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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省L16聯(lián)盟2024屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)4,4,2,6,4,1,9,8的極差是()A. B.5 C.5 D.8〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意,數(shù)據(jù)4,4,2,6,4,1,9,8中,最小的為1,最大的為9,則其極差為.故選:D.2.已知點(diǎn)是直線上相異的三點(diǎn),為直線外一點(diǎn),且,則的值是()A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗,即,因?yàn)辄c(diǎn)是直線上相異的三點(diǎn),則點(diǎn)三點(diǎn)共線,則,解得.故選:A.3.某圓環(huán)的內(nèi)外半徑分別為2和4,將其繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知,幾何體體積為大球的體積減去小球的體積,所以幾何體體積為.故選:C.4.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?,值域?yàn)榧?,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由,即,解得或,所以函數(shù)定義域?yàn)榧?,則值域?yàn)榧?,所?故選:D.5.已知點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),設(shè)甲:的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線,乙:到平面內(nèi)一定點(diǎn)的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)直線經(jīng)過定點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且垂直于該直線的另一條直線,當(dāng)直線不經(jīng)過該定點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的軌跡為拋物線,故甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選:A.6.設(shè)函數(shù),若存在使得既是的零點(diǎn),也是的極值點(diǎn),則的可能取值為()A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由,得,令,則或,當(dāng)時(shí),由,得,所以,則當(dāng)時(shí),由,得,由,得或,當(dāng)時(shí),不存在極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),得,綜上,,所以當(dāng)時(shí),.故選:B.7.過原點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相切,則()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗過原點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為,又直線與圓相切,圓心,半徑,可得圓心到直線的距離,即,即,即,即,解得:.故選:B.8.雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為,過的直線與其一支交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在第四象限.以為圓心,的實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓與線段分別交于M,N兩點(diǎn),且,則的漸近線方程是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖,由題意得:,設(shè),則,所以,,由雙曲線的定義得:,所以,,則,因?yàn)椋谥?,,即,解得,所以,,在中,,即,可得,所以,所以,即,故雙曲線的漸近線方程為.故選:C.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知正方體為中點(diǎn),為BC中點(diǎn),則()A.直線PD與直線平行 B.直線與直線垂直C.直線PQ與直線相交 D.直線PQ與直線異面〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,以為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖建立坐標(biāo)系,則,0,,,2,,,2,,,0,,,2,,,2,,,0,,,0,,,2,,對(duì)于A,,0,,,0,,由于對(duì)于任意的都不會(huì)成立,則與不平行,則直線與直線不平行,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,2,,,,,則有,則,即直線與直線垂直,B正確;對(duì)于C,直線與相交,故平面,直線平面,,所以PQ與直線是異面直線,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,顯然兩直線不平行,假設(shè)直線與直線相交,則在同一平面上,,故存在實(shí)數(shù)使得,即,則無解,故與直線既不相交也不平行,是異面直線,D正確.故選:BD.10.已知函數(shù),則下列說法正確的是()A.的圖像是中心對(duì)稱圖形 B.的圖像是軸對(duì)稱圖形C.是周期函數(shù) D.存在最大值與最小值〖答案〗BCD〖解析〗,對(duì)于A選項(xiàng),不為常數(shù),故A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),,則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.故B正確.對(duì)于C選項(xiàng),,則函數(shù)周期為.故C正確.對(duì)于D選項(xiàng),令由于為偶函數(shù),則只需要考慮部分即可.則.故D正確.故選:BCD.11.外接圓半徑為的滿足,則()A. B.C.的面積是 D.的周長(zhǎng)是〖答案〗AC〖解析〗由,有,故,其中角滿足又,當(dāng)且僅當(dāng),,故,,結(jié)合為三角形的內(nèi)角,而為銳角,故,,故有,所以為鈍角,且,由于為鈍角,故有,則結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有,故A正確,B錯(cuò)誤;由,則,則三角形的面積,由,三角形的周長(zhǎng),故C正確,D錯(cuò)誤.故選:AC.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,寫出一個(gè)滿足的復(fù)數(shù):_______________.〖答案〗(〖答案〗不唯一,滿足對(duì)即可)〖解析〗令,則,故.故〖答案〗為:(〖答案〗不唯一,滿足對(duì),即可).13.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,各項(xiàng)不等的數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,且,則______________.〖答案〗1〖解析〗由已知可得,,,,再由,,得,,聯(lián)立以上兩式可得:,(舍去),或,即.14.若隨機(jī)變量X,Y分別服從成功概率為的兩點(diǎn)分布,則的取值范圍是______________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡S機(jī)變量,分別服從成功概率為,的兩點(diǎn)分布,則,,,,所以或1,所以或或,因?yàn)榛?,且或,所以或,所以或,即的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.已知直線過橢圓右焦點(diǎn),且交于兩點(diǎn).