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高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省2024屆高三仿真模擬考試數(shù)學試題(五)一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得,又函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,又由得,即,所以.故選:D.2.若復數(shù)(為虛數(shù)單位),則復數(shù)的虛部為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為,所以,故復數(shù)的虛部為.故選:A.3.九九重陽節(jié)期間,甲?乙兩名同學計劃去敬老院做志愿者,若甲同學在初八、初九、初十這三天中隨機選一天,乙同學在初八、初九這兩天中隨機選一天,且兩名同學的選擇互不影響,則他們在同一天去的概率為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲同學在三天中隨機選一天,共有3種情況,乙同學在兩天中隨機選一天,共有2種情況,所以一共有種情況,他們在同一天去共有2種情況,所以他們在同一天去的概率為.故選:B.4.記為等差數(shù)列的前項和,若,,則()A.4 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗由,可得,解得,故故選:B.5.如圖,在直角梯形中,,若分別是邊,上的動點,滿足,其中,若,則的值為()A.1 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗建立如圖所示的平面直角坐標系,由題意可得.設,,由,即,據(jù)此可得,故,同理可得,,據(jù)此可得,則,整理可得,由于,故.故選:D.6.蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂,殊不知蟋蟀鳴叫的頻率(每分鐘鳴叫的次數(shù))與氣溫(單位:℃)存在著較強的線性相關關系.某地觀測人員根據(jù)如表的觀測數(shù)據(jù),建立了關于的線性回歸方程,則下列說法不正確的是()(次數(shù)/分鐘)2030405060(℃)2527.52932.536A.的值是20B.變量,呈正相關關系C.若的值增加1,則的值約增加0.25D.當蟋蟀52次/分鳴叫時,該地當時的氣溫預報值為33.5℃〖答案〗D〖解析〗由題意,得,,則,故A正確;由線性回歸方程可知,,變量,呈正相關關系,故B正確;若的值增加1,則的值約增加0.25,故C正確;當時,,故D錯誤.故選:D.7.設,,,則,,的大小關系是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,,,故.故選:C.8.已知函數(shù),則關于的不等式的解集是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題設,對稱軸為且圖象開口向下,則在上遞增,上遞減,由,即恒過且,所以上,上,而在上遞增,且上,上,所以的解集為.故選:C.二?多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知雙曲線的離心率為,右頂點為,以為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點,則有()A.漸近線方程為 B.漸近線方程為C. D.〖答案〗BC〖解析〗雙曲線離心率為故漸近線方程為,取MN的中點P,連接AP,利用點到直線的距離公式可得,則,所以,則,故選BC.10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,對于所得圖象對應的函數(shù),下列說法正確的是()A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BC〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得,∵,∴,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,故選項B正確;因為,所以,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故選項C正確,故選:BC.11.已知均為正實數(shù),且,則下列不等式正確的是()A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為,當且僅當時等號成立,所以,故正確;由得,同理,當且僅當,即時等號成立,故B正確;滿足題意,但,故C錯誤;由得,所以,當且僅當即時等號成立,所以,故D正確故選:ABD.12.已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù),為奇函數(shù),當時,,則下列說法正確的是()A. B.函數(shù)為周期函數(shù)C.函數(shù)為上的偶函數(shù) D.〖答案〗AB〖解析〗因為為偶函數(shù),,故函數(shù)圖象關于直線對稱,f2x+1為奇函數(shù),1),函數(shù)圖象關于1,0對稱,對于B,,故2是函數(shù)的周期,函數(shù)為周期函數(shù),故B正確;對于A,,令,故f1=0,又,故A正確;對于C,,當時,f'x>0,即函數(shù)在上遞增,函數(shù)圖象關于1,0對稱,故函數(shù)在上遞減,故函數(shù)在上遞增,所以,故函數(shù)不是偶函數(shù),故C錯誤;對于D,,故D錯誤,故選:AB.