指對(duì)方程與反函數(shù)講義- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

指對(duì)方程與反函數(shù)

1、理解指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程的概念，掌握簡(jiǎn)單的指對(duì)方程和解法

教學(xué)目標(biāo)2、理解反函數(shù)的概念，并能判定一個(gè)函數(shù)是否存在反函數(shù)；掌握求反函數(shù)的基本步驟，并能

理解原函數(shù)和反函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系

指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程的解法；理解函數(shù)與其反函數(shù)的圖像和性質(zhì)關(guān)系，能熟練求解已知函數(shù)

重點(diǎn)

的反函數(shù)

難點(diǎn)復(fù)雜的指對(duì)方程的解題思想；抽象函數(shù)反函數(shù)的應(yīng)用

(一)指對(duì)方程及其應(yīng)用

-知識(shí)梳理

1、基本概念：

(1)指數(shù)方程：在指數(shù)中含有未知數(shù)的方程叫指數(shù)方程.

(2)對(duì)數(shù)方程：對(duì)數(shù)的真數(shù)或底數(shù)中(或?qū)?shù)符號(hào)后面)含有未知數(shù)的方程叫對(duì)數(shù)方程.

2、解指數(shù)、對(duì)數(shù)方程的基本思想：化同底或換元.

3、方程類型及解法

(1)求解形如=朋"，log"/(x)=logag(x),涼")=例"，的方程；

方法：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及兩邊取對(duì)數(shù)的方法，把它們轉(zhuǎn)化為解一個(gè)可用初等方法來解

的代數(shù)方程.

x

具體如下：①a=c(?>0,?*0,c>0),其解為x=logac；

②〃⑴=ag(x\a>0,aw1),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程f(x)=g(x)求解；

@afM=Z?sW(a>0,a^l,Z?>0,Z?*l),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程/(x)lga=g(x)lgZ?求解;

④log。x=6(a〉0,awl),其解為無/；

f(x)=g(x)

⑤log。/(X)=logag(x)(a>0,awl)，轉(zhuǎn)化為，/(x)>0求解；

g(x)〉0

(2)求解形如/(優(yōu))=0,/(log〃x)=0的方程；

方法：通過換元，令丁=優(yōu)或y=log.x把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)可用初等方法解決的簡(jiǎn)單代數(shù)方程/(y)=0,然

后再解一個(gè)最簡(jiǎn)單的指數(shù)方程"=y(y>0)或?qū)?shù)方程log0x=y.

/X

【知識(shí)補(bǔ)充】在解對(duì)數(shù)方程時(shí)，常要應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形，通過恒等變形有時(shí)會(huì)造成增根或失

根，對(duì)此，應(yīng)注意，一是在變形過程中，注意變形后得到的方程是否與原方程同解，特別要注意變形過程中

所應(yīng)用的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，是否滿足性質(zhì)中的條件；二是要注意把求得的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).

\____________________________________________________________________/

(3)求解形如x+"=3或x+log.x=3的方程，在初等數(shù)學(xué)中只能用圖像法，即畫出函數(shù)y=0'或

y=log”x的圖像以及直線y=3-x,從函數(shù)圖像與這一直線有無交點(diǎn)來說明原方程是否有解.

,例題精講

【例1】解下列方程:

(2)方程2log,25—3log25x=1的解集為

(3)5>1=3,-1

【例2】設(shè)數(shù)列｛不〃｝滿足Ioga%+1=l+logaX〃(a>0,aWl),若％+々+…+Moo=10。，則

玉01+%02+???+%200=

【例3】(1)關(guān)于x的方程H9%—匕3川+6(左—5)=0在區(qū)間［0,2］上有解，求上的取值范圍.

(2)已知關(guān)于％的方程log2(%+3)-logd］?=〃的解在區(qū)間(3,8)內(nèi),則a的取值范圍是.

