遂寧市重點中學2025屆高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

遂寧市重點中學2025屆高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知是橢圓右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.3．已知空間向量，，若，則實數的值是（）A. B.0C.1 D.24．已知向量，，且，則的值為（）A. B.C.或 D.或5．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結論是A.B.C.D.6．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知是虛數單位，則復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．下列結論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．某研究所計劃建設n個實驗室，從第1實驗室到第n實驗室的建設費用依次構成等差數列，已知第7實驗室比第2實驗室的建設費用多15萬元，第3實驗室和第6實驗室的建設費用共為61萬元.現在總共有建設費用438萬元，則該研究所最多可以建設的實驗室個數是（）A.10 B.11C.12 D.1310．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.11．已知等差數列的公差，記該數列的前項和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.19812．已知橢圓的一個焦點坐標是，則（）A.5 B.2C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.14．已知等差數列滿足，公差，則當的前n項和最大時，___________15．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則實數m的值為______.16．函數，其導函數為函數，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.18．（12分）為慶祝中國共產黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對的題數比乙多的概率.19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點D是BC的中點；（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值20．（12分）已知函數.（1）求的單調區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間上的最大值與最小值.21．（12分）已知拋物線C：的焦點為F，為拋物線C上一點，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點為圓心，為半徑的圓與C的準線交于A，B兩點，過A，B分別作準線的垂線交拋物線C于D，E兩點，若，證明直線DE過定點22．（10分）如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點，且（1）求證：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設，對實數的取值進行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實數的取值范圍.【詳解】設，其中.①當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞增，則，解得，此時不存在；②當時，，解得；③當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞減，則，解得，此時不存在.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.2、A【解析】結合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設左焦點為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A3、C【解析】根據空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有.故選：C4、C【解析】根據空間向量平行的性質得，代入數值解方程組即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得或.故選：C.5、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）6、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.7、D【解析】根據復數的幾何意義即可確定復數所在象限【詳解】復數在復平面內對應的點為則復數在復平面內對應的點位于第四象限故選：D8、D【解析】根據基本初等函數的導數和運算法則分別計算函數的導數，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D9、C【解析】根據等差數列通項公式，列出方程組，求出的值，進而求出令根據題意令，即可求解.【詳解】設第n實驗室的建設費用為萬元，其中，則為等差數列，設公差為d，則由題意可得，解得，則.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建設12個實驗室.故選：C.10、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.11、A【解析】根據等差數列的公差，求得其通項公式求解.【詳解】因為等差數列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時，該數列的前項和取得最大值，最大值為，故選：A12、C【解析】根據題意橢圓焦點在軸上，且，將橢圓方程化為標準形式，從而得出，得出答案.【詳解】由焦點坐標是，則橢圓焦點在軸上，且將橢圓化為，則由，焦點坐標是，則，解得故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意先判斷函數為偶函數，再利用的導函數判斷在上單調遞增，根據偶函數的對稱性得上單調遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數，當時，，故函數在上單調遞增.為偶函數，在上單調遞減.要使成立，即.故答案為：.14、3【解析】根據公式求出前n項和，再利用二次函數的性質.【詳解】因為等差數列，，所以，當時，取到最大值.故答案為：3.15、【解析】分別求出橢圓和拋物線的焦點坐標即可出值.【詳解】由橢圓方程可知，，，則，即橢圓的右焦點的坐標為，拋物線的焦點坐標為，∵拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，∴，即，故答案為：.16、【解析】根據解析式，可求得解析式，代入數據，即可得答案.詳解】∵，∴，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解題即可（2）利用分子分母同號為正，異號為負思想，注意討論分母不為0【小問1詳解】由題，即，解得或，即；【小問2詳解】由題，解得或，即18、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對的題數比乙多這個事件是，然后由相互獨立的事件和互斥事件的概率公式計算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗的樣本空間，.共有10個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，所以這是一個古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，根據獨立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對的題數比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨立，所以..因此，甲答對的題數比乙多的概率為.19、（I）（II）【解析】（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標系A﹣xyz，可得和的坐標，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進而可得答案解：（I）以，，x，y，z軸建立空間直角坐標系A﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設平面C1AD的法向量為=（x，y，z），則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），設直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：考點：異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角20、（1）單調遞增區(qū)間為；單調減區(qū)間為和；（2）；.【解析】（1）求出導函數，令，求出單調遞增區(qū)間；令，求出單調遞減區(qū)間.（2）求出函數的單調區(qū)間，利用函數的單調性即可求解.【詳解】1函數的定義域是R，，令，解得令，解得或，所以的單調遞增區(qū)間為，單調減區(qū)間為和；2由在單調遞減，在單調遞增，所以，而，，故最大值是.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設，，將與圓P的方程聯立得到韋達定理，再寫出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：因為拋物線C上一點，且，所以到拋物線C的準線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設，，將與圓P的方程聯立，可得，則，當時，，不妨令，則，此時；當時，直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即，即，令且，得，直線過點；綜上，直線DE過定點22、（1）證明見解析（2）【解析】建立空間直角坐標系，計算出相關點的坐標，進而計算出相關向量的坐標；（1）計算向量的數量積，，根據數量積結果為零，證明線線垂直，進而證明線面垂直2；（2）求出平面PCD的法向