河南省開封市蘭考縣某中學2024-2025學年高三期末考試數學試題（含解析）

河南省開封市蘭考縣第三中學2024-2025學年高三期末考試數學試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦

九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入x的

值為2,則輸出的v值為()

開始

.

/輸入X/

V

v=10,k=9

A.9x210-2B.9x210+2C.9x2n+2D.9x2n-2

2.已知定義在R上的函數滿足〃x)=/(—x),且在(0,+s)上是增函數，不等式〃必+2)</(—1)對于

恒成立，則。的取值范圍是

A.--,-1B.-1,--C.--,0D.[0,1]

3.函數/(x)=Asin(ox+TTi)(o>0)的圖象與x軸交點的橫坐標構成一個公差為TT三的等差數列，要得到函數

g(x)=Acosox的圖象，只需將/(x)的圖象()

A.向左平移二個單位B.向右平移三個單位

124

ITSjT

C.向左平移烏個單位D.向右平移衛(wèi)個單位

44

4.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={2,4},3={3,4},則(松)[1(*)=()

A.[3,5,6}B.{1,5,6}C.[2,3,4}D.{1,2,3,5,6}

5.點P為棱長是2的正方體A3CD-A4Gq的內切球。球面上的動點，點〃為用6的中點，若滿足

則動點P的軌跡的長度為（）

A.亙8辰

55

6.已知向量4=(3sinx,-2),5=(l,cosx),當時，cosl2%+y)

66

C.——D.—

1313

7.已知點尸在橢圓r：二+二=l（a>Z?0）±,點P在第一象限，點尸關于原點。的對稱點為A,點P關于x軸的對

a2b2

--3-"

稱點為0,設尸。=：PQ,直線A。與橢圓r的另一個交點為8,若則橢圓7■的離心率e=（）

4

A.-B.—C.—D.走

2223

8.甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后甲說：丙被錄用了；乙說:

甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結論正確的是（）

A.丙被錄用了B.乙被錄用了C.甲被錄用了D.無法確定誰被錄用了

9.已知/為拋物線爐=4〉的準線，拋物線上的點〃至!J/的距離為d,點尸的坐標為（4,1）,貝！j|MP|+d的最小值是

（）

A.V17B.4C.2D.1+/

10.若函數/（乃=內3+3必+6在％=1處取得極值2,貝！Ja—b=（）

A.-3B.3C.-2D.2

11.為了進一步提升駕駛人交通安全文明意識，駕考新規(guī)要求駕校學員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導交通.

現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

12.已知雙曲線C：J—方=l（a>02〉0）的實軸長為2,離心率為2,耳、與分別為雙曲線C的左、右焦點，點

P在雙曲線c上運動，若△耳尸鳥為銳角三角形，則|p耳|+pE|的取值范圍是（）

A.（277,8）B.（275,7）C.（2石,8）D.（207）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若正三棱柱ABC-A.B.Q的所有棱長均為2,點尸為側棱A4上任意一點，則四棱錐尸-BCC4的體積為

22

14.如圖，6、工分別是雙曲線二-與=1的左、右焦點，過心的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于4、3兩

ab

點，若事=麗，鄧?哥=0,則雙曲線C的離心率是.

15.已知函數/（x）=In」二1為奇函數，則。=.

1-ax

16.已知兩點4—1,0）,3（1,0）,若直線x—y+a=o上存在點尸（x,y）滿足而=0,則實數。滿足的取值范圍

是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會的標志性指標.黨的十九屆四中全會提出“堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，建

立解決相對貧困的長效機制”對當前和下一個階段的扶貧工作進行了前瞻性的部署，即2020年要通過精準扶貧全面消

除絕對貧困，實現(xiàn)全面建成小康社會的奮斗目標.為了響應黨的號召，某市對口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展扶貧工作.對某種農產品

加工生產銷售進行指導，經調查知，在一個銷售季度內，每售出一噸該產品獲利5萬元，未售出的商品，每噸虧損2

萬元.經統(tǒng)計A，B兩市場以往100個銷售周期該產品的市場需求量的頻數分布如下表：

A市場：

需求量

90100110

（噸）

頻數205030

5市場:

需求量

90100110

（噸）

頻數106030

把市場需求量的頻率視為需求量的概率，設該廠在下個銷售周期內生產“噸該產品，在4、3兩市場同時銷售，以X

（單位：噸）表示下一個銷售周期兩市場的需求量，Y（單位：萬元）表示下一個銷售周期兩市場的銷售總利潤.

