新疆部分學(xué)校2024屆高三4月（二模）大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1新疆部分學(xué)校2024屆高三4月（二模）大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.{-1,1} B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得或，所以，由，得，因?yàn)?，所以，或，或，所以，所以，故選：B．2.已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，則（）A.1或2 B.2 C.2或 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，整理得，解得或．故選：C．3.已知非零向量的夾角為，且，，則（）A.2π3 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得；由，得，所以，所以，因?yàn)?，所以．故選：A．4.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的方差為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．故選：C．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以．因，所以．另解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為，由，得，所以，即，得，所以，因?yàn)椋?，，，所以故選：A．6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為，圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)M，N之間的距離為5，則（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的最大值為4．設(shè)的最小正周期為，依題意，得，解得，所以，解得，所以，又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，結(jié)合圖象，知，解得，所以，所以．故選：D．7.過雙曲線的右焦點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點(diǎn)，過點(diǎn)向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，知雙曲線的漸近線方程為．設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離．設(shè)點(diǎn)，則，即．又，所以，解得．故選：A．8.已知函數(shù)滿足且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.5 D.10〖答案〗B〖解析〗由題意，知4為函數(shù)的一個(gè)周期且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的〖解析〗式，兩出函數(shù)的大致圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，總有．而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且，，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上沒有交點(diǎn)．綜上，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則與互為共軛復(fù)數(shù)是的充要條件D.若，，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，虛數(shù)不能比較大小，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則，充分性成立．若，則，即．又，所以，必要性成立．綜上，當(dāng)時(shí)，與互為共軛復(fù)數(shù)是的充要條件，故C正確；對于D，由，，知在復(fù)平面內(nèi)，與對應(yīng)的向量的夾角為，所以，故D正確．故選：ACD．10.如圖，在平行四邊形中，，且，為的中線，將沿BF折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接AE，DE，CE，且，則（）A.平面 B.AE與平面所成角的正切值是C.BC與DE所成的角為 D.點(diǎn)到平面的距離為〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)?，且，所以，．又為的中線，所以，．因?yàn)?，所以．由題意，知，所以EF⊥BF．又，且，BF?平面，所以平面，故A正確；因?yàn)?，，，所以平面．又，所以平面．所以與平面所成的角為．在中，，．所以，故B正確；因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角即為與所成的角，連接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推論，得，所以，所以與所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，且，所以．又，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，所以由等體積法，得點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11.設(shè)函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上的最大值為C.方程只有一個(gè)實(shí)根 D.，都有成立〖答案〗BCD〖解析〗由題可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時(shí)，，即f'x≥0，當(dāng)時(shí)，，即f'x<0所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上，．當(dāng)時(shí)，，所以在上的最大值為，故A錯(cuò)誤，B正確；，即，由圖象知，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上先增后減，又，，所以成立，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓錐的底面周長為，其側(cè)面積與半徑為的球的表面積相等，則該圓錐的體積為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長為，則，解得．因?yàn)榘霃綖榈那虻谋砻娣e為，即，解得，則圓錐的高．所以該圓錐的體積．13.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，，展開式的通項(xiàng)為，，所以，令，因?yàn)?，，所以時(shí)，可配湊出項(xiàng)，此時(shí)項(xiàng)的系數(shù)為．14.已知函數(shù)滿足其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，f'0=1，，在如下三個(gè)函數(shù)：①；②；③中，共有6個(gè)參數(shù)a，b，c，d，k，m．請?jiān)诩现校〕龊线m的數(shù)賦予上面6個(gè)參數(shù)．使其滿足題目要求，則a，b，c，d，k，m的值分別是__________（按對應(yīng)的參數(shù)順序?qū)懀淮藭r(shí)，在函數(shù)③中，的極小值是__________．〖答案〗，1，，0，，〖解析〗對于①，因?yàn)椋?