湖北省黃岡市學(xué)海園大聯(lián)考2024屆高三信息預(yù)測（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省黃岡市學(xué)海園大聯(lián)考2024屆高三信息預(yù)測（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某企業(yè)舉辦冬季趣味運(yùn)動會，在跳繩比賽中，名參賽者的成績(單位：個(gè))分別是、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小大大排列為，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故選：C.2.鞋匠刀形是一種特殊的圖形，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)該圖形有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如圖是一個(gè)鞋匠刀形.若，，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（在第一象限），則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則A-2,0、、B4,0，則中點(diǎn)為1,0，且，則以為直徑的半圓弧的方程為，令，有，又，故，即，則.故選：A.3.若5個(gè)正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)5個(gè)正數(shù)組成數(shù)列，則，則，解得.故選：D.4.下列說法中正確的是（）A.沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線B.若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則C.若平面α，β，γ滿足，，則D.已知a，b是不同直線，α，β是不同的平面.若，，，則〖答案〗D〖解析〗對A，沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線或平行直線，故A錯(cuò)誤；對B，若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則a，b可以平行、相交或異面，故B錯(cuò)誤；對C，若平面α，β，γ滿足，，則α，γ不一定垂直，故C錯(cuò)誤；對D，兩個(gè)平面垂直等價(jià)于這兩個(gè)平面的垂線垂直，故D正確.故選：D.5.天文專家表示，“十五的月亮十四圓”這種現(xiàn)象比較罕見.21世紀(jì)這100年中，這種情況僅會出現(xiàn)6次，其中一次是2020年的8月3日（農(nóng)歷六月十四），下一次則要等到2037年．若某同學(xué)計(jì)劃從這6次“十四月圓”中隨機(jī)選取3次，研究其發(fā)生的時(shí)間，則其中至少包含2020年與2037年這兩次中的一次的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，從這6次“十四月圓”中隨機(jī)選取3次，基本事件的總數(shù)為種，其中不包含2020年與2037年這兩次所包含的基本事件有種，所以至少包含2020年與2037年這兩次中的一次的概率為.故選：D.6.已知一個(gè)玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線，其通徑長為1，現(xiàn)有一個(gè)半徑為的玻璃球放入該玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底（盛酒部分），則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以軸截面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)玻璃球能夠與杯底接觸時(shí)，該玻璃球的軸截面的方程為．因?yàn)閽佄锞€的通徑長為1，則拋物線的方程為，代入圓的方程消元得：，所以原題等價(jià)于方程在上只有實(shí)數(shù)解．因?yàn)橛?，得或，所以需或，即或．因?yàn)椋?，故選：C．7.已知，則（）A. B. C. D.-〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D.8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個(gè)平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為，高為的圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點(diǎn)，，平面截該圓錐面所得的曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在圓錐中，，，易知，由圓錐的幾何性質(zhì)可知，平面，因?yàn)槠矫?，則，所以，，則，圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，因?yàn)槭悄妇€上一點(diǎn)，，則，,，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，且，所以，，所以，，故該圓錐曲線的離心率為，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若函數(shù)的最小值為，則（）A.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.當(dāng)時(shí)，C.存在實(shí)數(shù)與，使得D.當(dāng)時(shí)，將曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線〖答案〗BCD〖解析〗由題意，A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)關(guān)于對稱，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以A錯(cuò)誤．B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，所以B正確．C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以C正確．D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，將曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，因?yàn)?，所以D正確．故選：BCD10.以下結(jié)論中,正確的是（）A.若復(fù)數(shù),則B.若復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為C.已知復(fù)數(shù),其中,,則復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為D.