（1）求X>200的概率;

（2）以銷售利潤的期望為決策依據，確定下個銷售周期內生產量〃=190噸還是九=200噸?并說明理由.

L-I「11

10-0

18.（12分）試求曲線〉=5就》在矩陣MN變換下的函數解析式，其中M=,N=2.

-°2」［oi

19.（12分）已知函數/（x）=e'—xlnx+ax,/'（x）為/（x）的導數，函數/（x）在x=玉）處取得最小值.

（1）求證：111%+/=0；

（2）若"/時,恒成立，求&的取值范圍.

20.（12分）已知橢圓C：三+營=1（?！等f〉0）的離心率為蟄，右焦點為拋物線V=4x的焦點歹.

（1）求橢圓C的標準方程；

4

（2）。為坐標原點，過。作兩條射線，分別交橢圓于M、N兩點，若QV斜率之積為-彳，求證：^MON

的面積為定值.

21.（12分）已知橢圓T：0+2=1（?！?〉0）的離心率為5,直線/：x+y—#=0與以原點為圓心，以橢圓C

的短半軸長為半徑的圓相切.A為左頂點，過點G（1,O）的直線交橢圓丁于3,C兩點，直線A5,AC分別交直線％=4

于Af,N兩點.

(1)求橢圓T的方程；

(2)以線段MN為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.

22.(10分)如圖，在四棱錐尸—A6CD中，四邊形ABC。為正方形，平面ABC。，點〃是棱PC的中點,

AB=2,PD=t(t>0).

(1)若r=2,證明：平面平面「5C；

4

(2)若三棱錐C-的體積為求二面角3—DM—C的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的左，v的值，當k=-1時，不滿足條件左..0,跳出循環(huán)，輸出v的

值.

【詳解】

解:初始值v=10,x=2,程序運行過程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

v=10x22+9x2+8，左=7,

v=10x23+9x2~+8x2+7,k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6，k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5,k=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,

v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3,k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=T,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=0,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x2s+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-l,

跳出循環(huán)，輸出v的值為

^43v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0?

2V=10X2"+9X210+8X29+7X28+6X27+5X26+4X25+3X24+2X23+1X22+0?

①一②得

-V=-10X211+1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25+1X24+1X23+1X22+1X2

2（1-210）

-v=-10x2n+—^-----

1-2

v=9x2"+2.

故選：C.

本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環(huán)得到左，V的值是解題的關鍵，屬于基礎題.

2.A

【解析】

根據奇偶性定義和性質可判斷出函數為偶函數且在(-8,0)上是減函數，由此可將不等式化為-1W辦+2W1；利用分

離變量法可得-巳3<?<-1-,求得-三3的最大值和-一1的最小值即可得到結果.

XXXx

【詳解】

?."(x)=/(—x).?./(九)為定義在R上的偶函數，圖象關于y軸對稱

又/(%)在(0,+8)上是增函數.-./(%)在(―,0)上是減函數

1.,/(ta+2).,.麻+2區(qū)1,即-

???—1W依+2W1對于％e[L2卜恒成立——在[1,2]上恒成立

3「3一

---<a<—l,即〃的取值范圍為：—不一1

2L2

本題正確選項：A

本題考查利用函數的奇偶性和單調性求解函數不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關鍵是能夠利用函數單

調性將函數值的大小關系轉化為自變量的大小關系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.