(1)求的離心率;(2)設(shè)點(diǎn),求的面積.解:(1)由題,,且在上有,解得.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,離心率.(2)因?yàn)橹本€經(jīng)過,兩點(diǎn),可得直線的方程為,聯(lián)立,解得或,所以直線與橢圓的另一交點(diǎn)為,則,又點(diǎn)到直線的距離.故的面積.16.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若在區(qū)間[0,2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.解:(1),當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得,故上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得,故在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.綜上,時(shí),在上單調(diào)遞增;時(shí),在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增;時(shí),在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí),在區(qū)間[0,2]上,故不存在零點(diǎn);當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,故在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,又時(shí),,故在區(qū)間[0,2]上不可能存在零點(diǎn);當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;若,即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,故只能在上有零點(diǎn),由零點(diǎn)存在性定理有,解得.或,解得;故此時(shí)滿足條件;若,即時(shí),在上單調(diào)遞減,則,此時(shí)均滿足題意,故滿足條件.綜上,.17.機(jī)器模型預(yù)測(cè)常常用于只有正確與錯(cuò)誤兩種結(jié)果的問題.表1為根據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)情況的差距的情形表格,定義真正例率,假正例率.概率閾值為自行設(shè)定的用于判別正(反)例的值,若分類器(分類模型)對(duì)該樣例的預(yù)測(cè)正例概率大于等于設(shè)定的概率閾值,則記分類器預(yù)測(cè)為正例,反之預(yù)測(cè)為反例.總例預(yù)測(cè)結(jié)果正例反例真實(shí)情況正例真正例假反例反例假正例真反例表1分類結(jié)果樣例劃分利用這些指標(biāo)繪制出的ROC曲線可衡量模型的評(píng)價(jià)效果:將各樣例的預(yù)測(cè)正例概率與從大到小排序并依次作為概率閾值,分別計(jì)算相應(yīng)概率閾值下的與.以為橫坐標(biāo),為縱坐標(biāo),得到標(biāo)記點(diǎn).依次連接各標(biāo)記點(diǎn)得到的折線就是ROC曲線.圖1為甲分類器對(duì)于8個(gè)樣例的ROC曲線,表2為甲,乙分類器對(duì)于相同8個(gè)樣例的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù).樣例數(shù)據(jù)甲分類器乙分類器樣例標(biāo)號(hào)樣例屬性預(yù)測(cè)正例概率預(yù)測(cè)正例概率1正例0.230.342正例0.580.533反例0.150.134反例0620.395正例0.470.876反例0.470.537反例0.330.118正例0.770.63表2甲,乙分類器對(duì)于相同8個(gè)樣例的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)(1)當(dāng)概率閾值為0.47時(shí),求甲分類器的ROC曲線中的對(duì)應(yīng)點(diǎn);(2)在圖2中繪制乙分類器對(duì)應(yīng)的ROC曲線(無需說明繪圖過程),并直接寫出甲,乙兩分類器的ROC曲線與軸,直線所圍封閉圖形的面積;(3)按照上述思路,比較甲,乙兩分類器的預(yù)測(cè)效果,并直接寫出理想分類器的ROC曲線與軸,直線所圍封閉圖形的面積為1的充要條件.解:(1)概率閾值為0.47時(shí),真正例為,假反例為,假正例為,真反例為,則.所以橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),故當(dāng)概率閾值為0.47時(shí),求甲分類器的ROC曲線中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.(2)乙分類器對(duì)應(yīng)的ROC曲線如下圖所示.由已知題意可得,甲、乙分類器的ROC曲線都經(jīng)過,作如下圖所示的輔助線,每個(gè)小直角三角形的面積都等于,大直角三角形的面積都等于,故所求面積為.所以,甲分類器的ROC曲線與軸,直線所圍封閉圖形的面積為.作如下圖所示的輔助線,同理可得所求面積為.所以,乙分類器的ROC曲線與軸,直線所圍封閉圖形的面積為.(3)乙分類器的預(yù)測(cè)效果更好.由(2)分析可知,乙分類器的ROC曲線與軸,直線所圍封閉圖形的面積較甲的大些,故可認(rèn)為乙分類器的預(yù)測(cè)效果更好.充要條件:所有真實(shí)屬性為正例的樣例的預(yù)測(cè)正例概率的最小值大于所有真實(shí)屬性為反例的樣例的預(yù)測(cè)正例概率的最大值.18.如圖,四棱錐中,平面平面,.設(shè)中點(diǎn)為,過點(diǎn)的平面同時(shí)垂直于平面與平面.(1)求;(2)求平面與平面夾角的正弦值;(3)求平面截四棱錐所得多邊形的周長(zhǎng).解:(1)設(shè),,,則,在中,,整理得,由題意得,則,即,解得,因此,即.(2)作中點(diǎn),連接,,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,所以,,因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面,所以平面,而,,平面,故,,,因?yàn)?,,所以四邊形、四邊形都是平行四邊形,故,,而,所以,又因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,在平面中也有,由于,故,,,,由勾股定理得:,,故以為原點(diǎn),,,為,,軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,,,設(shè)平面,平面,平面,平面的法向量分別為,,,則,即,取,則,同理可得,因?yàn)槠矫嫱瑫r(shí)垂直于平面,平面,所以,,即,取,則,平面的法向量是,則,設(shè)平面與平面的夾角為,則,故,因此平面與平面夾角的正弦值為.(3)設(shè)是平面上一點(diǎn),因?yàn)槠矫孢^點(diǎn),則可以設(shè),這是因?yàn)榇藭r(shí),因此可設(shè),因?yàn)楫?dāng)平面與平面相交時(shí),其交線必為直線且唯一,故只需討論平面與四棱錐的公共部分,當(dāng)時(shí),在直線上,因此平面過直線,故平面與平面,平面交于直線,與棱,分別交于,,故只需討論平面與棱,的交點(diǎn):設(shè)平面與棱,的交點(diǎn)分別為,,則設(shè),,令,則,解得,即,同理可得,故平面與平面交于,平面交于,因此平面截四棱錐所得截面多邊形為四邊形,故周長(zhǎng)為.19.某箱中有個(gè)除顏色之外均相同的球,已知.箱中1個(gè)球?yàn)榘浊?,其余為黑?現(xiàn)在該箱中進(jìn)行一取球?qū)嶒?yàn):每次從箱中等可能地取出一個(gè)球,若取出白球或取球次后結(jié)束實(shí)驗(yàn),否則進(jìn)行相應(yīng)操作進(jìn)行下一次取球.設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)的取球
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