河北省L16聯(lián)盟2024屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省L16聯(lián)盟2024屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)4，4，2，6，4，1，9，8的極差是（）A. B.5 C.5 D.8〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，數(shù)據(jù)4，4，2，6，4，1，9，8中，最小的為1，最大的為9，則其極差為．故選：D．2.已知點(diǎn)是直線上相異的三點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，則的值是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗，即，因?yàn)辄c(diǎn)是直線上相異的三點(diǎn)，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，則，解得.故選：A.3.某圓環(huán)的內(nèi)外半徑分別為2和4，將其繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，幾何體體積為大球的體積減去小球的體積，所以幾何體體積為．故選：C．4.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧?，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得或，所以函數(shù)定義域?yàn)榧?，則值域?yàn)榧?，所?故選：D.5.已知點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)甲：的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，乙：到平面內(nèi)一定點(diǎn)的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)直線經(jīng)過定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且垂直于該直線的另一條直線，當(dāng)直線不經(jīng)過該定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線，故甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：A．6.設(shè)函數(shù)，若存在使得既是的零點(diǎn)，也是的極值點(diǎn)，則的可能取值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，令，則或，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，則當(dāng)時(shí)，由，得，由，得或，當(dāng)時(shí)，不存在極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得，綜上，，所以當(dāng)時(shí)，.故選：B.7.過原點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相切，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗過原點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為，又直線與圓相切，圓心，半徑，可得圓心到直線的距離，即，即，即，即，解得：．故選：B．8.雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為，過的直線與其一支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第四象限.以為圓心，的實(shí)軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則的漸近線方程是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意得：，設(shè)，則，所以，，由雙曲線的定義得：，所以，，則，因?yàn)?，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為．故選：C．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正方體為中點(diǎn)，為BC中點(diǎn)，則（）A.直線PD與直線平行 B.直線與直線垂直C.直線PQ與直線相交 D.直線PQ與直線異面〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)正方體的棱長為2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，則,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，對于A，,0,，,0,，由于對于任意的都不會(huì)成立，則與不平行，則直線與直線不平行，A錯(cuò)誤；對于B，,2,，,,，則有，則，即直線與直線垂直，B正確；對于C，直線與相交，故平面，直線平面，，所以PQ與直線是異面直線，C錯(cuò)誤；對于D，,顯然兩直線不平行，假設(shè)直線與直線相交，則在同一平面上，,故存在實(shí)數(shù)使得，即，則無解，故與直線既不相交也不平行，是異面直線，D正確．故選：BD．10.已知函數(shù),則下列說法正確的是（）A.的圖像是中心對稱圖形 B.的圖像是軸對稱圖形C.是周期函數(shù) D.存在最大值與最小值〖答案〗BCD〖解析〗,對于A選項(xiàng),不為常數(shù),故A錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng),,則函數(shù)關(guān)于對稱.故B正確.對于C選項(xiàng),,則函數(shù)周期為.故C正確.對于D選項(xiàng),令由于為偶函數(shù),則只需要考慮部分即可.則.故D正確.故選:BCD.11.外接圓半徑為的滿足，則（）A. B.C.的面積是 D.的周長是〖答案〗AC〖解析〗由，有，故，其中角滿足又，當(dāng)且僅當(dāng)，，故,,結(jié)合為三角形的內(nèi)角，而為銳角，故,,故有，所以為鈍角，且，由于為鈍角，故有，則結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有，故A正確，B錯(cuò)誤；由，則，則三角形的面積，由，三角形的周長，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，寫出一個(gè)滿足的復(fù)數(shù)：_______________．〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足對即可）〖解析〗令，則，故．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，滿足對，即可）．13.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，各項(xiàng)不等的數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，且，則______________．〖答案〗1〖解析〗由已知可得，，，，再由，，得，，聯(lián)立以上兩式可得：，（舍去），或，即．14.