江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆新高三暑期學(xué)習(xí)（全國(guó)普通高考調(diào)研模擬測(cè)試）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆新高三暑期學(xué)習(xí)（全國(guó)普通高考調(diào)研模擬測(cè)試）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，且，則，或，且，所以，或，因?yàn)椋瑒t或，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)，且，，則，當(dāng)，且，,時(shí)，，則當(dāng)，即，或，綜上，所以的元素個(gè)數(shù)為4故選：D.2.已知，，則點(diǎn)B到直線AC的距離為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，，，，所以在方向上的投影為，，所以點(diǎn)B到直線AC的距離為.故選：C.3.設(shè)，函數(shù)與直線交于點(diǎn)．若曲線y=fx與軸上方（不含軸）的正三角形的兩條邊相切，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于都在直線上，故平行于軸，再由是偶函數(shù)，可設(shè)，.據(jù)已知可得是y=fx的切線，故.所以由可知，故，從而.由于，故的方程為，令，得，所以.從而根據(jù)已知條件，點(diǎn)在軸上方，這就說(shuō)明命題等價(jià)于.故所求取值范圍是.故選：D.4.現(xiàn)有一份由連續(xù)正整數(shù)（可重復(fù)）組成的樣本，其容量為m，滿足上四分位數(shù)為28，第80百分位數(shù)為30，則m的最小值為（）A.24 B.25 C.28 D.29〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，若樣本容量的最小值為24，則，，則第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)應(yīng)為，第個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為，由是連續(xù)的正整數(shù)，顯然不符合情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若樣本容量的最小值為25，則，，則第19個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為，第個(gè)數(shù)據(jù)均為，由是連續(xù)的正整數(shù)，矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若樣本容量的最小值為28，則，，則第個(gè)數(shù)據(jù)均為，第23個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為，由是連續(xù)的正整數(shù)，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若樣本容量的最小值為29，則，，則第22個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為，則第個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為，所以第個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)該是29，符合題意，故D正確；故選：D.5.在遞增數(shù)列中，，．已知表示前n項(xiàng)和的最小值，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意在遞增數(shù)列an中，，，則，故，則或，結(jié)合題意取；又，則或，結(jié)合題意取；同理，則或，結(jié)合題意取，同理，則或，結(jié)合題意取，同理，則或，結(jié)合題意取，同理可得，，，故an前9項(xiàng)和最小值，可得，故選：C.6.在銳角中，已知，則B，C的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.無(wú)法確定〖答案〗A〖解析〗在銳角中，由，得，則，整理得，于是，由正弦定理得，由余弦定理得，而，因此，所以.故選：A.7.已知標(biāo)準(zhǔn)橢圓上P，Q兩點(diǎn)的切線方程分別為，，則直線PQ的斜率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)橢圓方程為，，聯(lián)立消去得①，則②，聯(lián)立消去得③，則④，聯(lián)立②④解得，代入①得，解得，所以，代入③得，解得，所以，所以.故選：D.8.