2025屆吉林省蛟河市第一中學校高二上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆吉林省蛟河市第一中學校高二上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b2．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項的和，則（）A. B.C. D.4．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.5．若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.26．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.7．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．為了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心檢測人員對外來入市人員進行核酸檢測，人員甲、乙均被檢測.設命題為“甲核酸檢測結果為陰性”，命題為“乙核酸檢測結果為陰性”，則命題“至少有一位人員核酸檢測結果不是陰性”可表示為（）A. B.C. D.9．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點，則該點取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.10．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.11．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.312．把直線繞原點逆時針轉(zhuǎn)動，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動的最小正角度A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，，，P，F(xiàn)分別是線段，的中點，則點P到直線EF的距離是___________.14．某高中高二年級學生在學習完成數(shù)學選擇性必修一后進行了一次測試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機抽樣方法從學生的數(shù)學成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的兩組學生成績樣本數(shù)據(jù)中，隨機抽取兩個進調(diào)查，求調(diào)查對象來自不同分組的概率.15．已知數(shù)列則是這個數(shù)列的第________項.16．若拋物線：上的一點到它的焦點的距離為3，則__.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過原點O的圓C，與x軸相交于點A(4,0)，與y軸相交于點B(0,2)(1)求圓C的標準方程；(2)直線l過B點與圓C相切，求直線l的方程，并化為一般式18．（12分）已知橢圓，離心率為，短半軸長為1（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線，問：在橢圓C上是否存在點T，使得點T到直線l的距離最大？若存在，請求出這個最大距離；若不存在，請說明理由19．（12分）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.20．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線的標準方程：（1）已知橢圓的焦點在x軸上且一個頂點為，離心率為；（2）求一個焦點為，漸近線方程為的雙曲線的標準方程；（3）拋物線，過其焦點斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，且線段AB的中點的縱坐標為2.21．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極小值點，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.22．（10分）已知拋物線，直線交于、兩點，且當時，.（1）求的值；（2）如圖，拋物線在、兩點處的切線分別與軸交于、，和交于，.證明：存在實數(shù)，使得.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間線、面的位置關系有關定理，對四個選項逐一分析排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，直線有可能平面內(nèi)，故A選項錯誤.對于B選項，兩個平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項錯誤.對于C選項，可能相交，故C選項錯誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項正確.故選:D.2、D【解析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長方體的性質(zhì)可得，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以；故選：D3、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.4、C【解析】由為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：C.5、A【解析】根據(jù)弦長求得的關系式，結合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立.故選：A6、A【解析】先求定義域，再由導數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為，又，因為，所以由得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.7、A【解析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.8、D【解析】表示出和，直接判斷即可.【詳解】命題為“甲核酸檢測結果為陰性”，則命題為“甲核酸檢測結果不是陰性”；命題為“乙核酸檢測結果為陰性”，則命題為“乙核酸檢測結果不是陰性”.故命題“至少有一位人員核酸檢測結果不是陰性”可表示為.故選D.9、C【解析】設矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設矩形的面積為,正方形的面積為,設在矩形內(nèi)任取一點，則該點取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運算能力.10、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A11、D【解析】先求解出導函數(shù)，然后代入到導函數(shù)中，所求導數(shù)值即為切線斜率.【詳解】因為，所以，所以切線的斜率為.故選：D.12、B【解析】根據(jù)直線過原點且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結合計算最小旋轉(zhuǎn)角【詳解】解析：由題意，設切線為，∴.∴或.∴時轉(zhuǎn)動最小∴最小正角為.故選B.