3.A

【解析】

依題意有了(X)的周期為T=總=7,。=3,/(%)=Asin[3x+zJ.而

g(x)=AsinI3%+-^4，C兀兀)4力兀7兀17[

=Asin---1--=Asin3XH---H---故應左移—.

I4412412

4.B

【解析】

按補集、交集定義，即可求解.

【詳解】

gA={l,3,5,6},={1,2,5,6),

所以CfA)n(，)={1，5,6}.

故選：B.

本題考查集合間的運算，屬于基礎題.

5.C

【解析】

設與6的中點為X,利用正方形和正方體的性質，結合線面垂直的判定定理可以證明出平面。CH，這樣可以

確定動點尸的軌跡，最后求出動點尸的軌跡的長度.

【詳解】

設用8的中點為〃，連接CH,DH,因此有而。CLVB,而DC,CHu平面CD8,DC^\CH=C,

因此有府，平面。CH，所以動點尸的軌跡平面。CH與正方體ABC。-aUGA的內切球。的交線.正方體

ABCD-的棱長為2,所以內切球。的半徑為R=l,建立如下圖所示的以D為坐標原點的空間直角坐標系:

因此有0(1,1,1),。(0,2,0),H(2,2,l),設平面。CH的法向量為正=(x,y,z),所以有

m±DCm-DC=02y=0_

_-二c^>m=(l,0,-2),因此。到平面。CH的距禺為:

m±DHm-DH=0[2x+2y+z=0

\mOD\.R_______9/?A仁

〃='一"==,所以截面圓的半徑為：r=,R2V2=包,因此動點P的軌跡的長度為2〃r=生)力.

m555

故選：C

本題考查了線面垂直的判定定理的應用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質，考查了空間想象能力和

數學運算能力.

6.A

【解析】

(\2tanx

根據向量的坐標運算，求出tanx,cos2x+-k——-~即可求解.

I2Jtanx+1

【詳解】

_-2

■_-a±b<=3sin%-2cos%=0,tan%=—

.c2sinxcosx

cos2xH———sin2x--------------—

I2Jsinx+cosx

2tan%_12

tan2x+113

故選:A.

本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數關系，屬于中檔題.

7.C

【解析】

設P&,%）,則4（—七,—%）,。（毛乂）,。,,一段］,設8（9,%），根據叢，依化簡得到3〃=

,得到

答案.

【詳解】

設P6,yJ,則4（一毛,一乂），0（%,—%）,PD=^PQ,則。,,一^|,設8（々,%），

江+日=1

則］;兩式相減得到:

%=二=—,鼬=心，即『宏，

%a%+y24玉%1+x2玉玉+%2

PA±PB,故kpA-kpB=-l,即—42=—1,故3a2=4。2,iie=—.

a22

故選：C.

本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

8.C

【解析】

假設若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.

【詳解】

解：若甲被錄用了，則甲的說法錯誤，乙，丙的說法正確，滿足題意,

若乙被錄用了，則甲、乙的說法錯誤，丙的說法正確，不符合題意，

若丙被錄用了，則乙、丙的說法錯誤，甲的說法正確，不符合題意，

綜上可得甲被錄用了，

故選：c.

本題考查了邏輯推理能力，屬基礎題.

9.B

【解析】

設拋物線焦點為尸，由題意利用拋物線的定義可得，當尸,M,尸共線時，取得最小值，由此求得答案.

【詳解】

解：拋物線焦點b(0,1),準線y=—l,

過M作肱V，/交/于點N,連接R0

由拋物線定義plW|=|MF|=d,

:.\MP\+d=|W|+|MF|>|PF|=747=4,

當且僅當尸,M,b三點共線時，取“=”號，

??.|叫+"的最小值為4.

故選:B.

本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現(xiàn)了數形結合的數學思想，屬于中檔題.

10.A

【解析】

r(i)=o

對函數/(尤)求導，可得，即可求出a,b，進而可求出答案.