若滿足在上恒成立的a唯一，則整數(shù)b的值為（）A.3 B. C.4 D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)，，對(duì)于A，，滿足在上恒成立的a唯一，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；當(dāng)時(shí)，令得；若，即，有在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；若，即，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減；，，，；可知，解得，符合題意，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)成立，只需驗(yàn)證，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，即，與矛盾；當(dāng)時(shí)，令得；若，即，有在上單調(diào)遞增，則，即，可知不唯一，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,D，，滿足在上恒成立的a唯一，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；當(dāng)時(shí)，令得；若，即，有在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；若，即，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減；，，，；可知，解得，不符合題意，C，D錯(cuò)誤；故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知的外接圓圓心在AC邊上，內(nèi)切圓半徑為，且．設(shè)D為AC邊上動(dòng)點(diǎn)，將沿BD向上翻折，得到四面體ABCD，記為M，其體積為V．則（）A.的外接圓面積為4πB.M不可能是正三棱錐C.M的外接球球心不可能在其棱上D.V取最大值時(shí)，〖答案〗ABD〖解析〗的外接圓圓心在AC邊上，則是為直角的直角三角形，中點(diǎn)是的外接圓圓心，又，則，，設(shè)，內(nèi)切圓半徑為，可得，即.的外接圓半徑，面積為，故A正確.若是正三棱錐，則一定是等腰三角形，又，即是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，為正三棱錐的底面，而側(cè)棱，所以不可能是正三棱錐，故B正確.取，將翻折到時(shí)，此時(shí)，，，，即，取中點(diǎn)為，則，是的外接球球心，故C錯(cuò)誤.以為原點(diǎn)，，為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，將沿BD向上翻折，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，過(guò)作，則為四面體的高，直線方程為，，，，設(shè)，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，又，，一定存在，使，且，而，所以當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；則的最大值是.因此當(dāng)點(diǎn)更靠近點(diǎn)，時(shí)，有最大值，即取最大值時(shí)，，故D正確.故選：ABD.10.已知拋物線Γ：的焦點(diǎn)為F，P為Γ上一動(dòng)點(diǎn)．過(guò)F且斜率大于0的直線與Γ交于不同的兩點(diǎn)A，B，且滿足，．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.直線AB的傾斜角大于60°B.若，則C.點(diǎn)P可能在第一象限D(zhuǎn).直線PB的橫截距不可能是〖答案〗AC〖解析〗拋物線Γ：的焦點(diǎn)為F1,0，直線過(guò)F且斜率大于0，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理，設(shè)，，，代入韋達(dá)定理得，又點(diǎn)不在直線上，則，即只有，當(dāng)，即時(shí)，有實(shí)數(shù)解，且存在點(diǎn)，又，則點(diǎn)在第四象限，故C錯(cuò)誤.設(shè)直線的斜率為，則，直線的傾斜角小于等于，故A錯(cuò)誤.若，則，，代入，解得，，所以，即，故B正確.取，則直線的直線方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，方程其中一個(gè)根為點(diǎn)縱坐標(biāo)，則另一根為，若另一根為點(diǎn)縱坐標(biāo)，則，此時(shí)，代入方程無(wú)解，所以與無(wú)法垂直，則不存在這樣過(guò)的直線，即直線的橫截距不可能是，故D正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，記時(shí)的極值點(diǎn)為（且的值均不同）．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.滿足有唯一零點(diǎn)的唯一 B.無(wú)論取何值，都沒(méi)有過(guò)原點(diǎn)的切線C.若，則 D.若，則〖答案〗BD〖解析〗設(shè)，則，故對(duì)有，對(duì)有.所以在上遞減，在0,+∞上遞增，從而，即.我們有，故對(duì)有，對(duì)有.所以在上遞減，在上遞增.從而有極小值點(diǎn)，故.由于，故.若，此時(shí)，而，故對(duì)有.所以.這就表明在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，從而至少有兩個(gè)零點(diǎn)；若，則根據(jù)的單調(diào)性，知存在唯一的零點(diǎn).對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有，所以，從而至少有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有，所以，從而至少有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有，所以，從而存在唯一的零點(diǎn).