若隨機(jī)變量X，Y分別服從成功概率為的兩點(diǎn)分布，則的取值范圍是______________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡S機(jī)變量，分別服從成功概率為，的兩點(diǎn)分布，則，，，，所以或1，所以或或，因?yàn)榛颍一?，所以或，所以或，即的取值范圍是．四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線過橢圓右焦點(diǎn)，且交于兩點(diǎn)．（1）求的離心率；（2）設(shè)點(diǎn)，求的面積．解：（1）由題，，且在上有，解得．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率．（2）因?yàn)橹本€經(jīng)過，兩點(diǎn)，可得直線的方程為，聯(lián)立，解得或，所以直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，則，又點(diǎn)到直線的距離．故的面積．16.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間[0，2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，2]上，故不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，又時(shí)，，故在區(qū)間[0，2]上不可能存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故只能在上有零點(diǎn)，由零點(diǎn)存在性定理有，解得.或，解得；故此時(shí)滿足條件；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，此時(shí)均滿足題意，故滿足條件.綜上，.17.機(jī)器模型預(yù)測常常用于只有正確與錯(cuò)誤兩種結(jié)果的問題.表1為根據(jù)模型預(yù)測結(jié)果與真實(shí)情況的差距的情形表格，定義真正例率，假正例率.概率閾值為自行設(shè)定的用于判別正(反)例的值，若分類器(分類模型)對該樣例的預(yù)測正例概率大于等于設(shè)定的概率閾值，則記分類器預(yù)測為正例，反之預(yù)測為反例.總例預(yù)測結(jié)果正例反例真實(shí)情況正例真正例假反例反例假正例真反例表1分類結(jié)果樣例劃分利用這些指標(biāo)繪制出的ROC曲線可衡量模型的評價(jià)效果：將各樣例的預(yù)測正例概率與從大到小排序并依次作為概率閾值，分別計(jì)算相應(yīng)概率閾值下的與.以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，得到標(biāo)記點(diǎn).依次連接各標(biāo)記點(diǎn)得到的折線就是ROC曲線.圖1為甲分類器對于8個(gè)樣例的ROC曲線，表2為甲，乙分類器對于相同8個(gè)樣例的預(yù)測數(shù)據(jù).樣例數(shù)據(jù)甲分類器乙分類器樣例標(biāo)號樣例屬性預(yù)測正例概率預(yù)測正例概率1正例0.230.342正例0.580.533反例0.150.134反例0620.395正例0.470.876反例0.470.537反例0.330.118正例0.770.63表2甲，乙分類器對于相同8個(gè)樣例的預(yù)測數(shù)據(jù)（1）當(dāng)概率閾值為0.47時(shí)，求甲分類器的ROC曲線中的對應(yīng)點(diǎn)；（2）在圖2中繪制乙分類器對應(yīng)的ROC曲線(無需說明繪圖過程)，并直接寫出甲，乙兩分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積；（3）按照上述思路，比較甲，乙兩分類器的預(yù)測效果，并直接寫出理想分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為1的充要條件.解：（1）概率閾值為0.47時(shí)，真正例為，假反例為，假正例為，真反例為，則.所以橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，故當(dāng)概率閾值為0.47時(shí)，求甲分類器的ROC曲線中的對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)為.（2）乙分類器對應(yīng)的ROC曲線如下圖所示.由已知題意可得，甲、乙分類器的ROC曲線都經(jīng)過，作如下圖所示的輔助線，每個(gè)小直角三角形的面積都等于，大直角三角形的面積都等于，故所求面積為.所以，甲分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為.作如下圖所示的輔助線，同理可得所求面積為.所以，乙分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為.（3）乙分類器的預(yù)測效果更好.由（2）分析可知，乙分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積較甲的大些，故可認(rèn)為乙分類器的預(yù)測效果更好.充要條件：所有真實(shí)屬性為正例的樣例的預(yù)測正例概率的最小值大于所有真實(shí)屬性為反例的樣例的預(yù)測正例概率的最大值.18.如圖，四棱錐中，平面平面，．設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)的平面同時(shí)垂直于平面與平面．（1）求；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）求平面截四棱錐所得多邊形的周長．解：（1）設(shè)，，，則，在中，，整理得，由題意得，則，即，解得，因此，即．（2）作中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，而，，平面，故，，，因?yàn)?，，所以四邊形、四邊形都是平行四邊形，故，，而，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在平面中也有，由于，故，，，，由勾股定理得：，，故以為原點(diǎn)，，，為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面，平面，平面，平面的法向量分別為，，，則，即，取，則，同理可得，因?yàn)槠矫嫱瑫r(shí)垂直于平面，平面，所以，，即，取，則，平面的法向量是，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，因此平面與平面夾角的正弦值為．（3）設(shè)是平面上一點(diǎn)，因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)，則可以設(shè)，這是因?yàn)榇藭r(shí)，因此可設(shè)，因?yàn)楫?dāng)平面與平面相交時(shí)，其交線必為直線且唯一，故只需討論平面與四棱錐的公共部分，當(dāng)時(shí)，在直線上，因此平面過直線，故平面與平面，平面交于直線，與棱，分別交于，，故只需討論平面與棱，的交點(diǎn)：設(shè)平面與棱，的交點(diǎn)分別為，，則設(shè)，，令，則，解得，即，同理可得，故平面與平面交于，平面交于，因此平面截四棱錐所得截面多邊形為四邊形，故周長為．19.某箱中有個(gè)除顏色之外均相同的球，已知.箱中1個(gè)球?yàn)榘浊颍溆酁楹谇?現(xiàn)在該箱中進(jìn)行一取球?qū)嶒?yàn):每次從箱中等可能地取出一個(gè)球，若取出白球或取球次后結(jié)束實(shí)驗(yàn)，否則進(jìn)行相應(yīng)操作進(jìn)行下一次取球.設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)的取球