2022-2023學(xué)年北京朝陽區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2022北京朝陽高三（上）期中數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120分鐘150分）本試卷分為選擇題分和非選擇題分第一部分（選擇題共分）一、選擇題共題，每題440分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知復(fù)數(shù)z=i(2?i)，則|z|=（A）3（）5（）3（D）5（2）已知集合A={0,1,2}，B={xN|0x3}，則A（A）{0,1}（）{1,2}（）{0,1,2}（D）{0,1,2,3}（3）下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減的是（A）y=log2x（）b”是“3ab”的y=2?x（）y=x+1（D）y=x3（4a0（A）充分而不必要條件（）必要而不充分條件（）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（5）已知球O的半徑為2,球心到平面的距離為3,則球O被平面截得的截面面積為（A）π（）πB（）3πCD）2π（6）在平面直角坐標(biāo)系xOy的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)OxπP(4,3)，則+)的值為417（A）?7f(x)（）?（）1g(x)=f(2x)+x2（D）7f(2)=2f(?2)=（7）已知為定義在R上的函數(shù)，2，且為奇函數(shù)，則（A）4?（）（）0C（）2D（8）如圖，在四棱錐P?中，1，其余的六條棱長均為2，則該四棱錐的體積為==11P（A）（）（）（D）6136113DAC133B第（）題（9是邊長為2D在線段上，=2E在線段CD△CAE與△CDB的面積相等，則的值為23131323（A）?（）?（）（D）（10）現(xiàn)實(shí)生活中，空曠田野間兩根電線桿之間的電線與峽谷上空橫跨深澗的觀光索道的鋼索有相似的曲線形態(tài)，這類曲線在數(shù)學(xué)上常被稱為懸鏈線．在合適的坐標(biāo)系中，這類曲線可用函數(shù)ae2x+bf(x)=(ab0,e=2.71828來表示．下列結(jié)論正確的是exAab0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)（）若ab0，則函數(shù)f(x)有最小值Cab0，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)（）若ab0，則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)第二部分（非選擇題共二、填空題共5題，每題5分，共1x+1（）函數(shù)f(x)=x+2+的定義域是．（12）已知向量a=(1,m)，b=(2,1)，且a⊥b，則m=．π（13）將函數(shù)f(x)=x+)(0)的圖象向左平移π個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則6g(?π)=g(x)為偶函數(shù)，則的最小值是．x,x≥1,f(x)=aRa=0f(x)（14）已知函數(shù)其中．若，則函數(shù)的值域是；若函數(shù)(x+a)2,x1,y=f(x)?1a有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.11（15）已知{a}是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S，且+=（nN*nnnSn論：①S+S2S；132②a+a2a；1321③對(duì)任意的nN*，都有an1+；n④存在常數(shù)A1，使得對(duì)任意的nN*aA，都有．n其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（1613已知函數(shù)f(x)sin2x2cosx．=?2（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及值域；（Ⅱ）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．（1715?ABCABBAABBA⊥平面ACCA，2，=AA1=4，111111111D，E分別是BC，AB的中點(diǎn)．11B1E（Ⅰ）求證：DE//平面ACCA；11（Ⅱ）若側(cè)面ACCA是正方形，11D1（?。┣笞C：AC⊥；A11（ⅱ）求直線AC與平面所成角的正弦值．11C1（1813π在△a=2B=△6存在且唯一，并求（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）△的面積．條件①：b=1；14條件②：b=2；條件③：A=．4注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（1914已知公差大于0的等差數(shù)列{n}滿足2512，+=aa=35S{a}的前n項(xiàng)和．