J(D=2

【詳解】

7，(l)=3a+6=0

因為/(x)=ax3+3x2+6,所以=3ax2+6%,則<解得a=-2力=1,則a—/?=一3.

f(V)=a+3+b=2,

故選:A.

本題考查了函數的導數與極值，考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.

11.C

【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分

分配到3個不同的路口，根據分步計數原理可得選項.

【詳解】

把甲、乙兩名交警看作一個整體，5個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有C：

種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數原理，共有C＞團=36種方案。

故選：C.

本題主要考查排列與組合，常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.

12.A

【解析】

2

由已知先確定出雙曲線方程為/一4=1,再分別找到△耳尸耳為直角三角形的兩種情況，最后再結合

|所|—|正司=2即可解決.

【詳解】

由已知可得2a=2,-=2,所以a=l,c=21==/=石，從而雙曲線方程為

2

d-g=l,不妨設點尸在雙曲線C右支上運動，則歸耳|-歸閭=2,當忸團閭時，

此時|尸團2+］尸匐2=丑=（歸耳卜歸閭）2+2忸制尸段,所以歸制尸閭=6,

（|7蜀+|尸閶）2=怛4+「用2+2仍引產閶=28,所以歸制+2月|=2萬；

當附心軸時，附『=戶用2+6所以圈+歸局q=8,又△耳因為銳角三

角形，所以|PR+|P閭426,8）.

故選：A.

本題考查雙曲線的性質及其應用，本題的關鍵是找到△耳「鳥為銳角三角形的臨界情況，即△耳P月為直角三角形，

是一道中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

3

【解析】

依題意得5四甌9=2X2=4，再求點p到平面的距離為點A到直線BC的距離hp，用公式

所以Vp_BB1Gc=§SQBB]GCX'P即可得出答案.

【詳解】

解：正三棱柱A3C-A3iG的所有棱長均為2,

則Sn科「「=2x2=4

點P到平面的距離為點A到直線BC的距離

所以Vp-BBqC=§5皿09義與=丁4*百=:.

故答案為：延

3

本題考查椎體的體積公式,考查運算能力，是基礎題.

14.2

【解析】

--—.b

根據三角形中位線證得4?！?4，結合片3.月3=0判斷出A0垂直平分B居，由此求得一的值，結合02=4+〃求

一a

得￡的值.

a

【詳解】

???可=麗，???A為中點，AO//BF{,,:耶可=0,?,?A0垂直平分瓦"

**?^AOF=/AOB=/BOR=60°,即一=tan60°=8,b=y/3a，c1-3a2+a2=4a2，即e=—=2.

2aa

故答案為：2

本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.

15.-1

【解析】

利用奇函數的定義得出〃r)=-/(%)，結合對數的運算性質可求得實數a的值.

【詳解】

由于函數/(x)=In工為奇函數，則/(—x)=—/(x)，即InX［二一3工l=lnl-，

1-ax1+ax\-axx-1

一Y—11—(IX

.?.丁J二」^,整理得1—d=i—片/，解得Q=±1.

\+axx-1

當a=l時，真數=2二=—1,不合乎題意；

1-X

當a=—1時，/(x)=ln^,解不等式父〉0,解得x<—1或此時函數y=/(力的定義域為

(?,-l)U(l,+8),定義域關于原點對稱，合乎題意.

綜上所述，a--l.

故答案為：-1.

本題考查利用函數的奇偶性求參數，考查了函數奇偶性的定義和對數運算性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.

16.s/2,

【解析】

問題轉化為求直線/與圓V+y2=i有公共點時，a的取值范圍，利用數形結合思想能求出結果.

【詳解】

解：???直線/：尤-y+a=。，點4—1,0),8(1,0),

直線/上存在點尸滿足Q.麗=0,

二尸的軌跡方程是V+y2=1.

,如圖，直線/與圓必+/=1有公共點，

解得—

實數°的取值范圍為［-夜,拒］.

故答案為：［-行，后］.

