云南省曲靖市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

云南省曲靖市曲靖一中沾益清源高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一

下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)2=5i+（2-i）2,貝ijz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)點(diǎn)。是正三角形4BC的中心，則向量前，的，函是（）

A.相同的向量B.模相等的向量

C.共線向量D.共起點(diǎn)的向量

3.抽樣統(tǒng)計(jì)某位學(xué)生10次的英語成績分別為86,84,88,86,89,89,88,87,85,91,

則該學(xué)生這10次成績的50%分位數(shù)為（）

A.88.5B.89C.91D.87.5

4.下列敘述中，錯(cuò)誤的是（）

A.數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差比較小時(shí)，數(shù)據(jù)比較分散

B.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響

C.數(shù)據(jù)的極差反映了數(shù)據(jù)的集中程度

D.任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變

5.已知隨機(jī)事件A和B互斥，A和C對(duì)立，MF（C）=0.8,P（5）=0.3,則P（/U8）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

6.若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積為（）

2799

A.-7iB.—71C.34D.—萬

424

7.已知cos[+t）=t，貝ljsin（2aj]=（）

77^33

A.-B.—C.—D.—

8888

8.如圖，某市人民廣場正中央有一座鐵塔，為了測量塔高小胡同學(xué)先在塔的正西方

點(diǎn)C處測得塔頂?shù)难鼋菫?5。，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30。方向前進(jìn)140米到達(dá)點(diǎn)。處，在

。處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°,則鐵塔N8的高度是（）

試卷第1頁，共4頁

A

C.90米D.100米

二、多選題

9.下列調(diào)查中，適宜采用抽樣調(diào)查的是（）

A.調(diào)查某市小學(xué)生每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

B.某公司初步發(fā)現(xiàn)一位職員患有甲肝，對(duì)此公司職員進(jìn)行檢查

C.農(nóng)業(yè)科技人員調(diào)查某塊地今年麥穗的單穗平均質(zhì)量

D.調(diào)查某快餐店中全部8位店員的生活質(zhì)量情況

10.已知復(fù)數(shù)z=2-i,W為z的共朝復(fù)數(shù)，則下列各選項(xiàng)正確的是（）

A.z是虛數(shù)B.W的虛部為-i

C.z>zD.|z|-|z|=5

11.在V4BC中,內(nèi)角4民C所對(duì)的邊分別為a,6,c,其中”=2右，S.b2+c2-I2=bc,則

下列說法正確的是（）

A.A=-

3

B.V48c面積的最大值為述

2

C.若。為邊8C的中點(diǎn)，則40的最大值為3

D.若V/8C為銳角三角形，則其周長的取值范圍為（6+26,66]

三、填空題

12.已知向量7=（m,一3）,6-（-1,2）,若萬則同=.

13.已知四位數(shù)4521,任意交換兩個(gè)位置的數(shù)字之后，兩個(gè)奇數(shù)相鄰的概率為.

14.在一個(gè)底面直徑為12cm,高為18cm的圓柱形水杯中加入水后，水面高度為12cm,加

試卷第2頁，共4頁

入一個(gè)球型小鋼珠后水面上升到了13cm,則球型小鋼珠的半徑為<

四、解答題

15.已知0<tz<%,costz=——^―?

(1)求sin2a,cos2a的值；

(2)求sin[2a+：)的值.

16.在V48C中，內(nèi)角42,C的對(duì)邊分別為a,6,c,向量而=(6。力),萬=(3cos/,sinB)且

m//n.

⑴求角A；

(2)若。=J7,c=2,求VN3C內(nèi)切圓的半徑.

17.如圖，在直四棱柱N2CD-44G〃中，底面/BCD為菱形，￡是線段4c上的一點(diǎn).

(2)若BE，/。，求證：平面4DCL平面以陽.

18.舉辦網(wǎng)絡(luò)安全宣傳周、提升全民網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)和技能，是國家網(wǎng)絡(luò)安全工作的重要內(nèi)容.

為提高廣大學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)，某校舉辦了網(wǎng)絡(luò)安全知識(shí)競賽，比賽采用積分制，規(guī)定每

隊(duì)2人，每人回答一個(gè)問題，回答正確積1分，回答錯(cuò)誤積0分.甲、乙兩個(gè)班級(jí)的代表隊(duì)在

決賽相遇，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問題正確的概率均為：，乙隊(duì)兩人回答問題正確的概率分別為

2

21

j,-,且兩隊(duì)每個(gè)人回答問題正確的概率相互獨(dú)立.

(1)求甲隊(duì)總得分為1分的概率；

(2)求兩隊(duì)積分相同的概率.

19.如圖，四棱錐的底面4BC。是邊長為2的菱形，尸/，底面/8O

ZBAD=12Q°,E,尸分別是CD,PC的中點(diǎn)，AP=4.

