河北省重點(diǎn)高中2024屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題（二）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省重點(diǎn)高中2024屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題（二）第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，得；由得，即.所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以，故選：B.3.已知圓的半徑為2，弦的長為，若，則（）A.-4 B.-2 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.由，，得，所以，，所以，所以，所以，所以.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，若，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，，，所以數(shù)列的周期為3.所以.故選:D.5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點(diǎn)為，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，令，若恒成立，易知：當(dāng)時，當(dāng)時，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意，故有兩個不同零點(diǎn)．設(shè)的兩個零點(diǎn)分別為，則，結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：，在、上，單調(diào)遞減，在、上，單調(diào)遞增，是的極大值點(diǎn)，符合題意，此時需，得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：D.6.已知實數(shù)，則下列選項可作為的充分條件的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗取，，滿足，但是推不出，故排除A；取，，滿足，但是推不出，故排除B；取，，滿足，但是推不出，故排除D；由，，可推出，即，即，故充分性成立.故選：C.7.已知四面體滿足，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為四面體滿足，可得，設(shè)平面的一個法向量，則，令，解得，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.故選：D.8.在邊長為4的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)（含四條邊），且，則的軌跡長度為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在長方體中，由于平面，平面，在和中，，，，，，在平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè),則，則由可得，化簡可得，由于，故的軌跡表示圓心在，半徑為的圓在第一象限的弧長，由于,故,因此軌跡為所對弧長，故長度為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.甲袋中有20個紅球．10個白球，乙袋中紅球、白球各有10個，兩袋中的球除了顏色有差別外，再沒有其他差別．現(xiàn)在從兩袋中各換出1個球，下列結(jié)論正確的是（）A.2個球都是紅球的概率為B.2個球中恰有1個紅球的概率為C.不都是紅球的概率為D.都不是紅球的概率為〖答案〗ABC〖解析〗記事件：從甲袋中任取1個球為紅球，事件：從乙袋中任取1個球為紅球，則，，對于A選項，即求事件的概率，，所以A正確；對于B選項，即求事件的概率，．所以B正確，對于C選項，由于“都是紅球”與“不都是紅球”互為對立事件，所以概率為，C正確；對于D選項，即求事件的概率，，所以D錯誤．故選：ABC.10.如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，是的中點(diǎn)，是上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.直線與所成的角為B.的周長最小值為C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗A選項，連接，由于為的中點(diǎn)，所以⊥，⊥，又，平面，所以直線⊥平面，又平面，所以⊥，故A正確；B選項，把沿著展開與平面同一個平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，則的最小值即為的長，由于，，，，所以，故，的周長最小值為，B錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)球心為，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，則為的中心，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因為，所以，同理，則，故，設(shè)，故，因為∽，所以，即，解得，C正確；D選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，且小球與三個平面相切，設(shè)小球半徑為，四個小球球心連線是棱長為的正四面體，由C選項可知，其高為，由C選項可知，是正四面體的高，過點(diǎn)且與平面交于，與平面交于，則，，由C選項可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體中，，，正四面體高為，解得，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)滿足：①對任意，；②若，則.則（）A.的值為2 B.C.若，則 D.若，則〖答案〗ABC〖解析〗對于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但這與②若，則矛盾，所以只能，故A正確；對于B，令，結(jié)合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正確；對于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正確；對于D，取，則且單調(diào)遞增，滿足，但，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.斜率為的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，交于點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)（，在軸的兩側(cè)），若，則拋物線的方程為________________.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，依題意直線的方程為，令可得，即，由，消去得，解得或，又，在軸的兩側(cè)，所以，則，所以，所以，解得或（舍去），所以拋物線的方程為.13.關(guān)于雙曲線C：，四位同學(xué)給出了四個說法：小明：雙曲線C的實軸長為8；小紅：雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3；小強(qiáng)：雙曲線C的離心率為；小同：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1；若這4位同學(xué)中只有1位同學(xué)的說法錯誤，則說法錯誤的是______；雙曲線C的方程為______．（第一空的橫線上填“小明”、“小紅”、“小強(qiáng)”或“小同”）〖答案〗小強(qiáng)〖解析〗由題意，小明正確則有，小紅正確有，小強(qiáng)正確有，小同正確則有，由此分析小明、小紅、小強(qiáng)三個人中必有1位同學(xué)說法錯誤，則小同的說法一定是正確的，即，則小明和小紅正確，即雙曲線C：，故小強(qiáng)的說法錯誤．14.設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)四點(diǎn)，已知，，與的夾角為，M為AB的中點(diǎn)，，則的最大值為________．