人教版九年級數(shù)學上冊專項復習：點、直線與圓的位置關(guān)系（解析版）

專題12點、直線與圓的位置關(guān)系

【思維導圖】

◎考點題型1點和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點在圓外點在圓的外部d>rQ點P在O0的外部.

點在圓上點在圓周上d=r=點P在。。的圓周上.

點在圓內(nèi)(V)點在圓的內(nèi)部d<rq點P在O。的內(nèi)部.

例.（2022?河北邯鄲?九年級期末）平面內(nèi)有兩點P,O,。。的半徑為5,若尸0=6,則點P與。。的位

置關(guān)系是（）

A.圓內(nèi)B.圓上C.圓外D.圓上或圓外

【答案】C

【分析】根據(jù)點到圓心的距離小于半徑即可判斷點P在。。的內(nèi)部.

【詳解】的半徑為5,PO=6,

點P到圓心0的距離大于半徑，

二點P在。。的外部，

故選C.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，理解點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?江蘇淮安?九年級期中）O的半徑為5cm,點A到圓心。的距離。4=3cm,則點A與O

的位置關(guān)系為（）

A.點人在<。上B.點A在：。內(nèi)C.點A在I。外D.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷.

【詳解】解：。的半徑為5cm,點A到圓心。的距離為3cm,

即點A到圓心。的距離小于圓的半徑，

.,.點A在；。內(nèi).

故選:B.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)OO的半徑為，，點尸到圓心的距離OP=d,則有點P在圓外

點P在圓上=d=r；點P在圓內(nèi)=d<r.

變式2.（2022?全國?九年級專題練習）在平面直角坐標系中，以原點。為圓心，4為半徑作圓，點P的坐

標是（5,5）,則點P與。。的位置關(guān)系是（）

A.點尸在。。上B.點尸在。。內(nèi)

C.點尸在。。外D.點P在。。上或在。。外

【答案】C

【分析】先計算出OP的長，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法求解.

【詳解】解：：點尸的坐標是（5,5）,

**?。尸=招+52=5近，

而（）0的半徑為4,

???OP等于大于圓的半徑，

點尸在。外.

故選：C.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點

到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

變式3.（2021?江蘇常州?九年級期中）數(shù)軸上有兩個點A和8,點8表示實數(shù)6,點A表示實數(shù)a,半

徑為4.若點A在03內(nèi)部，則。的取值范圍是（）

A.。<2或a>10B.2<a<10C.a>2D.a<10

【答案】B

【分析】先表示出A8=|6-a|,從而列出|6間<4,進而即可求解.

【詳解】解：：點2表示實數(shù)6,點A表示實數(shù)a,

C.AB=\6-a\,

:OB半徑為4.若點A在02內(nèi)部，

.".|6-d<4,即：2<a<10,

故選B.

【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點在圓的內(nèi)部則點與圓心的距離小于圓的半徑，是解

題的關(guān)鍵.

◎考點題型2三角形的外接圓

1）經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做

三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

2）三角形外心的性質(zhì)：

①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等；

②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無

數(shù)個，這些三角形的外心重合.

3）外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：

1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；

2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；

3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.

圖3

例.（2022?江蘇?九年級）如圖，在平面直角坐標系中，A（0,-3）,B（2,-l）,C（2,3）.則AABC的外心坐

標為（)

A.(0,0)B.(-L1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【答案】D

【分析】由8C兩點的坐標可以得到直線軸，則直線BC的垂直平分線為直線尸1,再由外心的定義

可知△ABC外心的縱坐標為1,則設(shè)△ABC的外心為P(a,-1),利用兩點距離公式和外心的性質(zhì)得到

7^42=a2+(l+3)2=a2+16=PB2=(a-2)2+(l+l)2=a2-4G+8,由止匕求解即可.

