對于C，命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，易知當(dāng)x＝－2時(shí)，x2＋x－2＝0，故為假命題；對于D，命題“若eq\f(1,x)＞1，則x＞1”的逆否命題為“若x≤1，則eq\f(1,x)≤1”，易知為假命題，故選B.4．如果x，y是實(shí)數(shù)，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C設(shè)集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，則A的補(bǔ)集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補(bǔ)集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，顯然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．5．設(shè)集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，則“x∈A且x?B”成立的充要條件是()A．－1＜x≤1 B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1解析：選D由題意可知，x∈A?x＞－1，x?B?－1＜x＜1，所以“x∈A且x?B”成立的充要條件是－1＜x＜1.故選D.6．在命題“若m＞－n，則m2＞n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個(gè)數(shù)是________解析：若m＝2，n＝3，則2>－3，但22<32，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，若m＝－3，n＝－2，則(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命題是假命題，則否命題也是假命題．故假命題的個(gè)數(shù)為3.答案：37．有下列幾個(gè)命題：①“若a＞b，則a2＞b2”②“若集合A是集合B的子集，則集合A是集合B的真子集”的逆命題；③“若x2＜4，則－2＜x＜2”其中真命題的序號(hào)是________．解析：①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，是假命題，如－1＜0，但是(－1)2＞0；②原命題的逆命題為“若集合A是集合B的真子集，則集合A是集合B的子集”是真命題；③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4答案：②③8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．解析：因?yàn)閜(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3,8)．答案：[3,8)9．寫出命題“已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．解：(1)逆命題：已知a，b∈R，若a2≥4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，為真命題．(2)否命題：已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2<4b，為真命題．(3)逆否命題：已知a，b∈R，若a2<4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，為真命題．10．(2018·安徽黃山調(diào)研)已知條件p：2x2－3x＋1≤0，條件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a解：由2x2－3x＋1≤0，得eq\f(1,2)≤x≤1，∴條件p對應(yīng)的集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1)))).由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1∴條件q對應(yīng)的集合為Q＝{x|a≤x≤a＋1}．∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴根據(jù)原命題與逆否命題等價(jià)，得p是q的充分不必要條件．∴p?q，即PQ?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)，,a＋1≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1>1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).B級(jí)——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1．已知命題p：x2＋2x－3>0；命題q：x>a，且綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]解析：選A由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件．故a≥1.2．(2017·天津高考)設(shè)θ∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A法一：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)，得0<θ<eq\f(π,6)，故sinθ<eq\f(1,2).由sinθ<eq\f(1,2)，得－eq\f(7π,6)＋2kπ<θ<eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，推不出“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”．故“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的充