廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共40分）：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的．1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由圖象可知，所以，其對應(yīng)的點為，顯然位于第二象限.故選：B.2.已知集合，則A的真子集數(shù)量是（）A.8 B.7 C.32 D.31〖答案〗D〖解析〗易知，所以或或，即，則其真子集有個.故選：D.3.已知向量與能作為平面向量的一組基底，若與共線（），則k的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若與共線，則設(shè)，因為向量與能作為平面向量的一組基底，所以，所以，解得.故選：B.4.8名同學(xué)以2人為一組分為學(xué)習(xí)小組完成學(xué)習(xí)任務(wù)，每個小組內(nèi)成員地位等價，則所有可能的分組方案數(shù)量是（）A.28 B.2520 C.105 D.128〖答案〗C〖解析〗由題意8名同學(xué)以2人為一組分為學(xué)習(xí)小組完成學(xué)習(xí)任務(wù)，每個小組內(nèi)成員地位等價，則所有可能分組方案數(shù)量是.故選：C.5.設(shè)函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位長度后在上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將的圖象向左平移個單位長度后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達式為，注意到，則當(dāng)時，，由題意在上有且僅有兩個零點，這意味著，且顯然，也就是說，解得.故選：A.6.以下什么物體能被放進底面半徑為，高為圓柱中（）A.底面半徑為，母線長為的圓錐B.底面半徑為，高為的圓柱C.邊長為的立方體D.底面積為，高為的直三棱柱〖答案〗B〖解析〗由于，故該圓錐無法放入圓柱中，A錯誤；B選項，如圖所示，將底面半徑為，高為的圓柱放入半徑為，高為的圓柱中，如圖所示，則，因，由勾股定理得，設(shè)，則，則，，由勾股定理得，因為，則，，，故能被放進底面半徑為，高為的圓柱中，B正確；C選項，邊長為的立方體，面對角線長為，體對角線長為，要想放進高為的圓柱內(nèi)，需要如圖所示放入，其外接球的直徑為，故要想放入圓柱中，只能放入以球為內(nèi)切球的圓柱中，如圖，過點的母線交上底面于點，交下底面于點，設(shè)，，由勾股定理得，連接，則，由勾股定理得，解得，即邊長為的立方體可放入底面半徑為，高為的的圓柱中，因為，故C錯誤；D選項，底面積為，高為的直三棱柱體積為，由于底面半徑為，高為的圓柱體積為，故無法放進放進底面半徑為，高為的圓柱中，D錯誤.故選：B7.設(shè)數(shù)列的通項公式為，其前n項和為，則使的最小n是（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性該數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且所以使的最小n是7.故選：C.8.已知，，，則a，b的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以要比較與0的大小關(guān)系，只需比較的大小關(guān)系，同理要比較的大小關(guān)系只需比較的大小關(guān)系，我們構(gòu)造函數(shù)fx則，這意味著在是減函數(shù)，從而log92所以，即.故選：D.二、多選題（共18分）：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知，且，則下列不等式中成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A正確；對于B，因為，，令，，令令，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；又，，的時，取最小值，所以B正確；對于C，，，因為，所以在上最小值為，，C正確；對于D，，D錯誤；故選：ABC.10.拋物線：焦點為F，且過點，斜率互為相反數(shù)的直線，分別交于另一點C和D，則下列說法正確的有（）A.直線過定點B.在C，D兩點處的切線斜率和為C.上存在無窮多個點到點F和直線的距離和為6D.當(dāng)C，D都在A點左側(cè)時，面積的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為拋物線：過點，所以，解得，所以拋物線：，設(shè)點關(guān)于拋物線對稱軸即軸的對稱點為點，則，因為斜率互為相反數(shù)，不妨設(shè)AC:y=kx-4+4,則，聯(lián)立與拋物線：，化簡并整理得，Δ=16設(shè)，則，所以，同理，直線的方程為：，整理得，即直線的方程為：，這條直線的斜率是定值，隨著的變化，這條可能直線會平行移動，不妨取，此時的方程依次是，顯然這兩條直線是平行的，它們不會有交點，這就說明直線過定點是錯誤的，故A錯誤；對于B，對求導(dǎo)，可得，從而在C，D兩點處的切線斜率和為，故B正確；對于C，設(shè)上存在點到點F和直線的距離和為6，由拋物線定義可知，，其中為點到直線的距離，注意到當(dāng)時，恒有成立，這意味著上存在無窮多個點到點F和直線的距離和為6，故C正確；對于D，設(shè)與交與點，聯(lián)立直線的方程：與直線的方程：，解得，即點的坐標(biāo)為，設(shè)面積為，則,注意到C，D都在A點左側(cè)時，意味著，且，從而的取值范圍為，從而，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以面積的最大值為.故選：BCD.11.已知函數(shù)，的定義域為，的導(dǎo)函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.若存在使在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極小值點為D.