2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）解析版

專題15等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）

一、單選題

1.（2024.四川巴中.中考真題）如圖，在ABC中，。是AC的中點(diǎn)，CELAB,BD與CE交于點(diǎn)、0,且

BE=CD.下列說法錯誤的是（）

A.3。的垂直平分線一定與48相交于點(diǎn)E

B.NBDC=3ZABD

C.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，ABC是等邊三角形

D.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，=Z

【答案】D

【分析】連接DE，根據(jù)CE1AB,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)得OE=AD=C￡>=gAC,則座=DE,進(jìn)而得點(diǎn)。

在線段8。的垂直平分線上，由此可對選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；設(shè)NAaD=c,根據(jù)跳；=/）￡得ZEDB=Z4Br>=”,

ZAED=ZEDB+ZABD=2a,再根據(jù)0￡=&￡）得NA=NA￡D=2a,貝I]NBZ）C=NA+N/?）=3a,由止匕可對選

項(xiàng)B進(jìn)行判斷；當(dāng)E為A8中點(diǎn)時，則CE是線段A8的垂直平分線，由此得AC=3C,然后

根據(jù)=CD=^-AC,BE^CD^AB^AC,由此可對選項(xiàng)C進(jìn)行判斷；連接AO并延長交BC于

22

F,根據(jù)A5C是等邊三角形得/OBC=NQ4C=30。，則。4=03,進(jìn)而得03=20尸，AF=3OF,由此

113

^S&OBC=-BCOF,SMBC=-BCAF=-BCOF,由此可對選項(xiàng)D進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：連接DE,如圖1所示：

CELAB,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

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/.DE為RtZXAEC斜邊上的中線，

.\DE=AD=CD=-AC,

2

BE=CD,

BE=DE,

，點(diǎn)。在線段BD的垂直平分線上，

即線段8。的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E,故選項(xiàng)A正確，不符合題意;

設(shè)=

BE=DE,

Z.EDB=ZABD=a,

ZAED=ZEDB+ZABD=2a,

DE=AD,

XA.=XAED=Iccf

ZBDC=ZA+ZABD=3a,

即=故選B正確，不符合題意；

當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，則=

CELAB,

：.CE是線段AB的垂直平分線，

AC=BC,

BE=-ABCD=-ACBE=CD,

2f2f

AB=AC,

AC—BC-AB,

：.ABC是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；

連接A0,并延長交BC于尸，如圖2所示：

圖2

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當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，

點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

..根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得：點(diǎn)廠為8c的中點(diǎn)，

當(dāng)E為AB中點(diǎn)時，ABC是等邊三角形，

:.ZABC=ZBAC=a）°,AF1BC,■平分NOAC,平分NABC,

ZOBC=ZOAC=30°,

OA=OB,

在尸中，OB=2OF,

：.OA=OB=2OF,

.\AF=OA+OF=3OF,

113

??鼠BC^BCOF，SAABC=-BCAF=-BCOF,

，2=］故選項(xiàng)D不正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì),

等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形

的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽

的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將

這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

C.40D.44

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的兩直角邊為“，b,斜邊為c,根據(jù)圖1,結(jié)合已知條件

得到/+從=°2=24,（a-b^=cr+b2-2ab=4,進(jìn)而求出時的值，再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為。，b,斜邊為c,

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圖1中大正方形的面積是24,

小正方形的面積是4,

(a—Z?)"=a2+b2—2ab=4,

/.ab=10,

???圖2中最大的正方形的面積=廿+4*工。6=24+2*10=44；

2

故選：D.

3.(2024.四川巴中.中考真題)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深

幾何？”這是我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題.即AC=5,DC=1,BD=BA,則3C=()

10C.12D.13

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用.設(shè)3C=x,則BD=B4=(x+l),由勾股定理列出方程進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：設(shè)3C=x,則8D=54=(x+l),

由題意，得：(x+l『=52+尤2,

解得:x=12,即BC=12,

故選：C.

4.(2024?四川廣元?中考真題)如圖①，在ASC中，/ACB=90。，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A—C—8以lcm/s

的速度勻速運(yùn)動至點(diǎn)8，圖②是點(diǎn)尸運(yùn)動時，./RP的面積y(cn?)隨時間x(s)變化的函數(shù)圖象，則該三

角形的斜邊43的長為()

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A.5B.7C.3亞D.2A/3

【答案】A

【分析】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，

由圖象可知，面積最大值為6,此時當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)C,得到;AC-2C=6,由圖象可知AC+BC=7,

根據(jù)勾股定理，結(jié)合完全平方公式即可求解.