【詳解】解：點坐標為(2,-1),C點坐標為(2,3),

直線BC〃y軸，

直線BC的垂直平分線為直線y=l,

??,外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，

.二△ABC外心的縱坐標為1,

設(shè)△ABC的外心為P(a,1),

PA2=a2+(l+3)2=a2+16=PB2=(a-2)2+(l+l)2=a2-4a+8,

??a~+16=ci~-4。+8,

解得a=-2,

...△ABC外心的坐標為(-2,1),

故選D.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外心

是三角形三邊垂直平分線的交點.

變式1.(2022?湖南邵陽?中考真題)如圖，。。是等邊AABC的外接圓，若48=3,則。。的半徑是

C.百D

22-I

【答案】C

【分析】作直徑AQ,連接CZ）,如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到/8=60。，關(guān)鍵圓周角定理得到

ZACD=90°,ZD=ZB=60°,然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解.

【詳解】解:作直徑AD,連接C。，如圖,

???AABC為等邊三角形，

ZB=60°,

「A。為直徑，

ZACZ>=90°,

VZD=ZB=60°,貝iJ/ZMC=30°,

：.CD=-AD,

2

'.'AD^CD^AC2,即AD2=（；A￡>）2+32,

：.AD=2^/3,

：.OA=OB=^AD=y/3.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫

做三角形的外心.也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

變式2.（2022?全國?九年級）如圖，小東在同一平面上按照如下步驟進行尺規(guī)作圖：

（1）作線段A3,分別以4B為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點C；

（2）以C為圓心，以A8長為半徑作弧交AC的延長線于點。；

（3）連接B。，BC.則下列說法中不正確的是（）

AB

A.ZABD=90°B.sin2A+cos2D=1

C.DB=^ABD.點C是△A3。的外心

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法，三角形的外接圓的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，解直角三角形一一判

斷即可.

【詳解】由作圖可知：CA=CB=CD,

：.ZABD=90°,點C是AABC外接圓的圓心，故A,。正確，

\'AC=BC=AB,

△ABC是等邊三角形，

AZA=60°,N￡>=30°,

:.BD=^AB,故C正確，

33

sin2A+cos2￡>=一+—/1,故2錯誤，

44

故選艮

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，解直角三角形等

知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

變式3.（2022?河北?寬城滿族自治縣教研室模擬預測）如圖，AABC和△DBC中，點。在aABC內(nèi)，AB

=AC=BC=2,DB=DC,且/。=90。，則△ABC的內(nèi)心和△DSC的外心之間的距離為（）

【答案】C

【分析】設(shè)△ABC的三角的平分線AP、CG交于點。，AP交于點尸，CG交AB于點G,過點PELCD

于點E,PFLBD于點F,根據(jù)△ABC是等邊三角形，△BCD是等腰直角三角形，可得AABC的內(nèi)心和

△OBC的外心之間的距離為OP的長，求出OP的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)△ABC的三角的平分線人尸、CG交于點O,AP交BC于點P,CG交AB于點G,過

點PELCO于點E,PF1.BD于點F,

'：AB=AC=BC=2,DB=DC,且/。=90。，

.?.△ABC是等邊三角形，△BCD是等腰直角三角形，

BP=CP,點。為△ABC的內(nèi)心，

：.PD=PB=PC,

；.尸￡垂直平分CD,PF垂直平分8。，

點尸為△DBC的外心，

AABC的內(nèi)心和4DBC的外心之間的距離為OP的長，

在等邊△ABC中，AB=AC=BC=2,

：.BP=1,ZOBP=ZOAB=30°,

:.AP=6,OP=^OB,OA=OB,

OP2=OB2-BP2=40P2-BP2,

/.OP=2或OP=-3，即△ABC的內(nèi)心和△DBC的外心之間的距離為3.

333

故答案為：C

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心和外心問題，等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊

三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型3三點定圓的方法

1）經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點。為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點A的圓，這樣的圓有無

數(shù)個.

2）經(jīng)過兩點A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點0作為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點A、B

的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.

3）經(jīng)過三點時：

情況一：過三點的圓：若這三點A、B、C共線時，過三點的圓不存在；

情況二：若A、B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點。是唯一存在的，這

樣的圓有唯一一個.