〖答案〗〖解析〗以A為原點(diǎn)，所在直線為軸，過作的垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，，與的夾角為，，由于，故，所以，因為為的中點(diǎn)，，所以在以為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)，則，，得，所以當(dāng)，即時，最大，最大值為，此時，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，已知多面體均垂直于平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：［方法一］：幾何法由得，所以，即有.由，得，由得，由，得，所以，即有，又，因此平面.［方法二］：向量法如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：因此,由得；由得，所以平面.（2）解：［方法一］：定義法如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角.由得，所以，故.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.［方法二］：向量法設(shè)直線與平面所成的角為.由(I)可知,設(shè)平面的法向量.由即，可取，所以.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.［方法三］：【最優(yōu)解】定義法+等積法設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面距離為d（下同）．因為平面，所以點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．由條件易得，點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)C到直線的距離，而點(diǎn)C到直線的距離為，所以．故．［方法四］：定義法+等積法設(shè)直線與平面所成的角為，由條件易得，所以，因此．于是得，易得．由得，解得．故．［方法五］：三正弦定理的應(yīng)用設(shè)直線與平面所成的角為，易知二面角的平面角為，易得，所以由三正弦定理得．［方法六］：三余弦定理的應(yīng)用設(shè)直線與平面所成的角為，如圖2，過點(diǎn)C作，垂足為G，易得平面，所以可看作平面的一個法向量．結(jié)合三余弦定理得．［方法七］：轉(zhuǎn)化法＋定義法如圖3，延長線段至E，使得．聯(lián)結(jié)，易得，所以與平面所成角等于直線與平面所成角．過點(diǎn)C作，垂足為G，聯(lián)結(jié)，易得平面，因此為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角．易得，，因此．［方法八］：定義法＋等積法如圖4，延長交于點(diǎn)E，易知，又，所以，故面．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由得，解得．又，設(shè)直線與平面所成角為，所以．16.已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，令，求證：．解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的首項為，公差為．由，得，解得：，所以．（2）由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，也符合上式，所以．17.已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于軸的直線與直線交于點(diǎn)，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)，則，由題意線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，知，過點(diǎn)且平行于軸的直線方程為：，直線的方程為：，令，得，即，由得，因為在拋物線上，即，則，化簡得，由題意知不重合，故，所以曲線的方程為（2）由（1）知曲線的方程為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在特殊位置時，兩個切點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故要使得，則點(diǎn)在軸上．故設(shè)，曲線的方程為，求導(dǎo)得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，，當(dāng)時，恒成立，所以存在定點(diǎn)，使得恒成立．18.現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場，已知甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級的概率分別為，，，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，首先從三個工廠中等可能地隨機(jī)選擇一個工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件進(jìn)行檢測.（1）若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；（2）因為三個工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個工廠進(jìn)入市場的產(chǎn)品的比例為2∶1∶1，若該質(zhì)檢部門從已經(jīng)進(jìn)入市場的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，求能達(dá)到優(yōu)秀等級的產(chǎn)品的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)“抽的產(chǎn)品是優(yōu)秀等級”，“產(chǎn)品是從甲工廠生產(chǎn)”，“產(chǎn)品是從乙工廠生產(chǎn)”，“產(chǎn)品是從丙工廠生產(chǎn)”，則，，則，則所以該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率為.（2）依題意，設(shè)從市場中任抽一件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為，則，由題意可知，則，則的分布列為：012345678910故19.數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立．證明分為下面兩個步驟：1．證明當(dāng)（）時命題成立；2．假設(shè)（，且）時命題成立，推導(dǎo)出在時命題也成立．用模取余運(yùn)算：表示“整數(shù)除以整數(shù)，所得余數(shù)為整數(shù)”．用帶余除法可表示為：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)，即，整數(shù)是商．如，則；再如，則．當(dāng)時，則稱整除．現(xiàn)從序號分別為，，，，…，的個人中選出一名幸運(yùn)者，為了增加趣味性，特制定一個遴選規(guī)則：大家按序號圍成一個圓環(huán)，然后依次報數(shù)，每報到（）時，此人退出圓環(huán)；直到最后剩1個人停止，此人即為幸運(yùn)者，該幸運(yùn)者的序號下標(biāo)記為．如表示當(dāng)只有1個人時幸運(yùn)者就是；表示當(dāng)有6個人而時幸運(yùn)者是；表示當(dāng)有6個人而時幸運(yùn)者是．（1）求；（2）當(dāng)時，，求；當(dāng)時，解釋上述遞推關(guān)系式的實際意義；（3）由（2）推測當(dāng)（）時，的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．解：（1）因為，所以．（2）因為，且，所以，故．當(dāng)時，遞推關(guān)系式的實際意義：當(dāng)從個人中選出一個幸運(yùn)者時，幸運(yùn)者的序號下標(biāo)為，而從個人中選出一個幸運(yùn)者時，幸運(yùn)者的序號下標(biāo)為．如果把二者關(guān)聯(lián)起來，后者的圓環(huán)可以認(rèn)為是前者的圓環(huán)退出一人而形成的，當(dāng)然還要重新排序，由于退出來的是，則