【詳解】解：由圖象可知，43P面積最大值為6

由題意可得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時，的面積最大，

：.^ACBC=6,BPACBC=n,

由圖象可知，當(dāng)x=7時，y=0,此時點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)8,

AC+BC=1,

"：ZC=90°,

AB2=AC2+BC2=（AC+BC）2-2AC-BC=72-2X12=25,

AB=5.

故選：A

5.（2024?四川南充?中考真題）如圖，已知線段A8,按以下步驟作圖：①過點(diǎn)2作3CLAB,使3C=gA3,

連接AC；②以點(diǎn)C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)。；③以點(diǎn)A為圓心，以AO長為半徑畫弧,

交43于點(diǎn)E.若鉆=加43,則機(jī)的值為（）

A/5—1A/5-2

ARC.V5-1D.75-2

22

【答案】A

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【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)垂直定義可得NABC=90。，再根據(jù)=設(shè)=然后在

Rt^ABC中，利用勾股定理可得AC=好°,再根據(jù)題意可得：AD=AE,CD=BC=^-a,從而利用線段

22

的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答.

【詳解】解：

ZABC=90°,

*.*BC=；AB,設(shè)AB=a

BC=—a,

2

???AC==------Cl9

2

由題意得：AD=AE,CD=BC=ga,

???AE=AD=AC-CD=—a--a=^^-a,

222

AE=mAB,

?—1

??m=---，

2

故選：A

6.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，RtZVIBC中，ZABC=90°,分別以頂點(diǎn)A,C為圓心，大于：AC的

長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)/和點(diǎn)N,作直線MN分別與3C,AC交于點(diǎn)E和點(diǎn)/；以點(diǎn)A為圓

心，任意長為半徑畫弧，分別交AB,AC于點(diǎn)H和點(diǎn)G,再分別以點(diǎn)H,點(diǎn)G為圓心，大于的長為

半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線AP,若射線AP恰好經(jīng)過點(diǎn)E,則下列四個結(jié)論：

①NC=30。；②AP垂直平分線段所；③CE=2BE；@S^=yS^.

BEF6ABC

C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，讀懂圖象信息,

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靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題是解題的關(guān)鍵.

由作圖可知垂直平分線段AC、平分/B4C,進(jìn)而證明NC=N石4C=NB4E=3O?？膳卸á?；再說

明=可得"垂直平分線段成可判定②；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AC=2AB,AE=25E可判定

③，根據(jù)三角形的面積公式即可判定④.

【詳解】解：由作圖可知MN垂直平分線段AC,

:.EA=EC,

：.ZEAC=ZC,

由作圖可知平分ZBAC,

ZBAE=ZCAE,

9：ZABC=9Q0,

???NC=NC4E=/B4E=30。，故①正確，

???AC=2AB,

AF=FC,

：-AB=AF,

???”垂直平分線段正，故②正確，

?：AE=2BE,EA=EC9

：.EC=2BE,故③正確，

,?SBEF=]SBCF，

?；AF=FC,

?v-J-v

,?OBFC-2”■ABC，

**S4BEF=^SAABC,故④正確.

6

故選：D.

7.（2024.山東煙臺?中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下,

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)

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和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：第一個圖為尺規(guī)作角平分線的方法，0P為/A03的平分線；

第二個圖，由作圖可知：OC=OD,OA=OB,

AC^BD,

ZAOD=ZBOC,

：.^AOD^^BOC,

：.NOAD=NOBC,

?：AC=BD,ZBPD=ZAPC,

：.BPD^.APC,

：.AP=BP,

"：OA=OB,OP=OP,

：.△AOP^ABOP,

ZAOP=ZBOP,

OP為/AC?的平分線；

第三個圖，由作圖可知NACP=NAO3,OC=CP,

:.CP〃BO,NCOP=/CPO,

：.?CPO?BOP

：.NCOP=NBOP,

為NAQ5的平分線；

第四個圖，由作圖可知：OPVCD,OC=OD,

為的平分線；

故選D.