三點定圓的畫法：

1）連接線段AB,BC。

2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點為0,此時0A=0B=0C,于是點。為圓心，以0A

為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。

定理：不在同一直線上的三點確定一個圓.

例.（2022.江蘇鎮(zhèn)江.九年級期末）小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中最有

可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）

A.①B.②D.都不能

【答案】B

【分析】要確定圓的大小需知道其半徑.根據(jù)垂徑定理知第②塊可確定半徑的大小.

【詳解】解：第②塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心,

進而可得到半徑的長.

故選：B.

【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分

線的交點即為該圓的圓心.

變式1.(2022?浙江.九年級專題練習)如圖所示，一圓弧過方格的格點A3,試在方格中建立平面直角坐標

系，使點A的坐標為(0,4),則該圓弧所在圓的圓心坐標是()

A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)

【答案】C

【分析】連接A3、AC,作出A3、AC的垂直平分線，其交點即為圓心.

【詳解】解：如圖所示：

作出A8、AC的垂直平分線，交點為D

/.。為圓心，

則該圓弧所在圓的圓心坐標為,

故選：C.

【點睛】根據(jù)線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等，找到圓的半徑，半徑的交點即為圓心

的位置.

變式2.(2021?江蘇?九年級專題練習)在同一平面內(nèi)，過已知A,B,C三個點可以作的圓的個數(shù)為

A.0B.1C.2D.0或1

【答案】D

【詳解】分析：分兩種情況討論：①A、B、C三個點共線，不能做圓；②A、B、C三個點不在同一條直

線上，有且只有一個圓.

解答：解：當A、B、C三個點共線，過A、B、C三個點不能作圓；

當A、B、C不在同一條直線上，過A、B、C三個點的圓有且只有一個，即三角形的外接圓；

故選D.

變式3.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，點A、B、C在同一直線上，點D在直線AB之外，過這四個

點中的任意三個點，能畫圓的個數(shù)為（）

D

ABC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】試題分析：根據(jù)題意得出：點D、A、B；點D、A、C；點D、B、C可以確定一個圓.故過這四

點中的任意3個點，能畫圓的個數(shù)是3個.故選C.

考點：確定圓的條件.

◎考點題型4直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線Z的距離為d,則直線和圓的位置關(guān)系如下表:

位置

圖形定義性質(zhì)及判定

關(guān)系

相離?直線與圓沒有公共點d>r。直線］與。。相離

直線與圓有唯一公共點，直線

相切魚叫做圓的切線，公共點叫做切<i=t。直線1與0。相切

點

直線與圓有兩個公共點，直線

相交d<ro直線］與。。相交

叫做圓的割線

例.（2022?江蘇?九年級專題練習）P、。是直線/上的兩個不同的點，且OP=5,。。的半徑為5,下列敘

述正確的是（）

A.點尸在。。外

B.點。在。。外

C.直線/與。。一定相切

D.若。。=5,則直線/與。。相交

【答案】D

【分析】由P、。是直線/上的兩個不同的點，且。尸=5,。。的半徑為5,可得點尸在。。上，直線/與

OO相切或相交；若。。=5,則直線/與。。相交，從而可得答案.

【詳解】解：：。尸=5,。。的半徑為5,

...點尸在。。上，故A錯誤；

丁尸是直線/上的點，

...直線/與。。相切或相交；

,若相切，則。。>5,且點。在。。外；若相交，則點。可能在0O上，0O外，。。內(nèi)；故B,C錯

誤.

六若。。=5,則直線/與。。相交；故D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系.此題難度不大，注意掌握分類討論思想的

應(yīng)用.

變式1（2021?上海金山?九年級期末）如圖，已知RfAABC中，ZC=90,AC=3,BC=4,如果以點C

為圓心的圓與斜邊AB有公共點，那么。C的半徑廠的取值范圍是（）

?！吧?介<3

A.B.C.—<r<4D.3<r<4

555

【答案】c

12

【分析】作CDLAB于D,根據(jù)勾股定理計算出AB=13,再利用面積法計算出=二然后根據(jù)直線與圓

的位置關(guān)系得到當葭4廠44時，以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點.