三?填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知,,C為平面內(nèi)的一個動點,且滿足,則點C的軌跡方程為______________.〖答案〗〖解析〗依題意,設,由,得,即,整得得,所以點的軌跡方程為.14.在的展開式中,所有項的二項式系數(shù)的和為64,則常數(shù)項為______.〖答案〗60〖解析〗由題可知:,所以,展開式通項為,令,得4,常數(shù)項為.15.點P是拋物線上一動點,則點P到點的距離與到直線的距離之和的最小值是___________.〖答案〗〖解析〗因為拋物線方程為,所以拋物線的焦點坐標為準線方程為:,如圖所示:由拋物線的定義得:點p到的焦點的距離與到準線的距離相等,所以當A,P,F(xiàn)三點共線時,P到點的距離與到直線的距離之和最小,最小值為.16.已知關于x的方程有4個不等實數(shù)根,則a的取值范圍是______.〖答案〗0<a<〖解析〗由得,由于,所以問題轉化為和共有4個不同的實根,記,則,當時,,當時,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故,又因此,當時,,當時,,故的圖象如圖所示,要使和共有4個不同的實根,則需要且,解得0<a<1四?解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且(1)求;(2)若,的面積為,求的周長.解:(1)由正弦定理,可得,故,即,,化簡得,又,故.(2)由得,又,即得,則,故周長為.18.已知數(shù)列的前項和為,正項等差數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.(1)求和的通項公式;(2)證明:.(1)證明:由得,兩式相減可得,即.當時,,即,則,解得,且,可知是首項為,公比為的等比數(shù)列,可得設等差數(shù)列的公差為,因為成等比數(shù)列,則,即,解得或(舍去),所以.(2)解:由(1)得,則,可知是以首項,公比為的等比數(shù)列,則,所以.19.為落實教育部的雙減政策,義務教育階段充分開展課后特色服務.某校初中部的籃球特色課深受學生喜愛,該校期末將進行籃球定點投籃測試,規(guī)則為:每人至多投3次,先在M處投一次三分球,投進得3分,未投進不得分,以后均在N處投兩分球,每投進一次得2分,未投進不得分.測試者累計得分高于3分即通過測試,并終止投籃.甲?乙兩位同學為了通過測試,進行了五輪投籃訓練,每人每輪在M處和N處各投10次,根據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)情況分別得到如下圖表:若以每人五輪投籃訓練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率.(1)已知該校有300名學生的投籃水平與甲同學相當,求這300名學生通過測試人數(shù)的數(shù)學期望;(2)在甲?乙兩位同學均通過測試的條件下,求甲得分比乙得分高的概率.解:(1)甲同學兩分球投籃命中的概率為,甲同學三分球投籃命中的概率為,設甲同學累計得分為,則,則,所以甲同學通過測試的概率為.設這300名學生通過測試的人數(shù)為,由題設,所以.(2)乙同學兩分球投籃命中率為,乙同學三分球投籃命中率為.設乙同學累計得分為,則,.設“甲得分比乙得分高”為事件,“甲?乙兩位同學均通過了測試”為事件,則,,由條件概率公式可得.20.已知平行四邊形中,,點在上,且滿足,將沿折起至的位置,得到四棱錐.(1)求證:平面平面;(2)若二面角的大小為,求直線與平面所成角的正弦值.(1)證明:在中,,,,由余弦定理得,所以,由勾股定理知.折疊后,則有,,因為PE∩DE=E,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)解:,,則即為二面角的平面角.以為坐標原點,、所在的方向分別作為、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.于是、、,,所以,,,設平面的一個法向量,有,即,令,則,.所以即為平面的一個法向量..設直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知橢圓C:的一個焦點為F(2,0),離心率為.過焦點F的直線l與橢圓C交于A,B兩點,線段AB中點為D,O為坐標原點,過O,D的直線交橢圓于M,N兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)求四邊形AMBN面積的最大值.(1)解:由題意可得解得,故橢圓的方程為.(2)當直線斜率不存在時,的坐標分別為,四邊形面積為,當直線斜率存在時,設其方程為點,點到直線的距離分別為則四邊形面積為,得,則,所以,因為所以中點,當時,直線方程為,解得所以.當時,四邊形面積的最大值綜上四邊形面積的最大值為.22.已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的最大值;(2)若恒成立,求的值;(3)令,過點作曲線的兩條切線,若兩切點橫坐標互為倒數(shù),求證:點一定在第一象限內(nèi).(1)解:當時,的定義域為,令,得,令,得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)

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