二、填空題

8.（2024.遼寧?中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,AD>AB,AD=a,AB=10.以點(diǎn)A為

圓心，以A8長為半徑作圖，與3C相交于點(diǎn)E,連接AE.以點(diǎn)E為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別與E4,

EC相交于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在/AEC的內(nèi)部相

交于點(diǎn)尸，作射線與AD相交于點(diǎn)尸，則ED的長為（用含。的代數(shù)式表示）.

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【分析】本題考查了作圖-作角平分線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

利用基本作圖得到短=鉆=10,E尸平分/AEC,,接著證明NAEF=NAPE得到〃=〃=10,然后

利用FD=AD-AF求解.

【詳解】解：由作法得AE=AB=10,EF平分/AEC,

：.ZAEF=ZCEF,

,：AD/7BC,

：.ZAFE=ZCEF,

：.ZAEF=ZAFE,

：.AF=AE=\Q,

：.FD^AD-AF^a-10.

故答案為：a-10.

9.(2024.吉林?中考真題)圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，

其示意圖如圖②，其中=AB_LB'C于點(diǎn)C,3C=0.5尺，B'C=2尺.設(shè)AC的長度為x尺，可

列方程為.

q詩文：波平如鏡一湖面，半尺高匚

處生紅蓮，亭亭多姿湖中立，突

遭狂風(fēng)吹一邊。離開原處二尺

遠(yuǎn)，花貼湖面象睡蓮。.

A

U圖①

圖②

【答案】X2+22=(X+0.5)2

【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，運(yùn)用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)AC的長度為無尺，則AB=AB'=x+0.5在RtAWC中，由勾股定理即可建立方程.

【詳解】解：設(shè)AC的長度為x尺，則=二AB'=x+0.5,

,：ABLB'C,

由勾股定理得：AC2+3Y=AB”，

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AX2+22=(X+0.5)2,

故答案為：X2+22=(X+0.5)2.

10.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40。和50。，其三邊上分別有一個

正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40。和50。的直角三角形，再分別以所得到的

直角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是1次操作后的圖形.圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖

形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”.若圖①中的直角三角形斜邊長為2,則10次操作后圖形中所,正方形

的面積和為

圖①圖②圖③

【答案】48

【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識.根據(jù)題意分別

計算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規(guī)律即可求解.

【詳解】解：圖①中，：NACB=90。，

圖①圖②

根據(jù)勾股定理得，AC2+BC2=AB2=22=4,

圖①中所有正方形面積和為：4+4=8,

圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為:

8+4=12,

圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為:

8+4x2=16,

次操作后的圖形中所有正方形的面積和為8+4%

；.10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為8+4x10=48,

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故答案為：48.

11.（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，VADE為等邊三角形，防，A?于點(diǎn)憶

若AD=4,貝.

【答案】2

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角

形的性質(zhì)，得到AAFE為含30度角的直角三角形，AE^AD=4,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求

解即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD為正方形，VADE為等邊三角形，EF1.AB,4）=4,

ZFAD=90°,ZEAD=60°,ZAFE=90°,AD=AE=4,

：.ZFAE=30°,

：.EF=-AE=2-

2

故答案為：2.

12.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2.以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑

作弧交AB于點(diǎn)E,再以A3為直徑作半圓，與DE交于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積為.

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法

求陰影部分的面積.

設(shè)弓形AmF,連接AF,FE,由題意知AE=AF=FE=2,即△AFE■為等邊三角形，ZFAE=ZFEA=60°,

即可得出陰影部分面積為%=S半圓-Ssm-品形-代入數(shù)值即可求出結(jié)果.

【詳解】解：：以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧交48于點(diǎn)E,AB=4,45=2,

AE=AD=BE=2,

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...以AB為直徑作半圓時，圓心為點(diǎn)E,

設(shè)弓形Amb,連接川，F(xiàn)E,AE=AF=FE^2,如圖:

?*./XAFE為等邊三角形,

ZFAE=ZFEA=60°,

故陰影部分面積為%=S半圓一S扇形。尸E-S弓形4機(jī)尸,

22、

代入數(shù)值可得s陰=gx2x2兀-60Kx2f6071x273百+2兀

x22

36036043

7

故答案為^3+§71，

13.（2024.四川雅安?中考真題）如圖，在‘ABC和VADE中，AB=AC,ZBAC=ZDAE=4O°,將VAD石

繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)ADI5c時，2B4石的度數(shù)是.