【詳解】解：作CDLAB于D,如圖，

AB=7AC2+BC2=5

-CDAB=-BCAC

22

CD=—

5

12

...以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點時，r的取值范圍為

故選：C

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d：直線1和。0

相交Qd<r；直線1和。O相切=d=r；直線1和OO相離od>r.

變式2.(2022?廣西欽州?九年級期末)若直線。與半徑為4的。。相交，則圓心。到直線”的距離可能為

()

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系進行判斷即可.

【詳解】解：：直線。與半徑為4的。。相交，

二圓心到直線的距離d<r,即d<4,

.?.滿足條件的只有A選項，

故選：A.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記?。孩僦本€與圓相交時，d<r；②直線與圓相切

時，d=r-,③直線與圓相離時，d>r.

變式3.（202「全國.九年級課時練習）如圖，在半徑為5a〃的。。中，直線/交。。于A、B兩點,且弦

AB=8cm,要使直線/與0。相切，則需要將直線/向下平移（）

【答案】B

【分析】作出0CLA2,利用垂徑定理求出BC=4,再利用勾股定理求出OC=3,即可求出要使直線/與

。。相切，則需要將直線/向下平移的長度.

【詳解】解：作0CLA8,

又0O的半徑為5cm,直線/交。。于A、B兩點，且弦

：.BO=5,BC=4,

由勾股定理得OC=3cm,

要使直線/與。。相切，則需要將直線/向下平移2cm.

故選:B.

【點睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)定理與垂徑定理，根據(jù)圖形求出OC的長度是解決問題的關(guān)鍵.

◎考點題型5切線的判定定理

判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

例.（2019?山東?九年級單元測試）下列四個命題中正確的是（）

①與圓有公共點的直線是該圓的切線；

②垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線；

③到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線；

④過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】C

【詳解】①中，與圓有兩個公共點的直線，是圓的割線，故錯誤；

②中，應(yīng)經(jīng)過此半徑的外端，故錯誤；

③中，根據(jù)切線的判定方法，正確；

④中，根據(jù)切線的判定方法，正確.

故選C.

點睛：要正確理解切線的定義：和圓有唯一公共點的直線是圓的切線.掌握切線的判定：①經(jīng)過半徑的外

端，且垂直于這條半徑的直線，是圓的切線；②到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線.

變式1.（2019?全國?九年級課時練習）如果L是。。的切線,要判定ABLL,還需要添加的條件是（）

A.AB經(jīng)過圓心OB.AB是直徑

C.AB是直徑,B是切點D.AB是直線,B是切點

【答案】C

【詳解】試題分析：根據(jù)切線垂直于經(jīng)過切點的半徑即可得到結(jié)果.

由題意得還需要添加的條件是AB是直徑，B是切點，故選C.

考點：切線的判定

點評：切線的判定是圓中非常重要的知識點，是中考的熱點，在各種題型中均有出現(xiàn)，一般難度不大，需

多加注意.

變式2.（2021?全國?九年級課時練習）如圖，一ABC內(nèi)接于C。，過A點作直線OE,當ZBAE=

（）時，直線DE與O相切.

A.DBB.ZBACC.ZCD.NDAC

【答案】C

【分析】首先過點。作直徑AR連接根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得NC=/ABB,進而可得到

ZBAE=ZF,再根據(jù)直徑所對的圓周角是90°,可證出NAPB+/A4P=90°,再利用等量代換可得

ZBAE+ZBAF=90°,進而得到直線與相切.

【詳解】解：當時，直線。E與：O相切.

理由如下：

作A尸交圓。于尸點，連接2R

,:4F,NC是同弧所對的角,

.,.ZC=ZF,

,：ZBAE=ZC,

：.ZBAE=NF,

為直徑，

AZABF=90°,

.?.在三角形ABB中，ZF+ZBAF=90°,

,/NF=ZBAE,

：.ZBAE+ZBAF=90a,

：.FALDE,

直線。E與。O相切.