五名學(xué)生按任意次序站成一排,則和站兩端的概率為〖答案〗BC〖解析〗對于A,由,得,,故A錯(cuò)誤;對于B,可以看作復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到的距離為,故復(fù)數(shù)對應(yīng)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓,故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與軸的交點(diǎn),且向上的位置時(shí),此時(shí)最大,最大值為,故B正確;對于C,在中,,,因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,此時(shí)有共組,所以復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為,故C正確;對于D,首先將和排兩端共有種情況,再將其余三人全排列共有種情況,所以共有種情況,因?yàn)槲迕麑W(xué)生按任意次序站成一排,共有種情況,故和站兩端的概率為,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC.11.已知，，，則滿足關(guān)系式的函數(shù)可以為（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由于，所以．由于，所以，因此，所以．因?yàn)?，所以，又，所以．選項(xiàng)A：若，則，，不滿足，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若，易知在R上單調(diào)遞增，所以，滿足題意，故B選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：若，則上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，但由于，所以，滿足題意，故C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：若，則，而在上單調(diào)遞增，，所以，滿足題意，故D選項(xiàng)正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，又，所以?3.如圖，高度均為3的封閉玻璃圓錐和圓柱容器內(nèi)裝入等體積的水，此時(shí)水面高度均為，若，記圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，則________.〖答案〗〖解析〗如圖，作出圓錐的軸截面，設(shè)為水面，O為圓錐底面中心，為水面中心，則，則∽，故，故圓錐內(nèi)水的體積為，圓柱內(nèi)水的體積為，由，得，故.14.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)r，取初始值處的切線與x軸的交點(diǎn)為在處的切線與x軸的交點(diǎn)為，一直這樣下去，得到，它們越來越接近r.若，則用牛頓法得到的r的近似值約為___________（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.〖答案〗〖解析〗由，，所以在處的切線方程為：，令，可得：，所以在處的切線方程為：，令.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）已知時(shí)，直線為曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）．令，得或．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若時(shí)，，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，故，即，解得或，所以或.16.2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟(jì)工作會議在北京舉行，會議再次強(qiáng)調(diào)要提振新能源汽車消費(fèi).發(fā)展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強(qiáng)國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經(jīng)過多項(xiàng)檢測，檢測合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項(xiàng)測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試，測試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項(xiàng)測試相互獨(dú)立，互不影響，該型號新能源汽車兩項(xiàng)測試得分之和記為.（1）求該型號新能源汽車參加兩項(xiàng)測試僅有一次為合格的概率；（2）求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望.解：（1）記事件為“該型號新能源汽車參加碰撞測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號新能源汽車參加續(xù)航測試的得分為分”，則，，記事件為“該型號新能源汽車參加兩項(xiàng)測試僅有一次為合格”，則，則該型號新能源汽車參加兩項(xiàng)測試僅有一次為合格的概率為.（2）由題知離散型隨機(jī)變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，10，，，，，，則離散型隨機(jī)變量的分布列為246810所以數(shù)學(xué)期望17.如圖，現(xiàn)有三棱錐和E-BCD，其中三棱錐的棱長均為2，三棱錐E-BCD有三個(gè)面是全等的等腰直角三角形，一個(gè)面是等邊三角形，現(xiàn)將這兩個(gè)三棱錐的一個(gè)面完全重合組成一個(gè)組合體.（1）求這個(gè)組合體的體積；（2）若點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.解：（1）因?yàn)槿忮FE-BCD有三個(gè)面是全等的等腰直角三角形，是等邊三角形，所以，所以；因?yàn)槿忮F的棱長均為2，所以正三棱錐體積為一個(gè)棱長為的正方體減去四個(gè)三棱錐，即，.（2）如圖所示，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC，ED，EB分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面EBC的法向量為，易得，設(shè)平面BCF的法向量為，因?yàn)椋茫?，可得，設(shè)二面角的平面角大小為，由圖易知，二面角為鈍角，則，故二面角的余弦值為.18.如圖所示，已知雙曲線與拋物線有相同的焦點(diǎn)F，它們在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M.（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）若雙曲線的焦距為其實(shí)軸長的2倍，求點(diǎn)M到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和.解：（1）因?yàn)閽佄锞€，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)雙曲線的方程為，則，，∴，，∴雙曲線的方程為；由，可得或(舍去)所以，由拋物線的定義可知，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離為7，∴點(diǎn)M到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.19.射影幾何學(xué)中，中心投影是指光從一點(diǎn)向四周散射而形成的投影，如圖，