人教版八年級數(shù)學上冊重難考點專題01與三角形有關(guān)的線段(知識串講+10大考點)特訓(原卷版+解析)

專題01與三角形有關(guān)的線段考點類型知識串講（一）三角形的概念三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形特性三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。（二）三角形的分類三角形按邊的關(guān)系分類如下：三角形按角的關(guān)系分類如下：（三）三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性

四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性

要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了。（四）三角形的三邊關(guān)系三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊（1）三角形三邊長分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。（2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b

（五）三角形的相關(guān)線段（1）①高線概念：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。②高線性質(zhì)：利用兩個銳角互余（等量代換）；利用等面積法求線段長度（2）①中線概念：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線。②中線性質(zhì)：線段中點性質(zhì)求線段相等；三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個小三角形（3）①角平分線概念：三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線②角平分線性質(zhì)：角度相等求解角度考點訓練考點1：三角形的識別與相關(guān)概念典例1：（2022秋·山東濟寧·八年級?？茧A段練習）如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，則在△ABC中，∠C所對的邊是_____；在△ACD中，∠C所對的邊是_____．【變式1】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在△BCE中，邊BE所對的角是________，∠CBE所對的邊是________；在△AEC中，邊AE所對的角是________，∠A為內(nèi)角的三角形是________．【變式2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，頂點是A、B、C的三角形，記作___________，讀作___________．其中，頂點A所對的邊為___________還可用___________表示；頂點B所對的邊為___________還可用___________表示；頂點C所對的邊為___________還可用___________表示．【變式3】（2021·八年級課前預習）由不在同一直線上的三條線段_______________所組成的圖形叫做三角形．如圖，線段_______、______、______是三角形的邊．三角形的邊有時也用小寫字母abc來表示，a＝________、b＝________、c＝________，點A、點B、點C是三角形的_______，________、______、________是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角．圖中三角形記作_______．考點2：三角形的個數(shù)問題典例2：（2022·全國·八年級專題練習）觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有________個三角形，圖②中共有________個三角形，圖③中共有________個三角形．（2）由以上規(guī)律進行猜想，第n個圖形共有________個三角形．【變式1】（2021秋·江西宜春·八年級上高中學?？计谥校┤鐖D，以∠B為內(nèi)角的三角形有_______個【變式2】（2022秋·八年級課時練習）已知：如圖，試回答下列問題：（1）圖中有_______個三角形，其中直角三角形是______．（2）以線段AC為公共邊的三角形是___________．（3）線段CD所在的三角形是_______，BD邊所對的角是________．（4）△ABC、△ACD、△ADE這三個三角形的面積之比等于_______．【變式3】（2020秋·江西上饒·八年級?？茧A段練習）北京冬季奧運會吉祥物冰墩墩落在n個三角形內(nèi)，則n的值為________．考點3：三角形的分類典例3：（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，那么△ABC是______三角形．（填“銳角”、“鈍角”或“直角”）【變式1】（2022秋·八年級課時練習）在ΔABC中，若∠A:∠B:∠C=3:5:7，則該三角形是_________三角形．（填“銳角”“直角”或“鈍角”）【變式2】（2022秋·八年級課時練習）已知a，b，c為三個正整數(shù)，如果a+b+c=12，那么以a，b，c為邊能組成的三角形是：①等腰三角形，②等邊三角形，③直角三角形，④鈍角三角形.以上結(jié)論正確的是______.（只填序號）【變式3】（2020·全國·七年級假期作業(yè)）觀察圖中的三角形，把它們的標號填入相應(yīng)橫線上．銳角三角形_______，直角三角形________，鈍角三角形________．考點4：三角形的三邊關(guān)系典例4：（2021秋·甘肅武威·八年級校考階段練習）若a，b，c是△ABC的三邊的長，則化簡|a?b?c|+|b?c?a|+|a+b?c|=________．【變式1】（2023春·七年級課時練習）若等腰三角形的兩邊的長分別是5cm、7cm，則它的周長為___________【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習）已知三角形三邊長分別為2，9，x，若x為偶數(shù)，則這樣的三角形有___________個．【變式3】（2022秋·廣東廣州·八年級校考階段練習）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a，b滿足(a?1)2+b?2考點5：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用典例5：（2022秋·浙江·八年級專題練習）一個三角形的三邊長均為整數(shù)．已知其中兩邊長為3和5，第三邊長x是不等式組x?1?2【變式1】（2022秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）邊長為1的小正方形組成如圖所示的6×6網(wǎng)格，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H都在格點上．其中到四邊形ABCD四個頂點距離之和最小的點是_________．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）如圖，加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)，A到MN的距離大于B到MN的距離，AB=700米．一個行人P在馬路MN上行走，當P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于______米．【變式3】（2021秋·黑龍江佳木斯·八年級校聯(lián)考期中）如圖，填空：由三角形兩邊的和大于第三邊，得AB+AD>____________，PD+CD>____________．將不等式左邊?右邊分別相加，得AB+AD+PD+CD>__________，即AB+AC>_________________．考點6：與三角形高線有關(guān)的計算問題典例6：（2023春·江蘇鹽城·七年級濱?？h第一初級中學校考期中）如圖，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EFBC于點F．若S△ABC=24，BD4，則【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，△ADF中，點B，C分別在AD，AF上，DC與BF交于點E，若DE:CE=2:1，S△DEF=6，S△DBE=4，則【變式2】（2022秋·福建廈門·八年級廈門市檳榔中學?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D點，AE平分∠BAC交BC于點E．若∠C=26°，則∠DAE的度數(shù)為___________．【變式3】（2023秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC邊上的任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F.若S△ABC=2考點7：三角形穩(wěn)定性典例7：（2022秋·云南昆明·八年級云大附中?？计谥校╇S著人們物質(zhì)生活的提高，手機成為一種生活中不可缺少的東西，手機很方便攜帶，但唯一的缺點就是沒有固定的支點．為了解決這一問題，某工廠研制生產(chǎn)了一種如圖所示的手機支架．把手機放在上面就可以方便地使用手機，這是利用了三角形的______.【變式1】（2022秋·八年級課時練習）如圖所示，要使一個六邊形木架在同一平面內(nèi)不變形，至少還要再釘上_____根木條．【變式2】（2019·全國·八年級統(tǒng)考假期作業(yè)）下列圖中哪些具有穩(wěn)定性？________．【變式3】（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，學校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學原理是利用了三角形的_____（選填“穩(wěn)定性”或“不穩(wěn)定性”）．考點8：與三角形角平分線有關(guān)的計算問題典例8：（2023春·七年級課時練習）如圖所示，△ABC的兩條角平分線相交于點D，過點D作EF∥BC，交AB于點E，交AC于點F，若△AEF的周長為30cm，則AB+AC=【變式1】（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）如圖，（1）若AM是△ABC的中線，BC=12cm，則BM=CM=______cm；（2）若AD是△ABC的角平分線，則∠BAD=∠DAC=______；若∠BAC=106°，則∠DAC=______；（3）若AH是△ABC的高，則△ABH是______三角形．【變式2】（2022春·山東菏澤·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在△ABC中，∠1=∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列說法：①線段AG是△ABE的角平分線；②線段AE是△ABG的邊BG上的高；③BG是△ABD的中線；④△ABG與△DBG的面積相等；⑤∠1+∠ACF=90°．其中正確的有______（填序號）．【變式3】（2020秋·八年級課時練習）△ABC中，D為BC邊上任意一點，DE、DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，連接EF，則△DEF的形狀為_________．考點9：與三角形中線有關(guān)的周長、面積問題典例9：（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長為12，則△BCD的周長是_____．【變式1】（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，S△ABD=S△ACD，已知AB=8cm，AC=5【變式2】（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BE是△ABC的中線，點D是BC邊上一點，BD＝2CD，BE、AD交于點F，若△ABC的面積為24，則S△BDF﹣S△AEF等于_____．【變式3】（2022春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考期中）已知在ΔABC中，已知點D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，且SΔBEF=4cm考點10：利用網(wǎng)格求三角形的面積典例10：（2023秋·福建龍巖·八年級?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格，A、B、C、D是網(wǎng)格線交點，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABC______S△ABD．填“>”、“=”或“【變式1】（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC與△DEF都是是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），那么△ABC與△DEF的面積比為__________．【變式2】（遼寧省部分學校2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）已知點A2，2，B5，【變式3】（2022春·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，大長方形是由9個完全相同的小長方形組成，已知小長方形的長，寬分別為a，b，則圖中連接三個格點圍成的陰影部分圖形的面積是______．（用a，b的代數(shù)式表示）同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·全國·八年級階段練習）如圖，線段BD是△ABC高的圖形是（