這就表明當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)唯一，故A正確；對(duì)于B，由于當(dāng)時(shí)，在1,0處的切線過(guò)原點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，由于，故.設(shè)，則，故對(duì)有，對(duì)有.所以hx在上遞增，在上遞減.由已知有，故可不妨設(shè)，而，故.再設(shè)，則，且，.而對(duì)有.所以在上遞增，從而對(duì)有；所以在上遞增，從而對(duì)有；所以φx在上遞增，從而對(duì)有，即.從而有.根據(jù)hx的單調(diào)性，知，故.所以，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)前面的討論，恒有成立，所以.這就得到，故D錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，若，則______．〖答案〗〖解析〗由得，由求根公式得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，13.甲和乙玩小游戲測(cè)試他們的默契度．在一輪游戲中，他們各寫(xiě)下一個(gè)三位數(shù)，分別記為A和B．當(dāng)以下任一條件成立時(shí)，他們“不默契”，否則“心有靈犀”：①A、B中相同的數(shù)字少于兩個(gè)（如147和289）②A、B中相同的數(shù)字不少于兩個(gè)，但不都在相同的數(shù)位上（如147和174）根據(jù)以上內(nèi)容判斷：在本輪游戲中，甲和乙“心有靈犀”的概率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題知，當(dāng)A、B中至少有兩個(gè)數(shù)字相同，且在相同數(shù)位上時(shí)，甲和乙“心有靈犀”.不妨記，當(dāng)A、B中有三個(gè)數(shù)字相同時(shí)，有1種情況；當(dāng)A、B中只有兩個(gè)數(shù)字相同時(shí)，若百位和十位相同，有9種情況，若百位和個(gè)位相同，有9種情況，若十位和個(gè)位相同，有8種情況，所以，當(dāng)A、B中只有兩個(gè)個(gè)數(shù)字相同時(shí)，有種情況.綜上，當(dāng)時(shí)，有種情況使得甲和乙“心有靈犀”.因?yàn)槿粩?shù)共有個(gè)，所以當(dāng)時(shí)，甲和乙“心有靈犀”的概率為，又因?yàn)榧讓?xiě)出每一個(gè)三位數(shù)且甲和乙“心有靈犀”的事件互斥，例如：事件“且甲和乙“心有靈犀””和事件“且甲和乙“心有靈犀””互斥.所以，甲和乙“心有靈犀”的概率為.14.給定一種有窮正整數(shù)列的延伸機(jī)制Ξ，如圖所示：記經(jīng)Ξ延伸后得到的無(wú)窮數(shù)列為an，則______．〖答案〗〖解析〗記第個(gè)連續(xù)串的長(zhǎng)度分別是，則，.從而，即，，.根據(jù)等比數(shù)列知識(shí)，得到，，.由于，.所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.俱樂(lè)部是具有某種相同興趣的人進(jìn)行社會(huì)交際、文化娛樂(lè)等活動(dòng)的團(tuán)體和場(chǎng)所．一些頂尖的俱樂(lè)部不僅對(duì)會(huì)員的要求非常嚴(yán)苛，加入也要經(jīng)過(guò)現(xiàn)任會(huì)員邀請(qǐng)并接受資格測(cè)試和對(duì)個(gè)人素養(yǎng)、社會(huì)地位等的綜合考察．研究人員通過(guò)模型預(yù)測(cè)某俱樂(lè)部標(biāo)準(zhǔn)資格測(cè)試的參試成績(jī)（總計(jì)100份），繪制成下表（已知B卷難度更大）：某俱樂(lè)部標(biāo)準(zhǔn)資格測(cè)試參試成績(jī)預(yù)測(cè)不及格及格良好優(yōu)秀A卷ab164B卷201262（1）若至少有5%的把握認(rèn)為及格率與試卷難度無(wú)關(guān)，求a的最小值；（2）在預(yù)測(cè)的40份B卷參試成績(jī)中隨機(jī)挑選3份，記不及格的份數(shù)為X①求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；②人教A版選擇性必修第三冊(cè)第80頁(yè)上寫(xiě)道：對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)…此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似．近似指的是期望還是方差？試判斷并說(shuō)明理由．附：，其中．α0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)得列聯(lián)表：不及格及格合計(jì)A卷a60B卷202040合計(jì)100零假設(shè)為：及格率與試卷難度無(wú)關(guān).由題知，，整理得，解得，依題意知，，所以a的最小值為.（2）①在預(yù)測(cè)的40份B卷參試成績(jī)中，不及格和及格各20份，由題知，的可能取值有，，，得X的分布列為：0123所以.②當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),超幾何分布與二項(xiàng)分布近似指的是方差，由①知，若進(jìn)行放回抽樣，則，，放回抽樣和不放回抽樣期望相等，所以近似指的是方程.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取后對(duì)N的影響非常小，此時(shí)放回與不放回對(duì)概率影響可以忽略不計(jì)，所以，此時(shí)超幾何分布與二項(xiàng)分布近似.16.