云南省玉溪市一中2025屆高二數學第一學期期末檢測模擬試題含解析

云南省玉溪市一中2025屆高二數學第一學期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線2．在等差數列中，為其前n項和，，則（）A.55 B.65C.15 D.603．等差數列中，為其前項和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2084．設函數，則（）A.1 B.5C. D.05．數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.6．若復數滿足，則復平面內表示的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．直線的傾斜角大小為（）A. B.C. D.8．在等差數列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.49．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數圖象的一部分，則該函數的解析式為（）A.B.C.D.10．已知雙曲線的右焦點為F，關于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.11．已知a，b為不相等實數，記，則M與N的大小關系為（）A. B.C. D.不確定12．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《算法九章·商功》中，后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層（從上往下）球數構成一個數列，則___________，___________.14．已知函數，則不等式的解集為____________15．九連環(huán)是中國的一種古老智力游對，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現假設有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動次數，且數列滿足，，則___________.16．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為，測得從，到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距________________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列中，數列的前n項和為滿足.（1）證明：數列為等比數列；（2）在和中插入k個數構成一個新數列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數依次構成首項和公差都為2的等差數列.求數列的前50項和.18．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值19．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值20．（12分）已知等比數列的前項和為，，．數列的前項和為，且，（1）分別求數列和的通項公式；（2）若，為數列的前項和，是否存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由21．（12分）2021年11月初某市出現新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學”的行動，老師們立即開展了線上教學．某中學為了解教學效果，于11月30日復課第一天安排了測試，數學教師為了調查高二年級學生這次測試的數學成績與每天在線學習數學的時長之間的相關關系，對在校高二學生隨機抽取45名進行調查，了解到其中有25人每天在線學習數學的時長不超過1小時，并得到如下的統(tǒng)計圖：（1）根據統(tǒng)計圖填寫下面列聯表，是否有95%的把握認為“高二學生的這次摸底考試數學成績與其每天在線學習數學的時長有關”；數學成績不超過120分數學成績超過120分總計每天在線學習數學的時長不超過1小時25每天在線學習數學的時長超過1小時總計45（2）從被抽查的，且這次數學成績超過120分的學生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學中隨機抽取2名，求這兩名同學中至多有一名每天在線學習數學的時長超過1小時的概率附：，其中．參考數據：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個數字被污損.（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對成語知識的學習積累的熱情，從中獲益匪淺.現從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾的周均學習成語知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學習成語知識時間（小時）2.5344.5由表中數據，試求線性回歸方程，并預測年齡為55歲觀眾周均學習成語知識時間.參考公式：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】首先建立平面直角坐標系，然后結合數量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設，以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設，可得：，從而：，結合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數量積的坐標運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、B【解析】根據等差數列求和公式結合等差數列的性質即可求得.【詳解】解析：因為為等差數列，所以，即，.故選:B3、D【解析】利用等差數列下標的性質，結合等差數列前項和公式進行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D4、B【解析】由題意結合導數的運算可得，再由導數的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.5、D【解析】由題設條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D6、A【解析】根據復數的運算法則，求得，結合復數的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復數滿足，可得，所以復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.7、B【解析】將直線方程變?yōu)樾苯厥剑鶕甭逝c傾斜角關系可直接求解.【詳解】由直線可得，所以，設傾斜角為，則因為所以故選：B8、A【解析】根據等差數列性質可得方程組，求得公差.【詳解】等差數列中,,，由通項公式可得解得故選：A9、D【解析】由題設，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗證四個選項即可得出答案【詳解】由函數圖象知，此三次函數在上處與直線相切，在點處與相切，下研究四個選項中函數在兩點處的切線A：，將0代入，此時導數為，與點處切線斜率為矛盾，故A錯誤B：，將0代入，此時導數為，不為，故B錯誤；C：，將2代入，此時導數為，與點處切線斜率為3矛盾，故C錯誤；D：，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.10、D【解析】設，由，得到四邊形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】如圖所示：設，則，，，因為，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故選：D11、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因為，又，所以，即故選：A12、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據，，得到，利用累加法和等差數列求和公式求出，再利用裂項抵消法進行求和.【詳解】因為，，，，，以上個式子累加，得，則；因為，所以.故答案為：，.14、【解析】易得函數為奇函數，則不等式即為不等式，利用導數判斷函數得單調性，再根據函數得單調性解不等式即可.【詳解】解：函數得定義域為R，因為，所以函數為奇函數，則不等式即為不等式，，所以函數在R上是增函數，所以，解得，即不等式的解集為.故答案為：.15、684【解析】利用累加法可求得的值.【詳解】當且時，，所以，.故答案為：.16、【解析】首先構造二面角的平面角，如圖，再分別在和中求解.【詳解】作，且，連結，，，，平面且，四邊形時平行四邊形，，平面，平面，中，,中，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）2735.【解析】(1)利用給定的遞推公式結合“當時，”計算推理作答.(2)插入所有項構成數列，，再確定數列的前50項中含有數列和的項數計算作答.【小問1詳解】依題意，，當時，，兩式相減得：，則有，而，即，所以數列是以2為首項，2為公式的等比數列.【小問2詳解】由(1)知，，即，插入的所有項構成數列，，數列中前插入數列的項數為：，而前插入數列的項數為45，因此，數列的前50項中包含數列前9項，數列前41項，所以.18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結論；（2）如圖，過點作，交直線于點，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過點作，交直線于點，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是【點睛】關鍵點點睛：此題考查線面垂直的判定和線面角的求法，解題的關鍵是通過過點作，交直線于點，連接，然后結合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題19、（1）；（2）.【解析】（1）將題設條件化為，結合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理邊角關系可得，再應用輔助角公式、正弦函數的性質即可求最大值.【小問1詳解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以【小問2詳解】由（1）知：，則，設△ABC外接圓半徑為R，則，當時，取得最大值為20、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）利用數列為等比數列，將已知的等式利用首項和公比表示，得到一個方程組，求解即可得到首項和公比，結合等比數列的通項公式即可求出；將已知的等式變形，得到數列為等差數列，利用等差數列通項公式求出，再結合數列的第項與前項和之間的關系進行求解，即可得到；（2）先利用等比數列求和公式求出，從而得到的表達式，然后利用裂項相消求和法求出，假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列，利用等比中項、等差中項以及進行化簡變形，得到假設不成立，故可得到答案【詳解】（1）因為數列為等比數列，設首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數列為等差數列，首項為，公差為1，故，則，當時，，當時，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列，則有，所以，則，即，因為，所以，即，所以，所以，則，所以，則，所以，即，所以，這與已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列【點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.21、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據統(tǒng)計圖計算填表即可；（2）根據古典概型計算公式計算即可.【小問1詳解】根據統(tǒng)計圖可得：每天在線學習數學的時長不超過1小時數學成績不超過120分的有人，每天在線學習數學的時長不超過1小時數學成績超過120分的有人，每天在線學習數學的時長超過1小時數學成績不超過120分的有人，每天在線學習數學的時長超過1小時數學成績超過120分的有人，可得列聯表如下：數學成績不超過120分數學成績超過