）A． B．C． D．2．（2022春·云南保山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB⊥BC于點B，AC⊥CD于點C，連接AD．若AD＝8，BC＝6，則AC的長可能為（

）．A．5 B．6 C．7 D．93．（2022秋·江蘇·八年級階段練習）下列說法中，正確的個數(shù)有（

）①三角形具有穩(wěn)定性；②如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；③三角形的角平分線是射線；④直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到直線的距離；⑤任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線；⑥三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內(nèi)；A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·七年級課時練習）圖中，以DE為邊的三角形有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）下列各圖中，正確畫出△ABC中AC邊上的高的是（

）A．① B．② C．③ D．④6．（2022秋·廣東珠海·八年級?？计谥校┤鐖D，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD，AC上的中點，若S陰影的面積為3，則△ABC的面積是（）A．5 B．6 C．7 D．87．（2022春·福建漳州·七年級漳州實驗中學?？茧A段練習）如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點，則下列說法不正確的是（）A．DE是△BCD的中線B．BD是△ABC的中線C．AD=DC，BE=ECD．DE是△ABC的中線8．（2022秋·八年級課時練習）如圖，有下列說法：①若∠1=∠3，AD//BC，則BD是∠ABC的平分線；②若AD//BC，則∠1=∠2=∠3；③若∠1=∠3，則AD//BC；④若∠C+∠3+∠4=180°，則其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．49．（2023春·全國·八年級專題練習）若a、b、c為三角形的三條邊，則(a+bA．2b-2c B．2a C．2(a+10．（2022春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，D是AB中點，E是BC邊上一點，且BE＝4EC，CD與AE交于點F，連接BF．若四邊形BEFD的面積是14，則△ABC的面積是（

）A．28 B．32 C．30 D．29二、填空題11．（2023春·山東棗莊·七年級校聯(lián)考階段練習）超重機的底座、輸電線路的支架、自行車的斜支架等，都是采用三角形結(jié)構(gòu)，這樣做的數(shù)學道理是利用了______________．12．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，∠CBD=∠E=∠F=90°，則線段______是△ABC中BC邊上的高．13．（2023·全國·八年級專題練習）已知三角形的三邊長均為偶數(shù)，其中兩邊長分別為6和8，則第三邊長為________．14．（2021秋·四川資陽·九年級四川省安岳中學校考期中）在△ABC中，中線AD、BE相交于點O，若△BOD的面積等于6，則△ABC的面積等于____．15．（2019·上?！て吣昙夒A段練習）△ABC的三邊長為a，b，c，且a，b滿足a?2+16．（2020春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）一個三角形的三邊長都是整數(shù)，其中兩條邊的長度分別為3和8，第三邊長為奇數(shù)，那么三角形的周長是__________．三、解答題17．（2022秋·全國·八年級專題練習）請你完成定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的證明．已知：如圖，△ABC．求證：AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC．18．（2022秋·河北廊坊·八年級校考期末）畫圖并填空：如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，將△ABC經(jīng)過一次平移，使點C移到點C'(1)請畫出△A(2)連接AA'、(3)在方格紙中，畫出△ABC的中線BD和高CE．19．（2021春·河北石家莊·七年級石家莊市第十九中學?？计谀?）如圖1，直線a∥直線b，點A、D在直線a上，點B、C在直線b上，連接AB、AC、BD、DC，得△ABC和△BDC，△ABC的面積_______△BDC的面積（填“＞”、“＝”或“＜”）．（2）如圖2，已知△ABC，過點A有一條線段，將△ABC的面積平分，且交BC于點D，則BDBC=（3）如圖3，已知四邊形ABCD，請過點D作一條線段DG將四邊形ABCD面積平分．20．（2023春·七年級單元測試）△ABC在如圖所示的平面直角中，將其平移后得△A'B'C'，若B的對應(yīng)點B'的坐標是?2,2．(1)在圖中畫出△A'B'C'；(2)此次平移可看作將△ABC向____平移了______個單位長度，再向____平移了______個單位長度得△A'B'C'；(3)△ABC的面積為______．21．（2023·陜西西安·?？既＃┮阎篴、b、c滿足(a?8(1)a、b、c的值；(2)試問以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出三角形的周長；若不能構(gòu)成三角形，請說明理由．22．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期中）在下列網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，如圖所示，每個小正方形的邊長均為1個單位長度．已知A（1，1），B（3，4）和C（4，2）．(1)在圖中標出點A，B，C；(2)將點C向下平移3個單位到點D，將點A先向左平移3個單位，再向下平移1個單位到點E，在圖中標出點D和點E；(3)求△EBD的面積．23．（2022春·福建福州·七年級福建省福州延安中學?？计谀┤舨坏仁浇M2x?a<1x?2b>?3的解集是?1<x<3（1）求代數(shù)式(a+1)(b?1)的值；（2）若a，b，c為某三角形的三邊長，試求|c?a?b|+|c?3|的值．24．（2022秋·山東泰安·七年級東平縣實驗中學?？茧A段練習）等腰三角形一條腰上的中線將三角形的周長分成15和21兩部分,求該三角形的腰長和底邊的長.

