北京市朝陽區(qū)17中2016-2017學(xué)年高二下期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

20162017北京朝陽17中高二下期中一、選擇題：本大題共8題，每題4分，共32分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列結(jié)論正確的是（）A.若，B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】對(duì)于，若，則，故項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，故項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，故項(xiàng)正確；對(duì)于，若，則，故項(xiàng)錯(cuò)誤，故選．2.計(jì)算（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，故選．3.函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極大值點(diǎn)（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)【答案】B【解析】如圖，不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分別為，，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，由此可知，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極大值點(diǎn)，分別是當(dāng)時(shí)和時(shí)函數(shù)取得極大值，故選B.4.作反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）A.假設(shè)，，都是偶數(shù)B.假設(shè)，，都不是偶數(shù)C.假設(shè)，，中至多有一個(gè)是偶數(shù)D.假設(shè)，，中至多有兩個(gè)是偶數(shù)【答案】B【解析】用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)要證的命題的否定成立，“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”，所以先假設(shè)，，都不是偶數(shù)．本題選擇B選項(xiàng).5.設(shè)函數(shù)，則在其定義域內(nèi)（）A.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)【答案】A【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)及均值不等式由得；令得，此為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，故函數(shù)不單調(diào)，所以C，D均錯(cuò).因?yàn)?，所以，則且由均值不等式定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立則所以即此函數(shù)有最大值，所以正確答案為A6.設(shè)為曲線上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，得，由曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為可知，曲線在點(diǎn)處切線的斜率的取值范圍為，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，解得，即點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為，故選．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及已知傾斜角范圍求斜率的范圍，屬于中檔題.要解答本題，首先必須掌握在曲線上某點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)就是該點(diǎn)處的切線斜率，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由傾斜角正切值的范圍求得切線斜率的范圍，也就是導(dǎo)函數(shù)的范圍，從而可列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的不等式，解不等式即可得結(jié)果.7.已知不等式對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】若不等式對(duì)于任意的恒成立，則對(duì)于任意的恒成立，∵當(dāng)時(shí)，，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選．8.如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】試題分析：五角星向上升起的時(shí)候，首先面積緩慢提升，然后突然變大，但是面積提升的速度變換，然后稍微面積提升速度又變快一點(diǎn)，最后面積提升速度變慢．有以上分析過程可知，A選項(xiàng)正確．考點(diǎn)：函數(shù)圖象與性質(zhì)．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在題中橫線上．9.由直線，，曲線及軸所轉(zhuǎn)成的圖形面積為（計(jì)算出結(jié)果）__________．【答案】【解析】由定積分的幾何意義可知，由直線，，曲線以及軸所圍成的圖形面積，故答案為.10.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為__________．【答案】【解析】∵曲線在點(diǎn)處的切線斜率，∴，又，∴，故曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，故答案為.11.類比平面幾何中的命題：“垂直于同一直線的兩條直線平行”，在立體幾何中，可以得到命題“__________”，這個(gè)類比命題的真假性是__________．【答案】(1).垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行(2).假命題【解析】在由平面圖形的性質(zhì)向空間圖形的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，我們常由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，故由平面幾何中的命題：“垂直于同一直線的兩條直線平行”我們可以推斷在立體幾何中：“垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行”．該命題是一個(gè)假命題，故答案為(1)垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行；(2)假命題.12.已知函數(shù)在處有極大值，則的值為__________．【答案】【解析】由得，∵在處取得極大值，∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，得或，令得，∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴在處取得極小值，故不滿足題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴在處取得取大值，符合題意．綜上所述，．故答案為.13.圖、、、分別包含個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方法構(gòu)造圖形，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)“福娃迎迎”，則__________；__________（答案用數(shù)字或解析式表示）．【答案】(1).(2).【解析】根據(jù)題意可得，，，，．∴，，，，，，，,故答案為(1),(2).【方法點(diǎn)睛】本題通過觀察幾組圖形，歸納出一般規(guī)律來考查累加法及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.14.已知函數(shù)、分別是二次函數(shù)和三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，它們在同一坐標(biāo)系下的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是__________．【答案】【解析】二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是一次函數(shù)，三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，∵一次函數(shù)過點(diǎn)，，∴，，∵二次函數(shù)過點(diǎn)，，，∴，∴，∴，記為常數(shù)，則，，，∴，故答案為．三、解答題：本大題共4小題，共44分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若在區(qū)間上的最大值為，求它在該區(qū)間上的最小值．【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；（2）.【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（）可知，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，比較.的大小可得在區(qū)間的最大值為，從而可得得，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（）由得，令，即，解得或，令，即，解得，∴的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．（）由（）可知，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，∴在區(qū)間的最大值為，∴，解得，∴在區(qū)間上的最小為．16.在數(shù)列中，，，，，．（）計(jì)算，，的值．（）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．【答案】（1），，；（2），證明見解析.【解析】試題分析：（1）由，利用，可依次求得，，的值，求解過程注意避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤；（2）根據(jù)（1）中所得，，的值，找出共同規(guī)律，可猜測：，先驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，等式成立，然后假設(shè)時(shí)，，只需證明當(dāng)時(shí)，即可證明猜想正確.試題解析：（）∵，，∴，，．（）由（）可猜想：，證明：當(dāng)時(shí)，，等式成立，假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式也成立，綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)，．17.設(shè)函數(shù)，．（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無極值，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為．【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值點(diǎn).試題解析：（）當(dāng)時(shí)，，，∴，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（）由得，當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時(shí)，令得或，令，得，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時(shí)取得極大值，，在時(shí)取得極小值，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無極值，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.18.設(shè)函數(shù)，其中．（）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．（）求函數(shù)的極值．（）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值，當(dāng)時(shí)，的極大值為，無極小值；（3）.試