云南省玉溪市一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

云南省玉溪市一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線2．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，則（）A.55 B.65C.15 D.603．等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2084．設(shè)函數(shù)，則（）A.1 B.5C. D.05．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點(diǎn)，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.6．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．直線的傾斜角大小為（）A. B.C. D.8．在等差數(shù)列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.49．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.11．已知a，b為不相等實(shí)數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定12．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《算法九章·商功》中，后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層（從上往下）球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則___________，___________.14．已知函數(shù)，則不等式的解集為____________15．九連環(huán)是中國的一種古老智力游對(duì)，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個(gè)精美的由九個(gè)翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個(gè)圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動(dòng)次數(shù)，且數(shù)列滿足，，則___________.16．如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為，測得從，到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項(xiàng)和.18．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值19．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值20．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由21．（12分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動(dòng)，老師們立即開展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級(jí)學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)在校高二學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)，并得到如下的統(tǒng)計(jì)圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖填寫下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計(jì)每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)總計(jì)45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個(gè)數(shù)字被污損.（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語知識(shí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與年齡（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學(xué)習(xí)成語知識(shí)時(shí)間（小時(shí)）2.5344.5由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預(yù)測年齡為55歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識(shí)時(shí)間.參考公式：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，.故選:B3、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D4、B【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.5、D【解析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點(diǎn)為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D6、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.7、B【解析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?，根?jù)斜率與傾斜角關(guān)系可直接求解.【詳解】由直線可得，所以，設(shè)傾斜角為，則因?yàn)樗怨蔬x：B8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得方程組，求得公差.【詳解】等差數(shù)列中,,，由通項(xiàng)公式可得解得故選：A9、D【解析】由題設(shè)，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點(diǎn)處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點(diǎn)處與相切，下研究四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線A：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為矛盾，故A錯(cuò)誤B：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，不為，故B錯(cuò)誤；C：，將2代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為3矛盾，故C錯(cuò)誤；D：，將0，2代入，解得此時(shí)切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.10、D【解析】設(shè)，由，得到四邊形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故選：D11、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因?yàn)椋?，所以，即故選：A12、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)，，得到，利用累加法和等差數(shù)列求和公式求出，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.【詳解】因?yàn)?，，，，，以上個(gè)式子累加，得，則；因?yàn)?，所?故答案為：，.14、【解析】易得函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式即為不等式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)得單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性解不等式即可.【詳解】解：函數(shù)得定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，則不等式即為不等式，，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以，解得，即不等式的解集為.故答案為：.15、684【解析】利用累加法可求得的值.【詳解】當(dāng)且時(shí)，，所以，.故答案為：.16、【解析】首先構(gòu)造二面角的平面角，如圖，再分別在和中求解.【詳解】作，且，連結(jié)，，，，平面且，四邊形時(shí)平行四邊形，，平面，平面，中，,中，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）2735.【解析】(1)利用給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算推理作答.(2)插入所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，再確定數(shù)列的前50項(xiàng)中含有數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，則有，而，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公式的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知，，即，插入的所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，數(shù)列中前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為：，而前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為45，因此，數(shù)列的前50項(xiàng)中包含數(shù)列前9項(xiàng)，數(shù)列前41項(xiàng)，所以.18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面垂直的判定和線面角的求法，解題的關(guān)鍵是通過過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，然后結(jié)合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題19、（1）；（2）.【解析】（1）將題設(shè)條件化為，結(jié)合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理邊角關(guān)系可得，再應(yīng)用輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求最大值.【小問1詳解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以【小問2詳解】由（1）知：，則，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值為20、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）利用數(shù)列為等比數(shù)列，將已知的等式利用首項(xiàng)和公比表示，得到一個(gè)方程組，求解即可得到首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；將已知的等式變形，得到數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再結(jié)合數(shù)列的第項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系進(jìn)行求解，即可得到；（2）先利用等比數(shù)列求和公式求出，從而得到的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)相消求和法求出，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)以及進(jìn)行化簡變形，得到假設(shè)不成立，故可得到答案【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因?yàn)?，所以，所以，所以，由，可得，所以?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，故，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，則有，所以，則，即，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，則，所以，則，所以，即，所以，這與已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.21、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得：每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過