專題01與三角形的有關(guān)的線段考點類型知識串講（一）三角形的概念三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形特性三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。（二）三角形的分類三角形按邊的關(guān)系分類如下：三角形按角的關(guān)系分類如下：（三）三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性

四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性

要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了。（四）三角形的三邊關(guān)系三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊（1）三角形三邊長分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。（2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b

（五）三角形的相關(guān)線段（1）①高線概念：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。②高線性質(zhì)：利用兩個銳角互余（等量代換）；利用等面積法求線段長度（2）①中線概念：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線。②中線性質(zhì)：線段中點性質(zhì)求線段相等；三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個小三角形（3）①角平分線概念：三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線②角平分線性質(zhì)：角度相等求解角度考點訓練考點1：三角形的識別與相關(guān)概念典例1：（2022秋·山東濟寧·八年級?？茧A段練習）如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，則在△ABC中，∠C所對的邊是_____；在△ACD中，∠C所對的邊是_____．【答案】

AB

AD【分析】根據(jù)三角形的邊和角有關(guān)概念解答即可．【詳解】解：在ΔABC中，∠C所對的邊是AB；在ΔACD中，∠C所對的邊是故答案為：AB；AD．【點睛】此題考查三角形，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的邊和角有關(guān)概念解答．【變式1】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在△BCE中，邊BE所對的角是________，∠CBE所對的邊是________；在△AEC中，邊AE所對的角是________，∠A為內(nèi)角的三角形是________．【答案】

∠BCE##∠ECB

CE##EC

∠ACE##∠ECA

△ABD，△ABC，△ACE【分析】根據(jù)的邊、角的定義，即可求解．【詳解】解：在△BCE中，邊BE所對的角是∠BCE，∠CBE所對的邊是CE；在△AEC中，邊AE所對的角是∠ACE，∠AEC所對的邊是AC；∠A為內(nèi)角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE．故答案為：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE【點睛】本題考查了三角形的知識，掌握由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，頂點是A、B、C的三角形，記作___________，讀作___________．其中，頂點A所對的邊為___________還可用___________表示；頂點B所對的邊為___________還可用___________表示；頂點C所對的邊為___________還可用___________表示．【答案】

△ABC

三角形ABC

BC

a

AC

b

AB

c【分析】根據(jù)三角形的概念進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，頂點是A、B、C的三角形，記作△ABC，讀作三角形ABC．其中，頂點A所對的邊為BC還可用a表示；頂點B所對的邊為AC還可用b表示；頂點C所對的邊為AB還可用c表示．故答案為：△ABC；三角形ABC；BC；a；AC；b；AB；c．【點睛】本題主要考查了三角形的概念，解題的關(guān)鍵在于能夠熟記概念．【變式3】（2021·八年級課前預習）由不在同一直線上的三條線段_______________所組成的圖形叫做三角形．如圖，線段_______、______、______是三角形的邊．三角形的邊有時也用小寫字母abc來表示，a＝________、b＝________、c＝________，點A、點B、點C是三角形的_______，________、______、________是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角．圖中三角形記作_______．【答案】

首尾順次連結(jié)

AB

BC

AC

BC

AC

AB

頂點

∠A

∠B

∠C

△ABC【解析】略考點2：三角形的個數(shù)問題典例2：（2022·全國·八年級專題練習）觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有________個三角形，圖②中共有________個三角形，圖③中共有________個三角形．（2）由以上規(guī)律進行猜想，第n個圖形共有________個三角形．【答案】

3

6

10

(n+1)(n+2)【分析】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出三角形個數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求出即可．【詳解】解：（1）如圖所示：圖①中一共有3個三角形，圖②中共有6個三角形，圖③中共有10個三角形．故答案為：3，6，10；（2）∵1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，∴第n個圖形共有：1+2+3+?+n+1故答案為：(n+1)(n+2)2【點睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律和三角形的個數(shù)問題，根據(jù)已知得出數(shù)字是連續(xù)整數(shù)的和是解題關(guān)鍵．【變式1】（2021秋·江西宜春·八年級上高中學?？计谥校┤鐖D，以∠B為內(nèi)角的三角形有_______個【答案】4【分析】根據(jù)題意以∠B的兩邊和端點分別在兩邊上的線段圍成的三角形，都是以∠B為內(nèi)角的三角形，枚舉出所有三角形即可【詳解】依題意以∠B為內(nèi)角的三角形有△BED,△BEC,△BAD,△BAC,共4個故答案為：4【點睛】本題考查了三角形的定義，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）已知：如圖，試回答下列問題：（1）圖中有_______個三角形，其中直角三角形是______．（2）以線段AC為公共邊的三角形是___________．（3）線段CD所在的三角形是_______，BD邊所對的角是________．（4）△ABC、△ACD、△ADE這三個三角形的面積之比等于_______．【答案】