n，為數(shù)列34n（Ⅰ）求{n}的通項(xiàng)公式；N（Ⅱ）若S，a，a(m,i)成等比數(shù)列，求m，i的值．m2i（2015已知函數(shù)f(x)=ex+asinx?1(aR)．(0,f(0))處的切線方程；y=f(x)（Ⅰ）求曲線（Ⅱ）若函數(shù)在點(diǎn)f(x)x=0a處取得極小值，求的值；在mx(0,m)f(x)0a，求的取值范圍．（Ⅲ）若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有（2115已知集合A{1,2,3,=（N，≥WAn，若W中元素的個(gè)數(shù)為m≥），且存在，uvuu+v=2k(kN)，則稱W是A的P(m)子集．P（Ⅰ）若n4，寫出A的所有=子集；（Ⅱ）若W為A的P(m)子集，且對(duì)任意的，st（s），存在kN，使得s+t=2k，求的值；m（Ⅲ）若n20，且A的任意一個(gè)元素個(gè)數(shù)為的子集都是A的=mP(m)子集，求的最小值．m參考答案一、選擇題（共10小題，每小題440分）（1B（6D（2C（7A（3B（8C（4A（9C（A（D二、填空題（共5小題，每小題525分）356（）[2,?（14）[0,+))（）213）2(?2,0]15）①②③三、解答題（共6小題，共85分）（16共13解：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)=sin2x?cos2x?1π=2sin(2x?)?1，42π所以f(x)的最小正周期T==π．2ππ由?≤sin(2x?)1，得?2?≤2sin(2x?)?≤2?1．44πππ當(dāng)2x?=2π+(kZ)，即x=π+(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值；428πππ當(dāng)2x?=2π?(kZ)，即x=π?(kZ)時(shí)，f(x)取得最小值．428所以f(x)的值域?yàn)閇?2?1,2?1]．……………8分ππ（Ⅱ）函數(shù)ysinx的單調(diào)遞增區(qū)間為=[2kπ?,2kπ+](kZ)．22πππ由2kπ?≤2x?≤2kπ+(kZ)，242π3π得kπ?≤x≤kπ+(kZ)．88π3π所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?,kπ+](kZ)．88……………13分（17共15解：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)F，連接，1F．因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，B11所以DF//BA，且DF=BA．E2D又因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，111A12所以EA1//BA，且EA=BA．F1C1所以EA1//，且EADF．=1所以四邊形1E是平行四邊形．所以DE//FA1．又因?yàn)镈E平面ACCA，F(xiàn)A平面ACCA，11111所以DE//平面ACCA．11……………5分（Ⅱ）因?yàn)閭?cè)面A為矩形，所以BAAA1．⊥11又因?yàn)槠矫?A1⊥平面，1A1z且平面1A平面1AAA1，=1B11所以平面所以BA⊥AC．因?yàn)閭?cè)面ACCA是正方形，⊥1A．E1D1AyF11所以ACAA1．⊥C1x如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則，D(2,，E，A(0,0)，C(4,0)．11所以=(2,，=，AC=(4,0)．11（ⅰ）因?yàn)锳C=0，所以AC1⊥AE．111（ⅱ）設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)，n+z=2x即則n=4y+z=0.令z4，則=x=?2y=?1，n=(??4)．于是．設(shè)直線AC與平面所成角為，11|n|(4,0)(4)|221則sin===．|AC||n|4212111221所以直線AC與平面所成角的正弦值為．11……………15分（18共13解：選擇條件②：b=2．a(chǎn)basinB（Ⅰ）由正弦定理=，得sinA=．sinAsinBbπ2又因?yàn)閍=2，B=，b=2，所以sinA=．64在△ABC中，因?yàn)閍b，所以0ABπ，π144故0A，A=1sinA=?2．2所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB23144126+14==+==．428acasinCsinA6+14因?yàn)椋詂=．……………9分……………13分sinAsinC2116+14123+7（Ⅱ）△ABC=acsinB=2=．2224選擇條件③：A=．42（Ⅰ）因?yàn)?Aπ，所以sinA=1cosA?2=．46+14故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=．