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況分別畫出圖形，再結(jié)合等腰三角形的

性質(zhì)與角的和差運(yùn)算可得答案;

【詳解】解：如圖，當(dāng)ADI5c時，延長AO交3c于J,

*：AB=AC,ZBAC=ZDAE=4Q°,

ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=200+40°=60°；

如圖，當(dāng)AD13C時，延長ZM交3。于/,

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D

'：AB=AC,ZBAC=ZDAE=40°,

：.ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=180°-20°-40°=120°,

故答案為：60。或120。

14.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是邊AC的中

點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)，連接3nDE.將，一CDE沿OE翻折，點(diǎn)C落在8。上的點(diǎn)尸處，則CE=.

3

【答案】|

【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出即的長，折疊得到CD=止，CE=EF/EFD=90°,

設(shè)CE=x,在RtZXBEE中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：：/ACB=90。，AC=6,BC=4,。是邊AC的中點(diǎn)，

CD=-AC^3,

2

BD=YIBC2+CD2=5>

:將CDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在8。上的點(diǎn)尸處，

/.CD=DF=3,CE=EF,ZEFD=90°,

：.BF=BD—DF=2,NBFE=90°,

設(shè)CE=x,則：EF=x,BE=BC-CE=4-x,

在Rt△班E中，由勾股定理，得:（4-X）2-X2+22,

3

解得：x=；;

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3

故答案為：—.

15.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)、B,C

均在無軸上.將「ABC繞頂點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到△AB'C',則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.作CNJ_AO,

求出。尸，的值即可得到答案.

ABC是等邊三角形，AO1BC,

?*.AO是ZBAC的角平分線，

.?.NOAC=30。，

OC=-AC,

2

在RtAOC中，AO2+OC2AC2,

即I6+（」AC）2=AC2,

2

解得AC二型

3

第14頁共29頁

…C與

4月

OF=AO-AF=4-ACcos600=4—--,

3

FC'=AC'?sin60°二—x—=4,

32

z.C(4,4-

故答案為：（4,4-

16.（2024.四川遂寧.中考真題）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是A5邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿EC折

疊，點(diǎn)3落在點(diǎn)P處，延長CP交AO于點(diǎn)。，連結(jié)"并延長交8于點(diǎn)尸.給出以下結(jié)論：①△AEP為

3

等腰三角形；②尸為8的中點(diǎn)；③AP:Pb=2:3；@cosZDCQ=~.其中正確結(jié)論是____.（填序號）

4

【答案】①②③

【分析】設(shè)正方形的邊長為2a,Nl=/2=a,根據(jù)折疊的性質(zhì)得出E4=EP,根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出AE=EB,

即可判斷①，證明四邊形AECF是平行四邊形，即可判斷②，求得tan/4=殷=2,設(shè)AP=x,則8尸=2尤,

AP

勾股定理得出=進(jìn)而判斷③，進(jìn)而求得AQ,DQ,勾股定理求得CQ,進(jìn)而根據(jù)余弦的定義,

5

即可判斷④，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

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設(shè)正方形的邊長為2〃，

I折疊,

/.Z1=Z2,BP±ECfEP=EB=a

EA=EP

???△AEP是等腰三角形，故①正確；

設(shè)/l=/2=a,

：.ZAEP=18Q0-2a

N3=N4=cc

：?N2=N3

：.AF//EC

又???AE//FC

???四邊形AECF是平行四邊形，

CF=AE=a,

:.CF=FD=a,即b是CD的中點(diǎn)，故②正確；

VBP1EC,AF//EC

??.BP±AF

在RtAD廠中，A尸=[AD2+DF2=/2a丫+〃=&,

..八BC2a、

?tana=tanZ1==——=2

BEa

.八BP八

??tanN4==2

AP

設(shè)AP=x,貝Ij5尸=2%,

***AB=y/5x=2a

第16頁共29頁

?2y/5a

??x=--------

5

：?AP=^^a,PF=y/5a-2A/53非

-----a-------a，

555

???b=2:3,故③正確;

連接EQ,如圖所示,

VZQAE=90°,ZQPE=ZEPC=ZEBC=90°,AE=EP

又EQ=EQ

.??AEQ"PEQ

???AQ=PQ

XVEA=EP

：.EQLAP

：.ZAQE-^-ZAEQ=90°

XVZAEQ+Z4=90°

Z.AQE=N4=a

*?tancr=2

AE-

??,而=

.13

??QD=2Q——ci=-tz

在RtQDC中，℃=JR+DC?=J[|j+(2。『=|。

1a

.?.cosNOCQ=^?="故④不正確

a-a5

2

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與折疊問題，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握