6

△ABD，△ACD，△ADE

△ABC，△ACD，△ACE

△ACD

∠BAD

BC：CD：DE【分析】（1）直接觀察圖形可找出三角形的直角三角形；（2）觀察圖形可找到以線段AC為公共邊的三角形；（3）觀察圖形可知線段CD所在的三角形以及BD邊所對的角；（4）通過S△ABC【詳解】（1）由圖可知，圖中三角形有△ABC、△ADB、△AEB、△ACD、△ACE、△ADE，∴圖中有6個三角形，由圖可知，直角三角形有△ABD，△ACD，△ADE；（2）由圖可知，以線段AC為公共邊的三角形是△ABC，△ACD，△ACE；（3）由圖可知，線段CD所在的三角形是△ACD，BD邊所對的角是∠BAD；（4）∵S∴故答案為：6；△ABD，△ACD，△ADE；△ABC，△ACD，△ACE；△ACD；∠BAD；BC：CD：DE．【點睛】本題主要考查三角形和直角三角形的識別，三角形的角以及面積比，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形的概念是解題關(guān)鍵．【變式3】（2020秋·江西上饒·八年級?？茧A段練習）北京冬季奧運會吉祥物冰墩墩落在n個三角形內(nèi)，則n的值為________．【答案】3【分析】根據(jù)三角形的定義，得到所有的三角形，進一步根據(jù)冰墩墩在三角形的位置分析出n的值．【詳解】如圖，所有的三角形：△ABC，△ABD，△ACE，△ACD，△ECD共5個．其中除冰墩墩不能落在△ABD和△ACE內(nèi)，其它均可，即冰墩墩落在3個三角形內(nèi)．故答案為：3．【點睛】本題考查了三角形，在找三角形的時候，要做到不重不漏．考點3：三角形的分類典例3：（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，那么△ABC是______三角形．（填“銳角”、“鈍角”或“直角”）【答案】鈍角【分析】根據(jù)三角形按角的分類可得結(jié)論．【詳解】解：在ΔABC中，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°∵∠C=100°>90°，∴Δ故答案為：鈍角．【點睛】本題考查三角形的分類，熟知三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·八年級課時練習）在ΔABC中，若∠A:∠B:∠C=3:5:7，則該三角形是_________三角形．（填“銳角”“直角”或“鈍角”）【答案】銳角．【分析】可設(shè)∠A=3x，∠B=5x，∠C=7x，利用三角形內(nèi)角和為180°可列出方程，可求得x的值，從而可求得三個角的大小，則可判定出三角形的形狀．【詳解】解：∵∠A：∠B：∠C=3：5：7，∴可設(shè)∠A=3x，∠B=5x，∠C=7x，由三角形內(nèi)角和定理可得：3x+5x+7x=180，解得x=12，∴∠A=3×12°=36°，∠B=5×12°=60°，∠C=7×12°=84°，∴△ABC為銳角三角形，故答案為銳角．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）已知a，b，c為三個正整數(shù)，如果a+b+c=12，那么以a，b，c為邊能組成的三角形是：①等腰三角形，②等邊三角形，③直角三角形，④鈍角三角形.以上結(jié)論正確的是______.（只填序號）【答案】①②③【詳解】∵a，b，c是三個正整數(shù)，且a+b+c=12，∴所有a，b，c可能出現(xiàn)的情況是：①2，5，5，等腰三角形；②3，4，5，直角三角形；③4，4，4，等邊三角形.故正確的結(jié)論是①②③.【變式3】（2020·全國·七年級假期作業(yè)）觀察圖中的三角形，把它們的標號填入相應(yīng)橫線上．銳角三角形_______，直角三角形________，鈍角三角形________．【答案】

3，5

1，4，6

2，7【分析】分別根據(jù)三角形的分類得出答案即可．【詳解】銳角三角形3，5，直角三角形1，4，6，鈍角三角形2，7．故答案為：3，5；1，4，6；2，7．【點晴】此題主要考查了三角形的分類，正確判斷三角形中各內(nèi)角與90度比較是解題的關(guān)鍵．考點4：三角形的三邊關(guān)系典例4：（2021秋·甘肅武威·八年級校考階段練習）若a，b，c是△ABC的三邊的長，則化簡|a?b?c|+|b?c?a|+|a+b?c|=________．【答案】a+b+c【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，判斷絕對值內(nèi)的代數(shù)式的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】∵a，b，c是ΔABC的三邊，∴a<b+c，b<c+a，c<a+b，∴a?b?c<0，b?c?a<0，a+b?c>0，∴a?b?c=b+c?a+c+a?b+a+b?c=a+b+c．故答案為：a+b+c．【點睛】題目主要考查的是三角形的三邊關(guān)系及去絕地值，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·七年級課時練習）若等腰三角形的兩邊的長分別是5cm、7cm，則它的周長為___________【答案】17或19【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當腰長為5cm時，②當腰長為7cm時，分別進行求解即可．【詳解】解：①當腰長為5cm時，三角形的三邊分別為5cm，5cm，7cm，符合三角形的三邊關(guān)系，則三角形的周長=5+5+7=17(cm)；②當腰長為7cm時，三角形的三邊分別為5cm，7cm，7cm，符合三角形的三關(guān)系，則三角形的周長=5+7+7=19(cm)；故答案為：17或19．【點睛】本題注意考查對等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況：分類進行討論，還應(yīng)驗證各自情況是否能構(gòu)成三角形．【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習）已知三角形三邊長分別為2，9，x，若x為偶數(shù)，則這樣的三角形有___________個．【答案】2【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出x的取值范圍，再根據(jù)x為偶數(shù)，確定x的可能取值即可解答．【詳解】解：∵三角形三邊長分別為2，9，x∴7<x<11，∵x為偶數(shù)，∴x可能是8和10，即這樣的三角形有2個．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定x的取值范圍成為解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a，b滿足(a?1)2+b?2【答案】1<c<3【分析】根據(jù)平方和開算術(shù)平方根的非負性求出a和b，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出c的取值范圍．【詳解】解：由原式可知：a-1=0；b-2=0∴a=1，b=2∴2?1<c<2+1∴1<c<3故答案為1<c<3【點睛】本題考查平方、開算數(shù)平方的非負性和三角形三邊關(guān)系，掌握這些知識是解題關(guān)鍵．考點5：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用典例5：（2022秋·浙江·八年級專題練習）一個三角形的三邊長均為整數(shù)．已知其中兩邊長為3和5，第三邊長x是不等式組x?1?2【答案】7【分析】先利用一元一次不等式組的解法確定出正整數(shù)解，然后利用三角形的三邊關(guān)系來求解．【詳解】解：解x?1≤23x+2所以正整數(shù)解是7、8、9．∵三角形的其中兩邊長為3和5，∴5?3＜即2＜所以只有7符合．故答案為：7．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系和一元一次不等式的整數(shù)解．解題的關(guān)鍵是求解不等式組求出它的正整數(shù)解．【變式1】（2022秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）邊長為1的小正方形組成如圖所示的6×6網(wǎng)格，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H都在格點上．其中到四邊形ABCD四個頂點距離之和最小的點是_________．【答案】E【分析】到四邊形ABCD四個頂點距離之和最小的點是對角線的交點，連接對角線，直接判斷即可．【詳解】如圖所示，連接BD、AC、GA、GB、GC、GD，∵GD+GB>BD，GA+GC>AC，∴到四邊形ABCD四個頂點距離之和最小是AC+BD，該點為對角線的交點，根據(jù)圖形可知，對角線交點為E，故答案為：E．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是通過連接輔助線，運用三角形三邊關(guān)系判斷點的位置．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）如圖，加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)，A到MN的距離大于B到MN的距離，AB=700米．一個行人P在馬路MN上行走，當P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于______米．【答案】700【分析】當A、B、P構(gòu)成三角形時，AP與BP的差小于第三邊AB，所以A、B、P在同一直線上時，AP與BP的差最大，算出這個最大值即可．【詳解】當A、B、P三點不在同一直線上時，此時三點構(gòu)成三角形．∵兩邊AP與BP的差小于第三邊AB，∴A、B、P在同一直線上，P到A的距離與P到B的距離之差最大，∵此時，PA?PB=AB∴當P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于700米故答案為：700．【點睛】本題考查了利用三角形的三邊關(guān)系求線段差的最大值問題．解題關(guān)鍵是弄清楚當三點共線時距離之差最大．【變式3】（2021秋·黑龍江佳木斯·八年級校聯(lián)考期中）如圖，填空：由三角形兩邊的和大于第三邊，得AB+AD>____________，PD+CD>____________．將不等式左邊?右邊分別相加，得AB+AD+PD+CD>__________，即AB+AC>_________________．【答案】