，顯然f'x為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以．又，所以．對于②，因?yàn)椋裕驗(yàn)閒'x為偶函數(shù)，所以，顯然．又，所以．對于③，因?yàn)?，所以，易知f'x為偶函數(shù)．又，所以．又，所以．所以a，b，c，d，k，m的值分別為，1，，0，，．此時(shí)，③中，．方法一：由，得，令，畫出兩函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，則在單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，f'x<0，在和單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為．方法二：令，則，令，得．令，則，所以在上單調(diào)遞減，即g'(x)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，即f'x在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞煘，即f'x在單調(diào)遞煘，所以．又，所以當(dāng)時(shí)，f'x則在單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，f'x<0，在和單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，得．令，解得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，，即在0,1單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f'x<0，即在單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，令hx=2x-1所以當(dāng)時(shí)，h'x<0，當(dāng)時(shí)，h所以當(dāng)時(shí)，hx單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，hx單調(diào)遞增，所以hx的最小值為h所以hx≥h1這意味著在時(shí)單調(diào)遞增，所以的最小值為.16.目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．（1）已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；（2）若未來10天內(nèi)虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數(shù)為．①判斷為何值時(shí)，最大；②記，求．解：（1）由已知小李第天和第天都沒有觀看虛擬主播直播的概率為，所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為.（2）①由已知服從二項(xiàng)分布，所以，由，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，綜上，當(dāng)時(shí)，最大.②因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，.17.如圖，三棱錐的所有棱長都是，為的中點(diǎn)，且為FG的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若，平面與平面夾角的余弦值為，求FG的長．（1）證明：連結(jié)，因?yàn)?，，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，，且平面，所以平面，因?yàn)?，所以共面，所以平面和平面是同一平面，所以平面，且平面，所以平面平面；?）解；由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，設(shè)點(diǎn)是底面上的射影為，點(diǎn)在上，因?yàn)槿忮F的棱長都是，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作與平行的直線為軸，所在直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則O0,0,0，，，，，，,所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理為，解得：或(舍去)，所以的長度為8.18.已知直線與平面所成的角為，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，如果點(diǎn)到直線的距離總是，則點(diǎn)的軌跡為橢圓，如圖所示．以該橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線QA交橢圓于另一點(diǎn)，直線QB交橢圓于另一點(diǎn)，探究：直線MN是否經(jīng)過一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．解：（1）在空間中，到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡是以直線為軸，底面半徑為的圓柱形曲面，平面截該圓柱形曲面形成橢圓，設(shè)橢圓的方程為，由題意知，橢圓的短半軸長為，由直線與平面所成的角為，知橢圓的長半軸長為，所以橢圓的方程為；（2）由圖形的對稱性，知若直線經(jīng)過頂點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上，假設(shè)直線經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)Mx1,則，，直線的方程為y=y1x1+2x+2由題意知，直線與直線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，所以，即，所以，所以，所以，由，得，代入，得，即，（*）當(dāng)時(shí)，（*）式恒成立，所以，當(dāng)直線的傾斜角為0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，也過點(diǎn)，所以直線經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0.19.我們把滿足下列條件的數(shù)列稱為數(shù)列：①數(shù)列的每一項(xiàng)都是正偶數(shù)；②存在正奇數(shù)m，使得數(shù)列的每一項(xiàng)除以m所得的商都不是正偶數(shù)．（1）若a，b，c是公差為2的等差數(shù)列，求證：a，b，c不是數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足對任意正整數(shù)p，q，恒有，且，判斷數(shù)列是否是數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（3）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列共有100項(xiàng)，且對任意，恒有，若數(shù)列為數(shù)列，求滿足條件的所有兩位數(shù)k值的和．（1）證明：若a,b,c是數(shù)列,則a,b,c都是正偶數(shù),設(shè)，則若,則除以3為,是正偶數(shù),與題中條件(2)矛盾,若,則除以3為,是正偶數(shù),與題中條件(2)矛盾,若,則除以3為,是正偶數(shù),與題中條件(2)矛盾,所以a,b,c不是數(shù)列.（2）解：在中,令,得,所以數(shù)列是首項(xiàng)為8,公比為8的等比數(shù)列,所以,因?yàn)槭钦紨?shù),所以數(shù)列的每一項(xiàng)都滿足題中條件(1),因?yàn)?