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解點P到直線EF的距離.【詳解】解：如圖，以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，因為，所以，，，所以，，所以點P到直線EF的距離.故答案為：.14、（1）眾數(shù)；平均數(shù)，中位數(shù).（2）.【解析】（1）按“眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對應區(qū)間的中點75；平均數(shù)；因為，所以中位數(shù)在區(qū)間上，且中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結果，記事件A=“調(diào)查對象來自不同分組”，結果有所以.15、12【解析】根據(jù)被開方數(shù)的特點求出數(shù)列的通項公式，最后利用通項公式進行求解即可.【詳解】數(shù)列中每一項被開方數(shù)分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開方數(shù)是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列，設該等差數(shù)列為，其通項公式為：，設數(shù)列為，所以，于是有，故答案為：16、【解析】通過拋物線的定義列式求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義知，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）設圓的標準方程為：，則分別代入原點和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運用直線與圓相切的條件：，解方程即可得到所求直線方程.【詳解】(1)設圓C的標準方程為，則分別代入原點和，得到，解得則圓的標準方程為(2)由(1)得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，當時，到的距離為2，不合題意，舍去；當斜率存在時，設，由直線與圓相切，得到，即有，解得，故直線，即為點睛：本題考查直線與圓位置關系，考查圓的方程的求法和直線與圓相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題；圓的方程有一般形式與標準形式，在該題中利用待定系數(shù)法將其設為標準形式，列、解出方程組即可；當直線與圓相切時等價于圓心到直線的距離等于半徑，已知直線上一點寫出直線的方程需注意斜率不存在的情形.18、（1）；（2）存在，最大距離為.，理由見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關系，將問題轉(zhuǎn)為平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離，設直線方程聯(lián)立橢圓方程根據(jù)求參數(shù)，進而判斷點T的存在性，即可求最大距離.【小問1詳解】由題設知：且，又，∴，故橢圓C的方程為.小問2詳解】聯(lián)立直線與橢圓，可得：，∴，即直線與橢圓相離，∴只需求平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離即為所求，令平行于直線且與橢圓相切的直線為，聯(lián)立橢圓，整理可得：，∴，可得，當，切線為，其與直線距離為；當，切線為，其與直線距離為；綜上，時，與橢圓切點與直線距離最大為.19、（1）(,).（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關于P點坐標得方程組，解得結果，（2）先根據(jù)點到直線距離公式結合條件解得點M坐標，再建立的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點A(－6,0),F(4,0)設點P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點P的坐標是(,).（2）直線AP的方程是－+6=0.設點M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(,)到點M的距離為,則,由于－6≤≤6,∴當=時,取得最小值.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1）（2）（3）【解析】（1）設橢圓的標準方程為，根據(jù)題意，進而結合求解即可得答案；（2）設雙曲線的方程為，進而結合題意得，，再結合解方程即可得答案；、（3）根據(jù)題意設直線的方程為，進而與拋物線聯(lián)立方程并消去得，再結合韋達定理得，進而得答案.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，設橢圓的標準方程為，因為頂點為，離心率為，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問2詳解】解：因為雙曲線的一個焦點為，設雙曲線的方程為，因為漸近線方程為，所以，因為所以，所以雙曲線的標準方程為【小問3詳解】解：由題知拋物線的焦點為，因為過拋物線焦點斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，所以直線的方程為，所以聯(lián)立方程，消去得，設，所以，因為線段AB的中點的縱坐標為2，所以，解得.所以拋物線的標準方程為.21、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見解析.【解析】（1）求出導函數(shù)，進而根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據(jù)求出a，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求出函數(shù)的最值；（3）先求出導函數(shù)，然后討論a的取值范圍，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當時，，，切點坐標為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問2詳解】，是函數(shù)的極小值點，，即，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為.【小問3詳解】函數(shù)的定義域為，，令得，.①當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；②當時，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；③當時，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上：時，，函數(shù)R上單調(diào)遞增；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）將代入拋物線的方程，列出韋達定理，利用弦長公式可得出關于的等式，即可解得正數(shù)的值；（2）將代入，列出韋達定理，求出兩切線方程，進而可求得點的坐標，分、兩種情況討論，在時，推導出、、重合，可得出；在時，求出的中點的坐標，利用斜率關系可得出，結合平面向量的線性運算可證得結論成立.【小問1詳解】解：將代入得，設、，則，由韋達定理可得，則，解得或（舍），故.【小問2詳解】解：將代入中得，設、，則，由韋達定理可得，