BD

PC

BD+PC

BP+PC【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和不等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，由三角形兩邊的和大于第三邊，得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC．將不等式左邊、右邊分別相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，即AB+AC＞BP+PC．故答案是：BD；PC；BD+PC；BP+PC．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．考點6：與三角形高線有關(guān)的計算問題典例6：（2023春·江蘇鹽城·七年級濱?？h第一初級中學?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EFBC于點F．若S△ABC=24，BD4，則【答案】3【分析】因為S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD；所以S△BDE=14S【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，S△ABC=24，∴S△ABD=12S△ABC同理，BE是△ABD的中線，S△BDE∵S△BDE=12BD?EF∴12BD?EF即1∴EF=3．故答案為：3．【點睛】此題考查了三角形的面積，三角形的中線特點，理解三角形高的定義，根據(jù)三角形的面積公式求解，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，△ADF中，點B，C分別在AD，AF上，DC與BF交于點E，若DE:CE=2:1，S△DEF=6，S△DBE=4，則【答案】7.5．【分析】觀察三角形之間的關(guān)系，利用等高或同高的兩個三角形的面積之比等于底之比，利用已知比例關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解．【詳解】如下圖所示，連接AE，∵DE:CE=2:1，S△DEF=6，∴S△DEF∴S△CEFS△∴S△AEFS△ADE設(shè)S△ABE=x∴S△AEFS△ADE由S△AEF=3y+3=3解得x=5y=∴S△ABE=5，S△ABC故答案為：7.5．【點睛】本題考查的是等高同高三角形，應(yīng)用等高或同高的兩個三角形的面積之比等于底之比進行求解是本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·福建廈門·八年級廈門市檳榔中學?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D點，AE平分∠BAC交BC于點E．若∠C=26°，則∠DAE的度數(shù)為___________．【答案】14°【分析】利用垂直的定義得到∠ADC=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠CAD=64°，接著利用角平分線的定義得到∠CAE=50°，然后計算∠CAD-∠CAE即可．【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=1∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．故答案為14°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了三角形高、角平分線．【變式3】（2023秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC邊上的任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F.若S△ABC=2【答案】2【分析】根據(jù)S△ABC=S【詳解】解：如圖，連接AP∵PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F∴∵AB=AC=2，S∴12AB?PE+故答案為：2【點睛】本題考查了三角形的高，掌握三角形的高的定義是解題的關(guān)鍵．考點7：三角形穩(wěn)定性典例7：（2022秋·云南昆明·八年級云大附中?？计谥校╇S著人們物質(zhì)生活的提高，手機成為一種生活中不可缺少的東西，手機很方便攜帶，但唯一的缺點就是沒有固定的支點．為了解決這一問題，某工廠研制生產(chǎn)了一種如圖所示的手機支架．把手機放在上面就可以方便地使用手機，這是利用了三角形的______.【答案】三角形的穩(wěn)定性【分析】利用三角形的穩(wěn)定性的性質(zhì)直接回答即可．【詳解】解：把手機放在上面就可以方便地使用手機，這是利用了三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是掌握三角形具有穩(wěn)定性．【變式1】（2022秋·八年級課時練習）如圖所示，要使一個六邊形木架在同一平面內(nèi)不變形，至少還要再釘上_____根木條．【答案】3【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，要使六邊形木架在同一平面內(nèi)不變形，只要把六邊形木架變成幾個不重疊的三角形即可．【詳解】如圖，過左上角的A點分別釘三根木條AB、AC、AD即可把六邊形木架變成三個不重疊的三角形．故答案為3．【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性，通過多觀察、多思考、多練習熟練掌握三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式2】（2019·全國·八年級統(tǒng)考假期作業(yè)）下列圖中哪些具有穩(wěn)定性？________．【答案】(1)(6)【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性．【詳解】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性．顯然具有穩(wěn)定性的有：(1)(6)故答案為(1)(6).【點睛】考查了三角形的穩(wěn)定性及多邊形的知識，注意根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行判斷．【變式3】（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，學校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學原理是利用了三角形的_____（選填“穩(wěn)定性”或“不穩(wěn)定性”）．【答案】穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行解答即可．【詳解】解：學校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學原理是利用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為：穩(wěn)定性．【點睛】本題主要考查了三角形的特性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的穩(wěn)定性考點8：與三角形角平分線有關(guān)的計算問題典例8：（2023春·七年級課時練習）如圖所示，△ABC的兩條角平分線相交于點D，過點D作EF∥BC，交AB于點E，交AC于點F，若△AEF的周長為30cm，則AB+AC=【答案】30【分析】利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠EBD=∠EDB，證出ED=EB，同理DF=FC，則△AEF的周長即為AB+AC，可得出答案．【詳解】解：∵EF//BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB同理：FD=FC，∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=30即AB+AC=30故答案為：30．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，證出ED=EB，F(xiàn)D=FC是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）如圖，（1）若AM是△ABC的中線，BC=12cm，則BM=CM=______cm；（2）若AD是△ABC的角平分線，則∠BAD=∠DAC=______；若∠BAC=106°，則∠DAC=______；（3）若AH是△ABC的高，則△ABH是______三角形．【答案】