8acasinCsinA6+14===又因?yàn)?，a=2，所以c．sinAsinC2……………9分116+14123+7（Ⅱ）△ABC=acsinB=2=．2224……………13分（19共14解{n}的公差為d，d0.因?yàn)?512，所以+=a+a=12．34又因?yàn)?435，d0，=所以3=5，a=74．故d=2，a=11．所以n1(nd2n1(n=+?=?N).……………7分n(a+a)（Ⅱ）因?yàn)閚2n1，所以=?S=n1n=n2.2因?yàn)镾，a，a成等比數(shù)列，m2i所以Smi=a22，即m2(2i?=9．而m,iN，所以m=1，2i?1=9；或m=3，2i?1=1．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．i=5所以m=1，；或m=3，i=1．……………14分（20共15解f(x)=ex+asinx1(a?R)，得f(x)=e+ax．xf(0)=0=+f(0)1a，又，y=f(x)(0,f(0))yf(0)=f(0)(x?0)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為y=+a)x即．……………4分=?f(0)0，則a=?1．f(x)=e?x．（Ⅱ）由題意知此時(shí)f(x)=exsinx1，則?x當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)=ex?x1?x≥，0+)上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間=g(x)=ex+sinx．g(x)f(x)設(shè)設(shè)，則(x)=g(x)，則(x)excosx．=+π因?yàn)楫?dāng)x(,0)時(shí)，?(x)0，2π?g(x)(,0)所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．2ππππ???10，?又g(=+?=g(0)=10，)e2sin()e222π故存在0(?,0)，使g(0)=0．2所以當(dāng)x(0,0)時(shí)，g(x)0．g(x)(0,0)所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．g(x)g(0)=0f(x)0，即當(dāng)x(0,0)時(shí)，，即f(x)(0,0)上單調(diào)遞減．所以在區(qū)間f(x)x=0故函數(shù)在處取得極小值．所以a=?1．……………10分?sinx?1．π（Ⅲ）①若a≥?，當(dāng)1x(0,)時(shí)，sinx0，所以f(x)ex≥2y=exsin?x?在區(qū)間+)上單調(diào)遞增，1由（Ⅱ）已證，所以所以ex?sinx?1e0?sin0?1=0．πf(x)0在區(qū)間)上恒成立．2mx(0,m)f(x)0，都有，此時(shí)不存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的所以a≥?1不合題意．②若a?1，f(x)=ex+ax，設(shè)h(x)f(x)=h(x)=ex?asinx，則．π當(dāng)x(0,)時(shí)，h(x)exasinxexsinx0，=?+2πf(x))上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間2πππf(0)=1+a0f(m)=0．=m(0,)而，f()e20，故存在，使22x(0,m)x(0,m)f(x)0，即f(x)m)在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，f(x)f(0)=0．所以a?1符合題意．(,a綜上，的取值范圍是．……………15分（21共15解：（Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，A=2,3,4}，A的所有P子集為2,3}{1,3,4}，．……………4分（Ⅱ）當(dāng)n≥3時(shí)，取W=3}，因?yàn)?+3=22，所以W是A的P(2)子集，此時(shí)m=2．若m≥3，設(shè)a，a，aW且≤aaa．312312依題意，1+2=2k，a+a=2k，a+a=2k,其中k，k，kN．1323123123因?yàn)閍+aa+aa+a，所以2kk22k．123121323所以kkk．123又因?yàn)閗，k，kN3，12所以k≥k+1．32因?yàn)?(12a)++=2k+k+k3，2212312++=(2k+k+22)k．所以123123121=(2k+k+22)k?2k=(2k+k?2k2)．3所以11233122k3因?yàn)?所以2k+kk+k=k12，222212222k+k?k0．22123所以a0，與a≥1矛盾．11綜上，m=2．……………9分（Ⅲ）設(shè)A{20,12}，=A={19,13}A={18,14}A={17,15}A={11,5}A={10,6}，，，，，234561A={9,7}，A={1,3}，B={2}，B={4}，B={8}，B={16}．781234m設(shè)W的元素個(gè)數(shù)為．若W不