故選：C

【點睛】此題主要考查了切線的判定，關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明/以力+/54/=90°.

變式3.(2021?全國?九年級課時練習)如圖，P是。。的直徑CD的延長線上一點，々=30。,則當

ZACP=()時，直線四是。的切線.

C

A.20°B.30°C.15°D.25°

【答案】B

【分析】連接04當ZACP=30。時，根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得出尸=90,即可證

明直線E4是：。的切線.

【詳解】解：當/ACP=30。時，直線F4是。的切線.

證明：連接。人

VZP=30°,ZACP=3Q°,

.?.NB4c=120°；

"：OA=OC,

：.ZACP=ZOAC=30°,

：.ZOAP=APAC-ZOAC=90°,

即OALPA,

.?.直線E4是。的切線.

故選：B

【點睛】本題考查了切線的判定，解題關(guān)鍵是熟記切線的判定定理，連接半徑進行證明推理.

◎考點題型6切線的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

例.（2022?河北保定?九年級期末）如圖，PA.PB是.。的切線，A3是切點，若/尸=70。，則NABO=

)

45°C.55°D.都不對

【答案】A

【分析】先運用圓的切線長定理可以得到：PA=PB,再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出的度數(shù)，最

后利用切線的性質(zhì)解題即可.

【詳解】解：B4,PB是。。的切線,

:.PA=PB,

:.ZPAB=ZPBA,

ZP=70°,

ZPBA=(180°-70°)+2=55°,

OB1PB,

:.ZOBP=90°,

.?.Z/WO=90?！?5。=35。.

故選：A.

【點睛】本題考查圓的切線長定理以及切線的性質(zhì)，掌握切線長定理以及切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

變式1.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，A8是。。的直徑，點尸是。。外一點，PO交OO于點C,

連接5C,B4.若NP=36。，且以與。。相切，則此時N3等于（）

A.27°B.32°C.36°D.54°

【答案】A

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得440=90。，則可得NAO尸=54。.再根據(jù)圓周角定理可得

ZB=1ZAOC=27°,則可求出的度數(shù).

【詳解】：人夕是。。的直徑，且以與。。相切

ZPAO=90°

XVZP=36°

：.ZAOP=54°

ZB=-ZAOC=2T

2

故選:A

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)及圓周角定理，熟練掌握這兩個定理是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?福建南平?九年級階段練習）如圖，點A為。。上一點，點尸為49延長線上一點，PB切

。于點5,連接A3.若NAP3=40。，則ZA的度數(shù)為（）

B

AOP

A.20°B.25°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】連接。3,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBP=90。，再求解BPO3,再利用三角形的外角的性質(zhì)及等腰

三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】解：連接

尸8切〈。于點8,

:.OB±PB,

.?.NOBP=90°,

N4PB=40。，

:.ZBOP=50°,

OA=OB,

:.ZA=ZABO,

NPOB=ZA+ZABO=50°,

:.ZA=-ZBOP=25°.

2

故選：B.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)，掌握“切線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?江蘇.九年級專題練習）如圖，是。。的直徑，8C是。。的切線.若Zfl4C=37。，貝|

/ACB的大小為（)

A

A.37°B.47°C.53°D.63°

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，得NABC=90。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：是。。的直徑，8C是。。的切線，

：.AB±BC,BPZABC=90°,

ZB4c=37。，

ZACB=90°-37°=53°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型7切線長定理

切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

例.（2022?河南安陽?九年級期末）如圖，尸為。。外的一點，PA,尸8分別切。。于點A,B,CZ）切。。于

點E,且分別交尸8于點C,D,若叢=4,貝hPCD的周長為（)

A.5B.7C.8D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)切線長定理得到尸8=以、CA=CE,根據(jù)三角形的周長公式計算即可.

【詳解】解：：以、尸8分別切。。于點A、B,

：.PB=PA=A,

?.?CO切。。于點E且分別交B4、PB于點C,D,

：.CA=CE,DE=DB,

：./XPCD^=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=%,

故選：C.