6

12∠BAC【分析】（1）根據(jù)三角形的中線是三角形的一個頂點與它對邊的中點所連的線段求解即可；（2）根據(jù)三角形的角平分線平分它對應(yīng)的內(nèi)角求解即可；（3）根據(jù)三角形的高線定義得到∠AHB=90°，再根據(jù)直角三角形的定義即可判斷；【詳解】解：（1）∵AM是△ABC的中線，BC=12cm，∴BM=CM=12BC=6cm故答案為：6；（2）∵若AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC∵∠BAC=106°，∴∠DAC=53°，故答案為：12∠BAC（3）∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∴△AHB直角三角形，故答案為：直角．【點睛】本題考查三角形的角平分線、中線和高線，熟知三角形的角平分線、中線和高線的定義是解答的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·山東菏澤·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在△ABC中，∠1=∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列說法：①線段AG是△ABE的角平分線；②線段AE是△ABG的邊BG上的高；③BG是△ABD的中線；④△ABG與△DBG的面積相等；⑤∠1+∠ACF=90°．其中正確的有______（填序號）．【答案】①③④⑤【分析】由角平分線的定義可判斷①；由高的定義可判斷②；由中線的定義可判斷③；由中線的性質(zhì)可判斷④；由直角三角形的性質(zhì)可判斷⑤．【詳解】∵∠1=∠2，∴線段AG是△ABE的角平分線，故①正確；∵由題目中的已知條件無法確定AE和BE垂直，∴線段AE不一定是△ABG的邊BG上的高，故②錯誤；∵G點為AD的中點，∴BG是△ABD的中線，故③正確；∵BG是△ABD的中線，∴△ABG與△DBG的面積相等，故④正確；∵CF丄AD于H，∴∠AHC=90o，∴∠2+∠ACF=90o．∵∠1=∠2∴∠1+∠ACF=90o，故⑤正確．因此正確的有①③④⑤．故答案為①③④⑤．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，中線的定義，高的定義，中線的性質(zhì)，直角三形兩銳角互余．熟練掌握以上定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式3】（2020秋·八年級課時練習）△ABC中，D為BC邊上任意一點，DE、DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，連接EF，則△DEF的形狀為_________．【答案】直角三角形【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根據(jù)平角的定義可知，∠ADB+∠ADC=180°；接下來，求出∠ADE+∠ADF的度數(shù)，不難判斷三角形的形狀.【詳解】∵DE，DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC.∵∠ADB+∠ADC=180°，∴2∠ADE+2∠ADF=180°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是直角三角形.故答案為直角三角形.【點睛】本題考查了直角三角形的定義，角平分線的定義，平角的定義，根據(jù)角平分線的定義及平角的定義求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本題的關(guān)鍵.考點9：與三角形中線有關(guān)的周長、面積問題典例9：（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長為12，則△BCD的周長是_____．【答案】10【分析】先根據(jù)三角形的中線、線段中點的定義可得AD=CD，再根據(jù)三角形的周長公式即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵BD是△ABC的中線，即點D是線段AC的中點，∴AD=CD，∵AB=5，△ABD的周長為12，∴AB+BD+AD=12，即5+BD+AD=12，解得：BD+AD=7，∴BD+CD=7，則△BCD的周長是BC+BD+CD=3+7=10．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了三角形的中線、線段中點的定義等知識點，掌握線段中點的定義是解題關(guān)鍵【變式1】（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，S△ABD=S△ACD，已知AB=8cm，AC=5【答案】3【分析】利用三角形面積公式得到BD＝CD，從而得到△ABD和△ACD的周長差＝AB?AC．【詳解】解：∵S△ABD∴BD＝CD，∵△ABD的周長＝AB＋AD＋BD，△ACD的周長＝AC＋AD＋CD，∴△ABD和△ACD的周長差＝AB?AC＝8?5＝3（cm）．故答案為：3．【點睛】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△＝12【變式2】（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BE是△ABC的中線，點D是BC邊上一點，BD＝2CD，BE、AD交于點F，若△ABC的面積為24，則S△BDF﹣S△AEF等于_____．【答案】4【分析】由△ABC的面積為24，得S△ABC=12BC?hBC=12AC?hAC=24，根據(jù)AE=CE=12AC，得S△AEB=12AE?hAC，S△BCE=12EC?hAC，即S△AEF+S△ABF=12①，同理可得S△BDF【詳解】解：∵S△ABC=12BC?hBC=12AC?∴S△ABC=12（BD+CD）?hBC=12（AE+CE）?∵AE=CE=12AC，S△AEB=12AE?hAC，S△BCE=12EC∴S△AEB=S△CEB=12S△ABC=1即S△AEF+S△ABF=12①，同理：∵BD=2CD，BD+CD=BC，∴BD=23BC，S△ABD=12BD?∴S△ABD=23S△ABC=2即S△BDF+S△ABF=16②，②-①得：S△BDF-SAEF=（S△BDF+S△ABF）-（S△AEF+S△ABF）=16-12=4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查三角形的面積及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是等積代換【變式3】（2022春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考期中）已知在ΔABC中，已知點D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，且SΔBEF=4cm【答案】16【分析】由于D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，可判斷出AD、BE、CE、BF為ΔABC、ΔABD、ΔACD【詳解】解：∵由于D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，∴ΔABE、ΔDBE、Δ∴SΔBEC∴SSΔ故答案為：16．【點睛】此題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線將三角形的面積分成相等的兩部分．考點10：利用網(wǎng)格求三角形的面積典例10：（2023秋·福建龍巖·八年級?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格，A、B、C、D是網(wǎng)格線交點，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABC______S△ABD．填“>”、“=”或“【答案】<【分析】分別求出△ABC的面積與△ABD的面積，即可求解．【詳解】解：∵S△ABCS△ABD∴S△ABC故答案為：<．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中三角形的面積的求法，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵【變式1】（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC與△DEF都是是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），那么△ABC與△DEF的面積比為__________．【答案】1【分析】如圖，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】如圖，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，∴S△ABCS△DEF∴S故答案為：12【點睛】此題考查了格點三角形的面積計算問題，解題關(guān)鍵是牢記三角形的面積計算公式．【變式2】（遼寧省部分學校2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）已知點A2，2，B5，【答案】5【分析】直接利用△ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案．【詳解】解：如圖，S△ABC故答案為：5．【點睛】此題主要考查了平面直角坐標系，三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵【變式3】（2022春·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，大長方形是由9個完全相同的小長方形組成，已知小長方形的長，寬分別為a，b，則圖中連接三個格點圍成的陰影部分圖形的面積是______．（用a，b的代數(shù)式表示）【答案】4ab【分析】陰影部分的面積等于大長方形的面積去掉三個直角三角形的面積．【詳解】解：S=9ab?=4ab．故答案為：4ab．【點睛】本題考查運用割補法求陰影部分面積，解題關(guān)鍵是運用大長方形的面積減去三個直角三角形的面積同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·全國·八年級階段練習）如圖，線段BD是△ABC高的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)高的畫法知，過點B作AC邊上的高，垂足為D，則線段BD是△ABC的高，再結(jié)合圖形進行判斷．【詳解】解：根據(jù)各選項中的圖形，可知A、BD⊥BC，BD與AC不垂直，線段BD不是△ABC高，此選項不符合題意；B、BD⊥AB，BD與AC不垂直，線段BD不是△ABC高，此選項不符合題意；C、BD⊥AB，BD與AC不垂直，線段BD不是△ABC高，此選項不符合題意；D、BD⊥AC，則線段BD是△ABC高，此選項符合題意，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，連接頂點與垂足之間的線段．2．（2022春·云南保山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB⊥BC于點B，AC⊥CD于點C，連接AD．若AD＝8，BC＝6，則AC的長可能為（