試卷第3頁，共4頁

(1)求四棱錐尸-N8CE的體積；

(2)求8尸與底面48CD所成角的正切值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ABDADAAAACAD

題號(hào)11

答案ACD

1.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和加減法法則計(jì)算出z=3+i,得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.

【詳解】z=5i+（2-i）2=5i+4-4i-l=3+i,故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為（3,1）,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到這三個(gè)向量的模長相等，即可判

斷得解

【詳解】是正V/5C的中心，向量而，礪，玩分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終

點(diǎn)的向量，

。到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等|"^|=超0，但向量與，的，函不是相同向量，也

不是共線向量，也不是起點(diǎn)相同的向量.

故選：B

3.D

【分析】該學(xué)生10次的英語成績從小到大排列，即可求出該學(xué)生這10次成績的50%分位

數(shù).

【詳解】該學(xué)生10次的英語成績從小到大分別為84,85,86,86,87,88,88,89,89,91.

又10x50%=5,這10次成績的50%分位數(shù)為------=87.5.

2

故選：D.

4.A

【分析】利用樣本數(shù)字特征的基本概念逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差比較小時(shí)，數(shù)據(jù)比較集中，故A錯(cuò)誤；

樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，故B正確；

數(shù)據(jù)的極差反映了數(shù)據(jù)的集中程度，故C正確；

答案第1頁，共8頁

任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，故D正確.

故選：A.

5.D

【分析】利用對(duì)立事件概率公式和互斥事件加法公式計(jì)算即可.

【詳解】由A和C對(duì)立，P（C）=0.8,可得P（/）+P（C）=l,解得尸（/）=0.2,

又由隨機(jī)事件A和8互斥可知尸（/切=0,

由尸尸（1）+尸（3）—尸（48）,

將尸（/）=0.2,尸（8）=0.3代入計(jì)算可得P（/UB）=0.5.

故選：D.

6.A

【分析】先求得圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐的表面積公式求解即可

【詳解】由題可知，該圓錐的底面半徑為3,因此，該圓錐表面積為"xd+%x』x3=2%

2024

故選：A

7.A

【分析】利用換元法，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】設(shè)&+則a=3cos/=±sin（加一71]=sin2\t-—=sin|2z-A

'664I6）V6J6J<2）

=-cos2r=-（2cos1-l）=-2x-1=

故選：A

8.A

【分析】先由題意得出BC=48,AD=6/B，ZADB=300,CD=l40,再在△BCD中，由

余弦定理即可求解.

【詳解】由題//C5=45°,NBCD=90°-30°=60°,/ADB=30°,CD=140,

所以BC=AB,AD=2AB,BD=囪AB,

故在ABCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-7.BC-CDcosZBCD,

答案第2頁，共8頁

所以3AB2=AB2+1402-280/2cos60°即AB2+70AB-9800=0，

n4B=-140（舍去）或48=70,故鐵塔42的高度是70米.

故選：A.

9.AC

【分析】根據(jù)普查和抽樣調(diào)查各自的特點(diǎn)進(jìn)行選擇.

【詳解】A.調(diào)查某市小學(xué)生每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的工作量很大，抽樣調(diào)查；

B.某公司初步發(fā)現(xiàn)一位職員患有甲肝，甲肝具有傳染性，危害大，對(duì)此公司職員進(jìn)行檢查

適合普查的方式；

C.農(nóng)業(yè)科技人員調(diào)查某塊地今年麥穗的單穗平均質(zhì)量適合采用抽樣調(diào)查；

D.調(diào)查某快餐店中全部8位店員的生活質(zhì)量情況適合普查的方式；

故選：AC.

10.AD

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)及共輾復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)模的公式，復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】因?yàn)閦=2-i,所以W=2+i，

A選項(xiàng)中，由于z=2-i虛部不為0,所以z是虛數(shù)，A正確；

B選項(xiàng)中，W=2+i的虛部為1，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)中，當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部不為零時(shí)，不能比大小，C錯(cuò)誤；

22z5

D選項(xiàng)中，閏=也+F=5|Z|=^2+（-1）=45,|z|-|l='D正確.

故選：AD.

11.ACD

【分析】對(duì)于A,用余弦定理可解；對(duì)于B,用面積公式，結(jié)合基本不等式可解；對(duì)于C,用

兩次余弦定理，互補(bǔ)角余弦值互為相反數(shù)來構(gòu)造方程可解；對(duì)于D,周長問題，邊化角，用

三角函數(shù)解題.