【點睛】本題考查的是切線長定理的應(yīng)用，切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相

等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角.

變式1.(2022?浙江?金華市第九中學九年級階段練習)如圖，出和依是。。的兩條切線，A,2為切點,

點。在A8上，點E,尸分別在線段必和P8上，且AO=8RBD=AE.若/尸=a,則/EDF的度數(shù)為

()

A.90°-aB.-aC.2aD.90。-±a

22

【答案】D

【分析】根據(jù)切線性質(zhì)，證得△。石之FBD,通過等量代換得出/即尸=再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)，由NP=a,求得NQAE即可.

【詳解】解：:以和尸3是。。的兩條切線，A,B為切點、,

：.PA=PB,

AZPAB=ZPBA,ADAE=ZDBF

在與中，

AD=BF

?；\ZDAE=ZDBF

AE=BD

AADAE^^FBD(SAS),

???ZDEA=AFDB,

在△DAE中，

NH4E+ZA￡Z)+NEDA=180。,

,:NDEA=NFDB,

：.ZDAE+AFDB+AEDA=180°,

ZEDF+ZFDB+ZEDA=180°,

ZEDF=ZDAE,

VZP=a,PA=PB,

???ZPAB=ZPBA

???在△PAB中，ZBAP=90°--a,即NZME=90。-'1,

,一」22

NEDF=ZDAE,

：.ZEDF=90°--a

2

故選：D.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，通過全等證明，等量代換求

得ZEDF=是解題關(guān)鍵.

變式2.（2021?全國?九年級課時練習）如圖，已知Bl、PB是。的兩條切線，A、5為切點，連接OP交

A3于C,交。于。，連接。4、OB,則圖中等腰三角形、直角三角形的個數(shù)分別為（）

C.2,6D.1,6

【答案】C

【分析】根據(jù)切線長定理及半徑相等得，AAPB為等腰三角形，AAOB為等腰三角形，共兩個；

根據(jù)切線長定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形有：AAOC,△AOP,△APC,△OBC,

△OBP,△CBP,共6個.

【詳解】解：因為OA、OB為圓O的半徑，所以O(shè)A=OB,所以△AOB為等腰三角形，

根據(jù)切線長定理，PA=PB,故△APB為等腰三角形，共兩個，

根據(jù)切線長定理，PA=PB,ZAPC=ZBPC,PC=PC,所以△PAC四△PBC,

故AB±PE,根據(jù)切線的性質(zhì)定理/OAP=NOBP=90。，

所以直角三角形有：AAOC,△AOP,△APC,△OBC,AOBP,△CBP,共6個.

故選c.

【點睛】此題綜合考查了切線的性質(zhì)和切線長定理及等腰三角形的判定，有利于培養(yǎng)同學們良好的思維品

質(zhì).

變式3.（2022?山東德州?九年級期末）如圖，AB,AC為。。的切線，8和C是切點，延長08到點。，使

BD=OB,連接A。，若/ZMC=78。，則NADO等于（）

A.70°B.64°C.62°D.51°

【答案】B

【分析】先根據(jù)切線長定理，由AB、AC為。。的切線得到/瓦1O=NC4。，根據(jù)切線的性質(zhì)得

OB±AB,加上80=08,則可判斷AA。。為等腰三角形，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/BAO=

即/。4。=/氏4。=/氏4。，然后利用ND4c=/54。+/區(qū)40+/。。=78?？捎嬎愠?朋。=26。，再利

用/4。。=90。-NBAO求解.

【詳解】解：：AB、AC為。。的切線，

：.ZBAO=ZCAO,OBLAB,

,:BD=0B,

???AB垂直平分OO,

J.AO^AD.

.?.△A。。為等腰三角形，

ZBAO=ZBAD,

：.ZCAO=ZBAO=ZBAD,

ZDAC^ZBAD+ZBAO+ZCAO^yS0,

；.3NBA。=78。，

解得/BA。=26。，

ZADO=90°-ZBAD=90°-26°=64°.