）．A．5 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊長大于直角邊長即可得出結(jié)果．【詳解】∵AD是Rt△ACD的斜邊，∴AC<ADAC是Rt△ABC的斜邊，∴BC<AC∴BC<AC<AD即：6<AC<8∴AC的長可能為7．故選C．【點睛】本題考查直角三角形，理解直角三角形的斜邊長大于直角邊長是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇·八年級階段練習）下列說法中，正確的個數(shù)有（

）①三角形具有穩(wěn)定性；②如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；③三角形的角平分線是射線；④直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到直線的距離；⑤任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線；⑥三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內(nèi)；A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】直接利用三角形的角平分線以及中線、高線的定義、對頂角性質(zhì)分別分析得出答案．【詳解】解：①三角形具有穩(wěn)定性，正確；②如果兩個角相等，那么這兩個角不一定是對頂角，故原說法錯誤；③三角形的角平分線是射線，錯誤；④直線外一點到這條直線的垂線段長度叫做這點到直線的距離，故此選項錯誤；⑤任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線，正確；⑥三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內(nèi)，正確；故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形的角平分線以及中線、高線的定義、對頂角性質(zhì)等知識，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．4．（2023春·七年級課時練習）圖中，以DE為邊的三角形有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)三角形的邊得出三角形即可．【詳解】解：以DE為邊的三角形有△DEC，△AED，△DEF，△BED，故選：C．【點睛】此題考查三角形，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的邊解答．5．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）下列各圖中，正確畫出△ABC中AC邊上的高的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義，過點B與AC邊的垂線，且垂足在直線AC上，然后結(jié)合各選項圖形解答．【詳解】解：根據(jù)三角形高線的定義，只有D選項中的BE是邊AC上的高．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的高線的定義，熟記定義并準確識圖是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·廣東珠?！ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD，AC上的中點，若S陰影的面積為3，則△ABC的面積是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】利用三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分，S△ABD=S△ACD=【詳解】∵D為BC的中點∴S△BDE=∴S∴S△BDE+S△DEF=14S△ABC+∴S△ABC=83S故選D【點睛】三角形的中線將三角形分成兩個面積相等的三角形，根據(jù)中線找出圖中三角形的面積關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.7．（2022春·福建漳州·七年級漳州實驗中學校考階段練習）如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點，則下列說法不正確的是（）A．DE是△BCD的中線B．BD是△ABC的中線C．AD=DC，BE=ECD．DE是△ABC的中線【答案】D【分析】三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．根據(jù)中線的定義分析各個選項．【詳解】解：∵D、E分別是△ABC的邊AC、BC的中點，∴DE是△BCD的中線；故選項A正確，不符合題意；BD是△ABC的中線，故選項B正確，不符合題意；AD=DC，BE=EC，故選項C正確，不符合題意；DE是△BCD的中線故選項D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了中線的概念：在三角形中，從三角形的一個頂點到對邊中點的線段叫三角形的中線．8．（2022秋·八年級課時練習）如圖，有下列說法：①若∠1=∠3，AD//BC，則BD是∠ABC的平分線；②若AD//BC，則∠1=∠2=∠3；③若∠1=∠3，則AD//BC；④若∠C+∠3+∠4=180°，則其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，對各個選項逐個分析，即可得到答案．【詳解】∠1=∠3，AD//BC∴∠2=∠3∴∠1=∠2=∠3∴BD是∠ABC的平分線，即①正確；若AD//BC，得∠2=∠3，∠1=∠4，不構(gòu)成∠1=∠2=∠3成立的條件，故②錯誤；若∠1=∠3，不構(gòu)成AD//BC成立的條件，故③錯誤；若∠C+∠3+∠4=180°∴∠C+∠ADC=∴AD//BC，即④正確；故選：B．【點睛】本題考查了平行線和角平分線的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．9．（2023春·全國·八年級專題練習）若a、b、c為三角形的三條邊，則(a+bA．2b-2c B．2a C．2(a+【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，a+b>c,b<a+c，再利用算術(shù)平方根和絕對值非負性進行化簡即可解答.【詳解】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，a+b>c,b<a+c∴a+b?c>0,b?a?c<0∴a=2a故選B【點睛】本題考點涉及三角形的三邊關(guān)系，算術(shù)平方根和絕對值的非負性以及化簡，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.10．（2022春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，D是AB中點，E是BC邊上一點，且BE＝4EC，CD與AE交于點F，連接BF．若四邊形BEFD的面積是14，則△ABC的面積是（