【例4】若方程4'+(m-3)?2%+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【例5】試確定方程x+旭乂=2的實(shí)根的個(gè)數(shù).

In----=tanx+2m

【例6】已知x,ye,g),根￡尺且加。0,若＜:+x.，貝』_________

2tan：-2mx

1+y1—tany

■【例7】已4叱.「m++2/?！熬侥?2m4+6)=11，則-…--------------

【例8】若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)%,使得了(%+1)=/(%)+/(1)成立，則稱函數(shù)/(無)有“漂移點(diǎn)”.

(1)用零點(diǎn)存在定理證明：函數(shù)/(無)=/+2、'在［0,1］上有“漂移點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)g(尤)=/g(=L)在(0,+oo)上有“漂移點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

X+1

x

【例9】己知/(%)=log4(4+l)+^eR)是偶函數(shù),

(1)求左的值；

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)。，證明：函數(shù)y=/(x)的圖像與直線y=最多只有一個(gè)交點(diǎn)；

4

(3)設(shè)g(%)=log402%-§a),若函數(shù)/(%)與g(%)的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

*鞏固訓(xùn)練

1、畫出函數(shù)y=|3'—1|的圖像，并利用圖像回答：當(dāng)％為何值時(shí)，方程|3*—1|=左無解？有一解？有兩

解？

2、已知關(guān)于x的方程32x+1+(m-l)(3x+13)3、=0(meR).

(1)當(dāng)777=4時(shí)，解此方程；

(2)若方程在區(qū)間(l,log34)上有唯一的實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍.

3、已知a>0,awl,試求使方程：2k>g°左)=loga(尤2—片)有解的左的取值范圍.

4、(1)若關(guān)于x的方程9'+(。+4>3工+4=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)實(shí)數(shù)。取何值時(shí)，方程lg(x—l)+lg(3—x)=lg(l—ax)有一解，兩解，無解；

(3)已知不等式lg(20-5/)>lg(a-x)+l的整數(shù)解只有1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5、若關(guān)于x的方程lg(ax)1g(62)=4的所有解都大于1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(二)反函數(shù)及其應(yīng)用

-知識(shí)梳理

1、反函數(shù)的表達(dá)形式：r'(x)

2、反函數(shù)存在的條件：從定義域到值域上的一一對(duì)應(yīng)確定的函數(shù)才有反函數(shù);

3、定義域、值域：反函數(shù)的定義域、值域上分別是原函數(shù)的值域、定義域，若y=/(x)與y=/T(x)互

為反函數(shù)，函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳、值域?yàn)?,則/"T(x)]=x(xe3),=x(xeA)；

4、單調(diào)性、圖象：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性，它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱.

5、求反函數(shù)的一般方法：

(1)由y=/(x)解出x=/T(y)；

(2)將x=/T(y)中的互換位置，得y=/T(x)；

(3)求y=/(x)的值域得y=f~\x)的定義域.

/例題精講

【例10】已知函數(shù)/(x)=(x-a)|x|存在反函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=

【例11](1)已知/(%)=<

,(-1<%<0)

(2)函數(shù)/(二)=2(xw0),求尸申；

【例12](1)設(shè)/(x)=個(gè)j，、=8(幻的圖像與丁=/1(彳+1)的圖像關(guān)于直線,=%對(duì)稱，則

g(U)=；

(2)設(shè)定義域?yàn)??的函數(shù)/(x),g(x)都有反函數(shù)，并且函數(shù)/(x+1)和gi(x-2)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)

稱，若g(5)=2005,那么〃6)=.

【例12](1)已知函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，/(x)=log2(x+l).若函數(shù)y=g(x)是y=/(x)的

反函數(shù)，則g(-3)=.

(2)設(shè)/T(x)為—生cosx+工，XG(O,淚的反函數(shù)，則y=/(尤)+/T(x)的最大值為________.