故選：B.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了切線長定理.

◎考點題型8三角形內(nèi)切圓

概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做

圓的外切三角形.

內(nèi)心和外心的區(qū)別：

外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。

作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點即為外接圓圓心。

性質(zhì)：外接圓圓心到三角形三個頂點距離相等。

內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。

作法：做三角形三角的角平分線，取交點即為內(nèi)接圓圓心。

性質(zhì)：內(nèi)接圓圓心到三角形三邊距離相離。

直角三角形三邊和內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系：

T兩百角邊長和?斜邊長）

例.（2021?全國.九年級課時練習）若的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r，則其內(nèi)切圓的面積與

RtABC的面積比為（）

7ir，兀丫C兀丫-7ir

A.----------B.--------C.----------D.--------

2r+2R27?+r4R+2廠47?+r

【答案】B

【分析】畫好符合題意的圖形，由切線長定理可得：CE=CF=r,AE=AG=m,BR=BG=〃，結(jié)合勾股定理

可得：〃"?=2a廠+產(chǎn),再求解直角三角形的面積SACB=g（〃2+r）（〃+r）=2Rr+戶，從而可得直角三角形的內(nèi)

切圓的面積與直角三角形的面積之比.

【詳解】解：如圖，由題意得：ZACB=90。，AB=2R,

O{E=O{F=O[G=r,

由切線長定理可得：

CE=CF=r,AE=AG.BF=BG,

設(shè)AE=AG=m,BF=BG=n,

/.(m+r)2+(n+r)2=(m+n)2,m+n=2R,

mn=(m+〃)r+/，

mn=2Rr+r2,

而SACB=(OT+R)(,7+R)-(mn+mr+nr+r1

=J(2Rr+，+2Rr+/)

=2Rr+/

故選B.

【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與三角形的外接圓，切線長定理，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

變式L（2021?全國?九年級專題練習）如圖，。是正方形A8CD的對角線8。上一點，。。與邊AB,8C都

相切，點、E,尸分別在A。，DC±,現(xiàn)將沿著EF對折，折痕EF與。。相切，此時點。恰好落在圓

心。處.若DE=2,則正方形48CQ的邊長是（）

A.3B.4

C.2+V2D.2A/2

【答案】C

【分析】延長尸。交AB于點G,根據(jù)折疊對稱可以知道。fLCD,所以0GLA2,即點G是切點，0D交

EF于點H,點H是切點.結(jié)合圖形可知OG=OH=/TO=E”，等于。。的半徑，先求出半徑，然后求出正方

形的邊長.

【詳解】解：如圖：延長R9交A8于點G,則點G是切點，OD交EF于點、H,則點H是切點，

?.。ABCD是正方形，點。在對角線上，

：.DF=DE,OFLDC,

：.GF±DC,

：.OG±AB,

：.OG=OH=HD=HE=AE,且都等于圓的半徑.

在等腰直角三角形。即中，DE=2,

：.EH=DH=y/2=AE.

AD=AE+DE=y/2+2.

故選C.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)，結(jié)合正方形的特點求出正方形的邊長.

變式2.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，ABC中，NA=80。，/是內(nèi)心，則NB/C等于（

A.120°B.130°C.150°D.160°

【答案】B

【分析】根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到以和C7分別平分入4BC和/ACB,再利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和

定理計算可得.

【詳解】解：???/是內(nèi)心，

.?.2/和C/分另IJ平分NABC和/ACB,

ZABI=ZCBI,ZACI=ZBCI,

'：ZA=80°,

ZABC+ZACB=WQ0,

：.ZBIC=180°-(ZCBI+ZBCD

=180°-；CZABC+ZACB)

=130°,

故選B.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點.

變式3.（2019?湖北武漢?三模）在R3A8C中，C。為斜邊上的高，AC=3,BC=4,分別用心〃、為、

表示AABC,AACD,△BCD內(nèi)切圓的半徑，貝1|（）

12八7

AA.r+r/+r2=—B.r+r/+r2=y

C.r-n-r2=--D.r-n-r2=--

【答案】A

【分析】由勾股定理及三角形的面積表示可求出線段CD、AD、BD的長，根據(jù)廣一）打一ri=

AC+BC+AB

7q

Q.BCD

r2=計算即可.