）A．28 B．32 C．30 D．29【答案】C【分析】根據(jù)三角形的高相等時，三角形面積之比等于底邊邊長之比，來計算．設(shè)△EFC的面積為a，△AFC的面積為b，則△AEC的面積為a+b，根據(jù)BE=4EC，D為AB中點，找到相關(guān)等量關(guān)系，列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程即可求解．【詳解】設(shè)△EFC的面積為a，△AFC的面積為b，則△AEC的面積為a+b，∵BE=4EC，∴根據(jù)三角形的高相等時，三角形面積之比等于底邊邊長之比，有：S△BEF=4S∴S△BAF∵D為AB中點，∴S△BDF=S∵S△BDC=S∴3b=2b+5a，即b=5a，∵四邊形BEFD面積為14，∴S四邊形∴b=5a2b+4a=14，解得a=1∵△ABC的面積為S△ABC∴S△ABC故選：C．【點睛】本題主要主要考查了二元一次方程組在幾何問題中的應(yīng)用，根據(jù)三角形的高相等時，三角形面積之比等于底邊邊長之比，確定等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023春·山東棗莊·七年級校聯(lián)考階段練習）超重機的底座、輸電線路的支架、自行車的斜支架等，都是采用三角形結(jié)構(gòu)，這樣做的數(shù)學道理是利用了______________．【答案】三角形的穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形的穩(wěn)定性作答．【詳解】起重機的底座、輸電線路的支架、自行車的斜支架等，都是采用三角形結(jié)構(gòu)，這樣做的數(shù)學道理是利用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為三角形的穩(wěn)定性．12．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，∠CBD=∠E=∠F=90°，則線段______是△ABC中BC邊上的高．【答案】AE【分析】根據(jù)過三角形的一個頂點向?qū)呉咕€，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高解答．【詳解】解：∵AE⊥BC，∴△ABC中BC邊上的高是AE故答案為：AE【點睛】本題考查了三角形的高，解題關(guān)鍵是熟記三角形的高的概念．13．（2023·全國·八年級專題練習）已知三角形的三邊長均為偶數(shù)，其中兩邊長分別為6和8，則第三邊長為________．【答案】4或6或8或10或12【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系，得出第三邊的取值范圍，再根據(jù)題意即可得出第三邊的長度．【詳解】解：∵△ABC其中兩邊的長分別為6和8，∴8?6<第三邊<8+6，即2<第三邊<14，∵△ABC的三邊長均為偶數(shù)，∴第三邊的長度為：4或6或8或10或12，故答案為：4或6或8或10或12．【點睛】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．注意題目沒有說△ABC為直角三角形，故不能用勾股定理求解第三邊．14．（2021秋·四川資陽·九年級四川省安岳中學校考期中）在△ABC中，中線AD、BE相交于點O，若△BOD的面積等于6，則△ABC的面積等于____．【答案】12【分析】先根據(jù)點O是△ABC的重心得出OD=13AD，再由△BOD的面積等于6，得出S△ABD=S△BCE=18，即可求出SΔCEOD【詳解】解：∵△ABC中，中線AD、BE相交于點O，∴點O是△ABC的重心，∴OD=13AD∵S△BOD=6，∴S△ABD=18=12S△ABC=S△∴S四邊形CEOD=S△BCE-S△BOD=18?6=12．故答案為：12．【點睛】本題考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解答此題的關(guān)鍵．15．（2019·上?！て吣昙夒A段練習）△ABC的三邊長為a，b，c，且a，b滿足a?2+【答案】1＜c＜5【分析】先把a?2+b2【詳解】∵a?2∴a?2∵a?2≥0，（b?3∴a-2=0,b-3=3∴a=2,b=3∵△ABC的三邊長為a，b，c∴b-a＜c＜b+a∴3-2＜c＜3+2∴c的取值范圍為：1＜c＜5【點睛】此題考查三角形三邊關(guān)系，配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì):偶次方，掌握運算法則是解題關(guān)鍵16．（2020春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）一個三角形的三邊長都是整數(shù)，其中兩條邊的長度分別為3和8，第三邊長為奇數(shù)，那么三角形的周長是__________．【答案】18或20【分析】先根據(jù)三角形三邊長關(guān)系得出第三邊的取值范圍，然后根據(jù)第三邊長度為奇數(shù)且是整數(shù)得出第三邊長度，最后求周長．【詳解】∵三角形兩條邊長為3和8，設(shè)第三邊長為n則8－3＜n＜8+3，即5＜n＜11∵n是奇數(shù)，且是整數(shù)∴n=7或n=9∴三角形的周長為18或20【點睛】本題考查組成三角形三邊長的關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用關(guān)系式先得出第三邊長度的取值范圍．三、解答題17．（2022秋·全國·八年級專題練習）請你完成定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的證明．已知：如圖，△ABC．求證：AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC．【答案】證明見解析．【分析】利用兩點之間的線段最短來證明即可．【詳解】證明：∵AC是以點A、點C為端點的線段，∴AB+BC>AC（兩點之間線段最短）．同理BC+CA>AB，CA+AB>BC．【點睛】本題考查了三角形的三邊之間的關(guān)系，即三角形的任意兩邊之和大于第三邊，解題的關(guān)鍵是掌握兩點之間線段最短．18．（2022秋·河北廊坊·八年級?？计谀┊媹D并填空：如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，將△ABC經(jīng)過一次平移，使點C移到點C'(1)請畫出△A(2)連接AA'、(3)在方格紙中，畫出△ABC的中線BD和高CE．【答案】(1)見詳解(2)AA'(3)見詳解【分析】（1）將點C先向上平移1個單位，再向右平移3個單位，得到點C'，同理可得點A'，點B'（2）連接AA'、BB'，將（3）根據(jù)作中線和高的方法即可求解．【詳解】（1）解：將點C先向上平移1個單位，再向右平移3個單位，得到點C'，同理可得點A'，點B'，依次連接