本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化

思想、函數與方程思想，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）0.42；（2）72=200噸，理由見解析

【解析】

（1）設“A市場需求量為90,100,110噸”分別記為事件4，為，&，“3市場需求量為90,100,110噸”分別記為

事件與，由題可得（），（），（），⑻（）（罵），代入

B”B3,PAP4PAp,PB?,P

（）與+為），計算可得答案；

Px>200=P（A2B3+44

（2）X可取180,190,200,210,220,求出〃=190噸和〃=200噸時的期望，比較大小即可.

【詳解】

（1）設“A市場需求量為90,100,110噸”分別記為事件人,4,A3,“3市場需求量為90,100,110噸”分別記為

事件與，B2,B3,則

P（A）=0.2,P（A）=0.5,P（A）=0.3,

p（4）=0.1,尸（紇）=0.6,P（B3）=0.3,

P（X>200）=P（4回+A^B,+&居）

=尸（4）尸（四）+尸（4）尸（男）+尸（4）尸（四）

=0.5xO.3+0.3x0.6+0.3x0.3=0.42；

（2）X可取180,190,200,210,220,

P（X=180）=尸（A4）=0.2x01=0.02

尸（X=190）=尸（44+4與）=0.5X0.1+02x0.6=0.17

當〃=190時，E（r）=（180x5-10x2）x0.02+190x5x（1-0.02）=948.6

當〃=200時，￡(7)=(180x5-20x2)x0.02+(190x5-10x2)x0.17+200x5x(1-0.02-0.17)

=985.3.

?.?948.6<985.3,

.?.〃=200時，平均利潤大，所以下個銷售周期內生產量”=200噸.

本題考查離散型隨機變量的期望,是中檔題.

18.y=2siri2x.

【解析】

1

計算MN=,計算得到函數表達式.

0

【詳解】

1001

"：M=,N=2：.MN

020

01

1

xx-X

在矩陣MN變換下,—>2

2y

曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數解析式為y=2sin2x.

本題考查了矩陣變換，意在考查學生的計算能力.

19.（1）見解析；（2）[1—e,+8）.

【解析】

（1）對/（X）求導，令g（x）=e'—lnx+a—1,求導研究單調性，分析可得存在g<。<1使得g'"。）=。，即

e，0--^Q,即得證；

%

（2）分一+xo+（2-l..O,一+玉）兩種情況討論，當一十%o+a_L.0時，轉化

/Wmin=/（^o）=—+V+^0?利用均值不等式即得證；當,+%。一1<°,f\x）有兩個不同的零點演,

九0冗0

分析可得了（元）的最小值為了（尤2），分a?l—e,a<l—e討論即得解.

【詳解】

(1)由題意/'(%)="-ln%+〃一1,

令g(%)=靖一1口%+〃一1，貝!Jg'Cx)=e"，知g'(x)為(。,+8)的增函數,

%

因為g'(D=e—l>0,g］；)=G—2<0,

所以，存在使得/(務)：。，即點一；二。.

所以，當xe(O/o)時g'(x)<g'(/o)=O,g(以為減函數,

當X€(/(),+30)時g'(x)>g'Go)=0,g(x)為增函數，

故當x=fo時，g(x)取得最小值，也就是/‘(X)取得最小值.

m1cx1

故Xo=/o,于是有e°——=0,即*=一,

所以有l(wèi)n%o+%o=0,證畢.

11

(2)由(I)知，尸(%)=e*-ln%+o-l的最小值為一+玉)+。-1,

工0

1(\\

①當一+x0+6Z-1..0,即a.l——+x0時，/(%)為［%,+00)的增函數,

%)

所以/OOmin=/(%)="。一/111/+/。=工+/2+/。,

xo

12

?(?I?^()I

1一一十%+x0-l,

%7%

11

由(1)中一</<1,得---FXQ—1>1,即/(%)>1.

21冗0,

(1

故a.l-\-XQ滿足題意.