AC+AD+CDAC+BD+BC

【詳解】解：如圖,

?.,在RSA2C中，CD為斜邊上的高，AC=3,BC=4,

根據(jù)勾股定理得AB=5,

S=-ACBC=-ABCD

ABC22

:.ACBC=ABCD,BP3x4=5CD

.3”

5

9Q16

在RsAC。中，由勾股定理得AD=g,貝lj50=A3—AD=5—y=.

VRtAABC,RtAACD,RSSCO的內(nèi)切圓半徑分別是八門、r2,

?『2sABC=-=\r/二25ACD_32sBCD_

…~AC+BC+AB~12~'~AC+AD+CD~5"~~AC+BD+BC~5

故選:A.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，即三角形的面積=；（內(nèi)切圓的半徑x三角形的周長），靈

活的利用該公式求三角形內(nèi)切圓的半徑是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型9圓內(nèi)接四邊形

圓內(nèi)接四邊形概念：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個圓

叫做這個多邊形的外接圓。

性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角.

例.（2022?廣西梧州.九年級期末）若四邊形A8C。是。。的內(nèi)接四邊形，ZA：NC=1：2,則NC=

（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】A

【分析】。。的內(nèi)接四邊形性質(zhì)對角和180。，加上已知條件/A：ZC=1：2,即可求得NC.

【詳解】解：：四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形

ZA+ZC=180°

又/C=l：2

AZC=120°

故選：A.

【點睛】此題考查了。。的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵結(jié)合已知條件求解.

變式1.（2022?安徽合肥?九年級期末）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，若乙4。8=40。，BC//OA,貝|

ZADC的度數(shù)為（）

B

C

D

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【分析】根據(jù)NAOB=40。，可得NA2O=70。，再由2C〃O4,可得/OBC=NA。2=40。，從而得到

ZABC=no°,再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：-1?ZA<9B=40°,OA=OB,

：.NA2O=70。，

'JBC//OA,

：.ZOBC=ZAOB=4Q°,

：.ZABC=UO0,

：.ZADC=180°-110°=70°

故選C

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,AB為直徑，ZC=120°.若

AD=2,則AB的長為（）

A.6B.2C.2GD.4

【答案】D

【分析】連接OD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA=60。，得出AAOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)得出OD=OA=AD=2,求出直徑AB即可.

【詳解】解：連接OD,

四邊形ABCD是。0的內(nèi)接四邊形，

.,.ZA+ZC=180°,

VZC=120°,

ZA=60°,

VOD=OA,

AAOD是等邊三角形，

/.AD=OD=OA,

VAD=2,

；.OA=OD=OB=2,

；.AB=2+2=4,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出

NA+NC=180。是解此題的關(guān)鍵.

變式3.（2021?全國?九年級專題練習）若一個正方形的周長為24,則該正方形的邊心距為（）

A.272B.3C.3亞D.2G

【答案】B

【分析】運用正方形的性質(zhì)，以及與外接圓的關(guān)系，可求出邊心距.

【詳解】解：；一個正方形的周長為24,

???正方形的邊長為6,

由中心角只有四個可得出360°-4=90°,

.,?中心角是：90°,

???邊心距是邊長的一半，為3,

故選：B.

【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)與正方形與它的外接圓的關(guān)系，題目比較典型.

◎考點題型10圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)00>.0，0二的半徑分別為R、r（其中R>r）,兩圓圓心距為d,則兩圓位置關(guān)系如下表:

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

兩個圓沒有公共點，并且每個

d>超+r=兩圓外

外離1圓上的點都在另一個圓的外

離

部.

兩個圓有唯一公共點，并且除

d=&+ro兩圓外

外切了這個公共點之外，每個圓上

切

的點都在另一個圓的外部.

1R-r<d<R+ro

相交