第17頁共29頁

以上知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.(2024.江蘇常州?中考真題)如圖，B、E、C、尸是直線/上的四點(diǎn)，AC,DE相交于點(diǎn)G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

(2)連接AD,則與/的位置關(guān)系是

【答案】(1)見解析

(2)ADI

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定：

(1)證明A4BC/△以石，得到4CB=NOEF,即可得證；

(2)根據(jù)線段的和差關(guān)系，易得AG=DG,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到NC4D=NACB,即可得出

結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在ABC和△。尸E■中

AB=DF

<AC=DE,

BC=EF

：.AABC%ADFE,

：.ZACB=ZDEF,

：.EG=CG,

.GEC是等腰三角形；

(2)VAC=DE,EG=CG,

：.AG=DG,

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ZGAD=ZGDA=1(180°-ZAGD)

ZACE=ZDEF=1(180°-NCGE)

"：ZAGD=ZEGC,

：.ZCAD^ZACB,

：.ADI.

18.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在中，ZACB=90°,AB=2如，AC=2,分別以點(diǎn)A,

8為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)/和M作直線分別交AB,BC于點(diǎn)。，E,

連接8,AE.

A

（1）求CO的長；

（2）求一ACE的周長.

【答案】（1）正

(2)6

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，斜中半定

理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

（1）由題意得MN是線段A5的垂直平分線，故點(diǎn)。是斜邊的中點(diǎn).據(jù)此即可求解；

（2）根據(jù)E4=EB、ACE的周長=AC+CE+￡4=AC+CE+EB=AC+BC即可求解；

【詳解】（1）解：由作圖可知，MN是線段的垂直平分線，

...在Rt^ABC中，點(diǎn)。是斜邊的中點(diǎn).

CD=-AB=-x2y[5=45.

22

（2）解：在Rt^ABC中，BC=^AB2-AC2=7（2>/5）2-22=V16=4.

,/MN是線段AB的垂直平分線，

EA=EB.

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，.ACE的周長=AC+CE+E4=AC+CE+EB=AC+3C=2+4=6.

19.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段AD上，AB=AD,ZB=ZD,BC=DE.

(1)求證：AABC^AADE；

(2)若Zfl4c=60。，求/ACE的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZACE=60°

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明ZiACE是等邊三角形是解答

的關(guān)鍵.

(1)直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=AE,ZCAE=ZBAC=60°,再證明△ACE是等邊三角形，利用等

邊三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：在一.ABC與VADE中，

AB=AD

<ZB=ZD,

BC=DE

所以ABC^ADE(SAS)；

(2)解：因?yàn)椤鰽fiC絲AWE,ZBAC=60°,

所以AC=AE,ZCAE=ZBAC=^)°,

所以“點(diǎn)是等邊三角形.

所以NACE=60。.

20.(2024.青海?中考真題)(1)解一元二次方程：--4彳+3=0；

(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長.

【答案】(1)%=1或x=3

(2)第三邊的長是可或20

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

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（2）分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計算

即可.

【詳解】解：（1）%2-4.r+3=0

（x-l）（x-3）=0

x=l或x=3；

（2）當(dāng)兩條直角邊分別為3和1時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為斤丁=而；

當(dāng)一條直角邊為1,斜邊為3時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為后二F=2夜.

答：第三邊的長是加或2忘.

21.（2024?甘肅蘭州?中考真題）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，

正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1,他用木條能快速畫出一個以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如

下：

①本條的兩端分別記為點(diǎn)M，N,先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個端點(diǎn)N的位置

記為點(diǎn)8,連接A5；

②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)2順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A,B,

C不在同一條直線上）；

③連接CB并延長，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)8的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)8重合，端點(diǎn)N在CB延長線上的

落點(diǎn)記為點(diǎn)。；

④用另一根足夠長的木條畫線，連接AO,AC,則畫出的是直角.

操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2,BA=BC,請畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的

直角，記作/ZMC；

推理論證：（2）如圖1,小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請你補(bǔ)全括號里的證明依據(jù)：

證明：AB=BC=BD,

：.A5c與是等腰三角形.

:.NBCA=ABAC,ABDA=/BAD.（依據(jù)1）

ZBCA+ZBDA=ZBAC+ZBAD=ADAC.

ZZMC+ZBCA+ZBDA=180°,（依據(jù)2）

.?.2ZZMC=180°,

../ZMC=90°.