1f1A

②當一+%+〃一1<0,即〃<1------bxo時，/(X)有兩個不同的零點七，X2,

%lx0)

且演<%2，即/'(入2)=*一In%+Q—l=°nQ=ln%2—2電+1，

若1￡(%,%)時/'(%)</'(%2)=。，了(幻為減函數，(*)

若X￡(%2,+00)時/'O)>/'(%2)=°，/(X)為增函數，

所以f(x)的最小值為了(九2)?

注意到f(l)=e+a=l時，a=l-e,且此時/'(l)=e+a-l=。，

,,

(i)當a?l—e時，/(l)=e+a-1..0=/(x2),

所以0<與，1，BP1-%2>0,

=12=+x

又/(/)_%ln%2+ax2-x2Inx2+(lnx2-e+1)/2

-1)+1,

而涉一l>0,所以(1—%乂e^—+即"z)>i.

1一/1、(1

由于在一<豌)<1下，恒有---bx0<e,所以1一e<lF.

2IJI%,

,,

(ii)當a<l—e時，/(l)=e+a-l<0=/(x2),

所以%>1>x0,

所以由(*)知xe。,%)時，/(x)為減函數，

所以/(%)</(l)=e+a<l,不滿足時，恒成立，故舍去.

(1J

故1-e”a<l1-x0滿足條件.

I57

綜上所述：。的取值范圍是口-e,+s).

本題考查了函數與導數綜合，考查了利用導數研究函數的最值和不等式的恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉化劃

歸，分類討論，數學運算能力，屬于較難題.

22

20.(1)—+^=1；(2)見解析

54

【解析】

(1)由條件可得c=l,再根據離心率可求得。力，則可得橢圓方程；

(2)當與x軸垂直時，設直線的方程為：x=t^-s/5<t<s/5,t^0),與橢圓聯(lián)立求得的坐標，通過

OM、ON斜率之積為-，列方程可得t的值，進而可得△MON的面積；當與x軸不垂直時，設

N(x2,y2),MN的方程為、=辰+機，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和。0、ON斜率之積為-二可得

2加2=5尸+4,再利用弦長公式求出MN，以及。到MN的距離，通過三角形的面積公式求解.

【詳解】

(1)拋物線丁=4x的焦點為廠(1,0),

C=1,

A/5c75

?/e-——，.?.一=——，

5a5

b=2,

22

...橢圓方程為土+匕=1;

54

(2)(i)當肱V與x軸垂直時，設直線跖V的方程為：x=(-岔

45-t2_4

5-t2--5

,5

解得：/=一,

2

(ii)當與x軸不垂直時，設N(x2,y2),MN的方程為＞=履+〃?

y—kx+m

由<工2,2n（4+5左2）%2+1。^7nx+5冽2-20二。，

丁彳一

由A>0n5k2+4>①

10km5m2-20

西+々=—%1,%2=775^

4

?^OM'^-ON

5

.?.5乂%+4%逮2=0

*2

即（5人之+4）$+5.+x2）+5m=0

2

z2\5m-20j10km

（5C7左+4A）----------F5mk,+5m2=0

4?D/C4+5-

整理得：2m2=5k2+4

代入①得：加w0

2

\MN\=yjl+kJ（玉+々）2—4%1%2

m

。到MN的距離d=\\

Jl+下

S^MON=51MN|d

_275|m|V5A:2+4-m2

―4+5產

26|77i|12府-m2

一W

=V5

綜上：SAMON=逐為定恒?

本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題.

22

21.（1）?+:=1；⑵是，定點坐標為（7,0）或（1,0）

【解析】

（1）根據相切得到8=百，根據離心率得到a=2,得到橢圓方程.

（2）設直線的方程為x=/y+l,點3、C的坐標分別為（玉,％）,（9，%），聯(lián)立方程得到％+%=-石/，

9點N的坐標為（4,叵、

計算點M的坐標為,圓的方程可化為

%為=一川IZ+2J

(x-4)(x-4)+