已知定義在上的函數(shù)，．（1）分別說(shuō)明，gx的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在唯一極小值點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由題可得：，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；由題可得：，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（2）令，則，令，則，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以有唯一極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以有唯一極小值點(diǎn)，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：x>-lna，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，由②可知有唯一極小值點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在唯一實(shí)數(shù)，，使得，，又，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的極小值點(diǎn)為，，不唯一，不滿足題意；綜上，的取值范圍.17.已知無(wú)限高圓柱．如圖，四邊形內(nèi)接于其底面⊙O，P為其內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括表面），且平面平面，．（1）是否存在點(diǎn)使得直線平面？試判斷并說(shuō)明理由．（2）若，二面角的大小為，求最大時(shí)直線與平面所成角的余弦值．解：（1）不妨假設(shè)存在點(diǎn)使得直線平面，因?yàn)槠矫?，所以，又四邊形ABCD內(nèi)接于，所以，在平面PAD上作直線于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，故，又平面平面，所以平?而平面平面，故，不垂直，與題意矛盾.所以不存在點(diǎn)使得直線平面.（2）因?yàn)椋?，取AB中點(diǎn)，連接OF延長(zhǎng)交于，則，所以四點(diǎn)共線，則，即，因?yàn)闉锳B中點(diǎn)，所以，則。則，所以，同理可證，所以是等邊三角形.法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，向上為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)半徑為，其中，所以，設(shè)平面PAB的法向量m=則取，可得，取平面ABCD的一個(gè)法向量所以，解得，則取，設(shè)平面PAD的法向量，則，取，又，解得，設(shè)直線的方向向量，則，取，可得，所以，由題意可知平面ABCD時(shí)AP取得最大值，則，所以，解得舍），則，設(shè)平面PBD的法向量則，取，可得，設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為，所以，因?yàn)?，所以，故最大時(shí)直線PC與平面PBD所成角的余弦值為.法二：設(shè)在底面上投影為，直線PA與底面所成角為半徑為，由三余弦定理及三正弦定理得，因?yàn)?，則所以為定值，而，所以取最大值時(shí)，取最大值即與重合時(shí)，故直線平面ABCD，此時(shí)有，作直線BD于，連接PH，作于，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面BDH，而平面CDH，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面BDH，則即為直線PC與平面BDH所成角的平面角，所以，故取最大時(shí)直線PC與平面PBD所成角的余弦值為.18.已知焦點(diǎn)為F的拋物線Γ：，圓F與Γ在第一象限的交點(diǎn)為P，與x正，負(fù)半軸分別交于點(diǎn)H，G．直線PH，直線PF與Γ的另一交點(diǎn)分別為M，N，直線MN與直線PG交于點(diǎn)T．（1）若，證明：；（2）若，求的取值范圍．（1）證明：由題意知，設(shè)，則，由得，又，所以，設(shè)直線的方程為，由可得，則，又因?yàn)椋裕?，直線的方程為，由得，由，得．所以，所以，所以，所以為銳角；又，所以，所以為鈍角，故；（2）解：因?yàn)?，由?）知F1,0，設(shè)，則，，，，，所以直線的方程為，作，垂足為，則，直線的方程為，將直線與的方程聯(lián)立，得解得．所以，所以，由相似三角形的性質(zhì)可得，故，因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故，即的面積的取值范圍為．19.小學(xué)我們都學(xué)過(guò)質(zhì)數(shù)與合數(shù)，每一個(gè)合數(shù)都能分解為若干個(gè)質(zhì)數(shù)的積，比如，等等，分解出來(lái)的質(zhì)數(shù)稱為這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因子，如2，3都是6的質(zhì)因子．在研究某兩個(gè)整數(shù)的關(guān)系時(shí)，我們稱它們是互質(zhì)的，如果它們沒(méi)有相同的質(zhì)因子．例如25的質(zhì)因子只有5，而36的質(zhì)因子只有2，3，所以25，36是互質(zhì)的