北京四中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

北京四中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過(guò)點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過(guò)點(diǎn)O可以作無(wú)數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交2．如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.3．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要4．已知點(diǎn)到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或155．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.17．若一個(gè)正方體的全面積是72，則它的對(duì)角線長(zhǎng)為（）A. B.12C. D.68．若雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.9．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.10．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)P在線段EF上.給出下列命題：①存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；②存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號(hào)（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④11．若兩條直線與互相垂直，則的值為（）A.4 B.-4C.1 D.-112．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為______.類別老年教師中年教師青年教師合計(jì)人數(shù)90018001600430014．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為________15．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為____16．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直線l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，則5a+b＝__三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線C過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn)，是否存在直線AB，使得成立，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在銳角中，，，分別為角，，的對(duì)邊，且滿足，求的取值范圍.20．（12分）如圖，點(diǎn)О是正四棱錐的底面中心，四邊形PQDO矩形，（1）點(diǎn)B到平面APQ的距離：（2）設(shè)E為棱PC上的點(diǎn)，且，若直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，試求實(shí)數(shù)的值21．（12分）已知命題p：方程的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；命題q：方程無(wú)實(shí)根.若p或q為真，￢q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在棱，上運(yùn)動(dòng)，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當(dāng)，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說(shuō)明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過(guò)點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.2、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系求出雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)a，再利用離心率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對(duì)稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：二直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.3、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B4、D【解析】利用點(diǎn)到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點(diǎn)到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.5、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)椋?，即所以，由雙曲線的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B6、A【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設(shè)傾斜角為，則，，故選：A7、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長(zhǎng)，再由勾股定理計(jì)算對(duì)角線.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)角線長(zhǎng)為，則有，解得，從而，解得.故選：D8、A【解析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A9、B【解析】若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，滿足條件，此時(shí)直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當(dāng)時(shí)，，命題為真，根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當(dāng)時(shí)，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】當(dāng)點(diǎn)P是線段EF中點(diǎn)時(shí)判斷①；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，推理導(dǎo)出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉(zhuǎn)化列式計(jì)算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點(diǎn)G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，直線平面ACF，①正確；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點(diǎn)與D連線垂直于DG，因此，假設(shè)是錯(cuò)的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動(dòng)點(diǎn)P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當(dāng)P與E不重合時(shí)，，，而，則，當(dāng)P與E重合時(shí)，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號(hào)是①③④.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影都在這兩個(gè)平面的交線上.11、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件知：，即可求的值.【詳解】由兩直線垂直，可知：，即.故選：A12、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，則不等式不成立；對(duì)于B，若，則不等式不成立；對(duì)于C，若均為負(fù)值，則不等式不成立；對(duì)于D，不等號(hào)的兩邊同乘負(fù)值，不等號(hào)的方向改變，故正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，需熟練掌握性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點(diǎn)：分層抽樣.14、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：9.15、【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由得，實(shí)軸長(zhǎng)故答案為：16、36【解析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，進(jìn)而求出5a+b的值【詳解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案為：36三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析（2）（3）存點(diǎn)，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結(jié)論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設(shè)，,則，則由向量法結(jié)合條件可得答案.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，是棱的中點(diǎn)則則為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設(shè)，，則由（2）平面的一個(gè)法向量設(shè)與平面所成角為則解得，取所以存在點(diǎn)，滿足條件.18、（1）；（2）存在，直線AB的方程為：或.【解析】(1)根據(jù)給定的漸近線方程及所過(guò)的點(diǎn)列式計(jì)算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB，設(shè)出其方程，借助弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，解得：，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問(wèn)2詳解】假定存在直線AB，使得成立，顯然不垂直于y軸，否則，設(shè)直線：，由消去x并整理得：，因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，于是得，則有，即或，因此，，解得，所以存在直線AB，使得成立，此時(shí)，直線AB的方程為：或.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)降冪公式化簡(jiǎn)的解析式，再用整體代入法即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由正弦定理邊化角，從而可求得，根據(jù)銳角三角形可得從而可求出答案【詳解】解：（1），由得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵為銳角三角形，∴解得∴∴的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與性質(zhì)，考查正弦定理的作用，屬于基礎(chǔ)題20、（1）（2）或【解析】（1）以三棱錐等體積法求點(diǎn)到面距離，思路簡(jiǎn)單快捷.（2）由直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，可以列關(guān)于的方程，解之即可.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)О是正四棱錐底面中心，點(diǎn)О是BD的中點(diǎn)，四邊形PQDO矩形，，兩點(diǎn)到平面APQ的距離相等.正四棱錐中，平面，平面，，，設(shè)點(diǎn)B到平面APQ的距離為d，則，即解之得，即點(diǎn)B到平面APQ的距離為【小問(wèn)2詳解】取PC中點(diǎn)N，連接BN、ON、DN，則.平面平面正四棱錐中，，直線平面平面，平面平面，平面平面平面中，點(diǎn)E到直線ON的距離即為點(diǎn)E到平面的距離.中，，點(diǎn)P到直線ON的距離為△中，，設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為d，則有，則則有，整理得，解之得或21、.【解析】計(jì)算命題p：；命題；根據(jù)p或q為真，￢q為真得到真假，計(jì)算得到答案.【詳解】若方程的曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則滿足，即，即，即若方程無(wú)實(shí)根，則判別式，即，得，即，即若為真，則為假，同時(shí)若或?yàn)檎?，則為真命題，即，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的