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依據(jù)1：;依據(jù)2：；

拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法

可以減少誤差.如圖3,點(diǎn)。在直線/上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以。為頂點(diǎn)的直角，

記作NPOQ,使得直角邊。尸（或OQ）在直線/上.（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖1

0

圖3

【答案】（1）見詳解，（2）等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；（3）見詳解

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線，

（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長CB至點(diǎn)。，且O8=CB,連接C4,AD即可知以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的NZMC為直角;

（2）根據(jù)作圖可知利用了等邊對等角，以及三角形內(nèi)角和定理；

（3）根據(jù)過定點(diǎn)作已知直線的垂線的方法作圖即可.

【詳解】解：［操作體驗(yàn)］（1）

圖2

［推理論證］（2）依據(jù)1：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理;

故答案為：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；

22.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD=CE,

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BE與AD交于點(diǎn),F.求證：AD=BE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC,

ZABD=/BCE=60。,然后根據(jù)SAS證明ABD^BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：：ABC是等邊三角形，

AAB^BC,ZABD=/BCE=60°,

又BD=CE,

：.△ABD四△BCE(SAS),

AD=BE.

23.(2024?山東泰安?中考真題)如圖1,在等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)、D,E分別在AB,

CB±,DB=EB,連接AE,CD,取AE中點(diǎn)尸，連接8尸.

圖1

(1)求證：CD=2BF,CD1BF；

(2)將DBE繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請直接寫出與8的位置關(guān)系:

②求證：CD=2BF.

【答案】(1)見解析

(2)①所，CD；②見解析

【分析】(1)先證明.48萬均。8。得到4￡=00,NFAB=NBCD,根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到

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CD=AE=2BF,根據(jù)等邊對等角證明NF6A=N5CD,進(jìn)而可證明班」CD；

(2)①延長砥到點(diǎn)G,使FG=BF,連接AG,延長班到M,使BE=BM,連接AM并延長交8于

點(diǎn)N.先證明.AGF統(tǒng)EB7"得到NE4G=NFE?,AG=BE,進(jìn)而AG〃防，AG=BD.證明

△AG3也△3QC得到NABG=N3CD,然后利用三角形的中位線性質(zhì)得到5尸〃AN,則

ZABG=ZBAN=ZBCDf進(jìn)而證明AN_LCD即可得到結(jié)論；

②根據(jù)AAGB沿ABDC得到CD=BG即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在石和△C8O中，

AB=BC,ZABE=ZCBD=9009BE=BD,

,ABE咨.CBD(SAS),

:.AE=CD,/FAB=/BCD.

方是RtAWE斜邊A石的中點(diǎn)，

:.AE=2BF,

:.CD=2BF,

BF=-AE=AF,

2

:.ZFAB=ZFBA.

:"FBA=ZBCD,

ZFBA+ZFBC=90°,

:./FBC+/BCD=90。.

:.BFLCD

(2)解：①BF_LCD；

理由如下：延長防到點(diǎn)G,使FG=BF,連接AG,延長班到M,使BE=BM,連接AM并延長交8

于點(diǎn)N.

AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,

.NAGFAEBF(SAS),

:./FAG=/FEB,AG=BE,

:.AG〃BE,

/.ZG4B+ZABE=180°,

ZABC=/EBD=9。。,

ZABE+ZDBC=180°f

，NGAB=/DBC.

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BE=BD,

,\AG=BD.

在MG3和3OC中，

AG=BD,/GAB=/DBC,AB=CB,

AGB^BZ)C(SAS),

.\ZABG=ZBCD.

方是AE中點(diǎn)，8是EM中點(diǎn)，

.?.5/是一ABM中位線，

:.BF//AN.

ZABG=ZBAN=ABCD,

ZABC=ZANC=90°,

.\AN.LCD.

.BF〃AN,

:.BFLCD.

故答案為：BF.LCD；

②證明：???AAGS"ABDC,

:.CD=BG,

BG=2BF,

:.CD=2BF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角

形的中位線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，涉及知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與

運(yùn)用，靈活添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵.

24.(2024.遼寧?中考真題)如圖，在ABC中，ZABC=90°,ZACB=6^(0°<cr<45°).將線段C4繞點(diǎn)。

順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段S,過點(diǎn)。作垂足為E.

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（1）如圖1,求證：△ABC四△CEE）；

（2）如圖2,