若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，滿足題意的不唯一〖答案〗ABD〖解析〗對A，因為為偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以，又，所以，故A對；對B，由，，得，所以，所以，，又，所以是周期為4的函數(shù)，也是周期為4的函數(shù)，所以，故B對；對C，在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，由，可知在嚴(yán)格遞減，在嚴(yán)格遞增，又的周期為4，所以在嚴(yán)格遞增，所以在嚴(yán)格遞減，在嚴(yán)格遞減，又，所以0是的極大值點，是周期為4的函數(shù)，所以則的極小值點為，故C錯；對D，若為偶函數(shù)，由于是奇函數(shù)，，則，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D對.故選：ABD.三、填空題（共15分）：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，，則的值是______．〖答案〗3〖解析〗因為，所以，所以，所以.13.已知在平面直角坐標(biāo)系中，一雙曲線的圖象可以通過旋轉(zhuǎn)和平移變換為（為關(guān)于的函數(shù)）的圖象，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗以焦點在軸上的雙曲線為例，雙曲線的漸近線為，由題得雙曲線的圖象通過旋轉(zhuǎn)和平移變換后的圖象為函數(shù)的圖象，故其一條漸近線必然為軸，則另一條漸近線斜率，從而在旋轉(zhuǎn)變換前斜率為正的漸近線的斜率小于等于1，即，所以離心率，故離心率為.14.設(shè)函數(shù)零點為，則當(dāng)a的取值為______時，的最大值為______．〖答案〗e〖解析〗由題意，所以，即，所以，即，令，則，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有最大值.四、解答題（共77分）：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．解：（1）因為，所以，又，因此是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，設(shè)的前n項和為，則，又由，得，，當(dāng)時，經(jīng)檢驗也滿足，∴．（2）．因此．16.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中點，PA＝2，AB＝1，AD＝2．（1）求證：PB∥平面ACE；（2）求直線CP與平面ACE所成角的正弦值；（1）證明：連結(jié)，交于點，連結(jié)，因為點分別是的中點，所以，平面，平面，所以平面；（2）解：如圖，以點為原點，以分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)直線CP與平面ACE所成角為，所以.17.某廠有3組生產(chǎn)用設(shè)備，由于設(shè)備使用時間過長，每組設(shè)備在一個月內(nèi)均有的故障率．現(xiàn)該廠制定設(shè)備翻新計劃，每個月月初有的概率在剩余未改造設(shè)備中隨機抽取一組并在月底翻新，但月內(nèi)若有設(shè)備發(fā)生故障，則無論本月有無翻新計劃及是否抽到該設(shè)備，故障的設(shè)備都將立即翻新，且該月內(nèi)不再因為故障翻新其它設(shè)備（但若發(fā)生故障的不是已經(jīng)在送修計劃內(nèi)的設(shè)備，則計劃翻新仍將正常進行），若再有設(shè)備發(fā)生故障則將會維修（但暫不翻新）后重新投入生產(chǎn)．（1）求第一個月恰好翻新一組設(shè)備的概率；（2）設(shè)第一個月結(jié)束后，已翻新的設(shè)備數(shù)量為隨機變量X，求X的均值．解：（1）由題，“翻新一組設(shè)備”包含“計劃翻新一組且沒有發(fā)生故障”，“沒有計劃翻新但出現(xiàn)故障”及“有計劃翻新且出現(xiàn)了故障，但故障設(shè)備恰好為計劃翻新的設(shè)備”三種事件．設(shè)“翻新一組設(shè)備”為事件A，“計劃翻新”為事件B，“出現(xiàn)故障”為事件C，“抽到故障設(shè)備”為事件D，則，，，，因此第一個月恰好翻新一組設(shè)備的概率為．（2）的可能取值為0，1，2，當(dāng)且僅當(dāng)沒有出現(xiàn)故障且沒有計劃改造，故，由（1），，，故．18.設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)時，比較和的大小關(guān)系；（2）證明：的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，若以為圓心的圓交的圖象于A，B兩點，證明：．（1）解：設(shè)函數(shù)，則，，的符號為符號，，，故在上單調(diào)遞增，，故，在上單調(diào)遞增，時，，故時．（2）證明：設(shè)圖象上一點，則其關(guān)于對稱的點坐標(biāo)為，而，故在的圖象上，故與的圖象關(guān)于直線對稱．（3）證明：不妨設(shè)，，其中，作A關(guān)于x軸的對稱點，再作關(guān)于的對稱點，由對稱性，A，，都在圓M上．設(shè)與圓M的交點為P，設(shè)x軸與圓M在M右側(cè)的交點為Q，，則，則，，由對稱，，且，又，故，又在圖象上，B在圖象上，故B在上方，因此．19.在平面直角坐標(biāo)系中，若A，B兩點在一曲線C上，曲線C在A，B均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值等于直線AB的斜率，則稱AB是曲線C的一條“切線相依割線”．（1）證明：準(zhǔn)線平行于x軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”；（2）試探究雙曲線在第一象限內(nèi)是否存在“切線相依割線”，若存在，請求出所有的“切線相依割線”，若不存在，請說明理由．（1）證明：由準(zhǔn)線平行于x軸，故拋物線圖象開口向上，為二次函數(shù)，設(shè)，，則AB斜率為，，故A，B處均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值為，等于直線AB的斜率，故AB為切線相依割線，由于A