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【例13]已知再是函數(shù)/(%)=jdog21―2020的一個(gè)零點(diǎn)，/是函數(shù)/(%)=無々"一？。?。的一個(gè)零點(diǎn)，

則為?42的值為()

A.4040B.20202C.2020D.1

【例14】對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g(x),記g(/)={y|y=g(x),xw/},已知定義域?yàn)閇0,3]的函數(shù)

丁=/(%)有反函數(shù)丁=/一|(%)，且尸(。1))=[1,2),ri((2,4])=[0,l),若方程/(%)—%=0有解%,則

/-------

【例15】已知函數(shù)f(x)=dax+2(a<0),其反函數(shù)為了一上工)

(1)若點(diǎn)尸(6,-1)在反函數(shù)/T(X)的圖像上，求。的值

(2)如果點(diǎn)(m,n)(mn)是函數(shù)f(x)=4ax+2{a<0)與其反函數(shù)/~'(x)圖像上的公共點(diǎn)，求。的取值

范圍

、/鞏固訓(xùn)練

2、’x<°的反函數(shù)是廣1。)，則廣|"-(2)]=

1、已知函數(shù)/(x)=

2x+1,x.0

2、定義在(0,+oo)上的函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)為>=廣匕)，若g(x)=,一，蒼，°為奇函數(shù)，則尸(龍)=2的

f(x),x>0

解為__________

3、己知函數(shù)y=/(無)存在反函數(shù)y=尸⑴，若函數(shù)y=f(x)+2'的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,6),則函數(shù)

y=f~\x)+log2龍的圖象必經(jīng)過點(diǎn).

4、己知函數(shù)/(x)=/g(x+l),g(尤)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)噴1k1時(shí)，有g(shù)(x)=/(x),則函數(shù)

y=g(x)(xe[1,2])的反函數(shù)是y=.

5、已知函數(shù)/(x)=優(yōu)(a>。且a/1)滿足/(2)>/⑶，若y=廣十的是y=/(%)的反函數(shù)，則關(guān)于x的

不等式廠'(1--)>1的解集是

6、已知函數(shù)彳尤2-從，(*“，。>0,6>o)與其反函數(shù)有交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.a=bB.a<bC.a>bD.a與6的大小關(guān)系不確定

7、設(shè)(Z,6分別是關(guān)于x的方程log2(x-l)+x-5=0和2*+x-4=0的根，則。+/=

8、給出下列命題：

(1)若奇函數(shù)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)也是奇函數(shù)；

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,加上存在反函數(shù)的充要條件是在區(qū)間[a,口上是單調(diào)函數(shù)；

(3)函數(shù)/(X)在定義域。上的反函數(shù)為f\x),則對(duì)于任意的/e。都有/(/T(/))=/-(/(%))=%

成立；

其中正確的命題為()

A.(1)B.(1)(2)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)

實(shí)戰(zhàn)演練

一、填空題

1、已知/(x)=4-Jx+1),貝1J(1)的值等于

2、方程logjx-3）+log2（x+4）=3的解為.

3、已知函數(shù)/（工卜？、—a2、的反函數(shù)是7'T（x）,/T（X）在定義域上是奇函數(shù)，則正實(shí)數(shù)。=

4、方程log3（3*-1）?log313'T_「=2的解集為。

5、如果函數(shù)/（x）=|lg|3x-1||在定義域的某個(gè)子區(qū)間（左-1■+1）上不存在反函數(shù)，則人的取值范圍是

6、函數(shù)/（x）=f,的值域是｛1,4,9｝且函數(shù)/（%）存在反函數(shù),這樣的/（%）共有個(gè).

二、選擇題

7、關(guān)于x的方程（；/+。-2=0有解，則。的取值范圍是（）

A.0<6Z<1B.\<a<2C.a>\D.a>2

8、已知函數(shù)y（x）=±L的反函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（-1,3）,則實(shí)數(shù)。的值是（）

x—a—1

A.2B.3C.-3D.-4

9、已知/gx