【詳解】對(duì)于A,由題意可知〃+c2-12=尸+,2-/=兒，利用余弦定理得，

cos"""。、JL因?yàn)?€（0,兀），所以/=[故A正確；

2bc273

對(duì)于B,由上述可知，V/BC的面積56csi必=也，c,且易知/+c?-12=6c24c-12,

24

解出12W6c,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2行時(shí)取等號(hào)，止匕時(shí)5=心兒=3后，故B錯(cuò)誤；

4

對(duì)于C,在和A/CD中，對(duì)/ND3和-4OC利用余弦定理，

答案第3頁，共8頁

BD』D2TB；CD2+4D2TC2,化簡后有幺加=3+、，由B知，兒的最大值為

2.BDAD2CDAD2

12,因此4D最大為3,故C正確；

對(duì)于D,利用正弦定理，—=—=—=4,貝！|6=4sin8,c=4sinC,于是VNBC的周

sin5sinCSIIM

長￡=2百+4sin5+4sinC=273+46sin/+，

997TTT

由于是銳角三角形，因此即c解出

八小兀八2?！肛?2

0<C<—,0<------B<一,

[2132

則8+(嗚爭則sin(B+)(孝,1],則八(6+2石,6町故D正確.

故選：ACD.

12.375

【分析】根據(jù)a_L1=拓%2+%%=0和卜卜J%?+/代入計(jì)算整理.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?(加，-3),6=(-1,2),且5_Lb,所以-加+(-6)=0,解得加=一6,

H=J(-6)2+(-3)2=375.

故答案為：36.

13.—/0.5

2

【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】4521任意交換兩個(gè)數(shù)的位置之后有：5421,2541,1524,4251,4125,4512,

共6種，

兩個(gè)奇數(shù)相鄰有1524,4251,4512共3種，

所以兩個(gè)奇數(shù)相鄰的概率為g.

2

故答案為：:

2

14.3

4

【分析】由題意可得§兀*=36兀，求解即可.

【詳解】設(shè)球型小鋼珠的半徑為E,

上升水柱的體積/=7ir2-h=36兀，

答案第4頁，共8頁

4,

所以嚷=5■或=36兀,

R3=27,

R=3.

故答案為：3.

437F)

15.(1)sin2a=——,cos2a=——；(2)-------.

5510

【分析】(1)由已知條件和同角三角函數(shù)求得sin。，再運(yùn)用正弦、余弦的二倍角公式可得

答案;

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論和正弦的和角公式可求得答案.

【詳解】解：(1)因?yàn)?<a<;r,cosa=-4^,所以sina=R^,

55

4

所以sin2a=2sinacoscr=

5

5L__3

cos2a=2cos26if-l=2x

5),5

7V2

(2)sin2a+—=sin2acos—+cos2asin—=——

I4)442

【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，正弦、余弦函數(shù)的二倍角公式，正弦的和角公式,

屬于基礎(chǔ)題.

16.(l)^=y;

5V3-VH

【分析】(1)根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦定理邊角互化，求得tan/,即可求得A；

(2)利用余弦定理求得6,利用等面積法，結(jié)合三角形面積公式，即可求得內(nèi)切圓半徑.

【詳解】(1)因?yàn)橄蛄客?(&,6)與力=(3cos/,sinS)平行，所以扃sinB-36cos/=0,

由正弦定理得由sin4sin5-3sin5cosz4=0,

又sinBw0,所以由sio4-3cos=0,所以tair4=V3,

又/￡(0,兀)，所以

(2)由余弦定理得/=〃+/一2cbeosZ,所以7=加+2?-26,解得6=3或6=-1(舍)，

答案第5頁，共8頁

所以VABC的面積S=—fecsirU=2".

22

設(shè)V/5c內(nèi)切圓的半徑為小

所以S=；(Q+6+C)/=；X(2+3+⑺”解得一”

17.(1)證明見解析;

(2)證明見解析.

【分析】(1)證明線面平行，只需在平面8DE內(nèi)找到一條直線與回平行即可;

(2)證明面面垂直，只需證明線面垂直，只需證明線線垂直即可.

【詳解】(1)連接/C,交2。于點(diǎn)O,連接￡。，如圖所示.

因?yàn)榈酌?BCD為菱形，所以。是/C的中點(diǎn)，又4E=EC,所以￡O|M4，

又EOu平面8DE,44]0平面所以叫〃平面；

(2)在直四棱柱48co-44GA中，44]_L平面4BCD,

因?yàn)锽Du平面4BCD,所以/4_L5。，

又底面ABC。為菱形，所以NCSM),

又44|n』C=/,AAt,ZCu平面//C,所以AD2平面4/C,

又同Cu平面4/C,所以

又BE工AC,BEcBD=B,BE,BDu平面BDE,所以4。，平面8?！?

又4CU平面4DC,所以平面4DCJ■平面3DE.

1

18.(D-

答案第6頁，共8頁

【分析】（1）根據(jù)題意可知甲隊(duì)得1分，則一人回答正確，另一人回答錯(cuò)誤，結(jié)合獨(dú)立事件

概率乘法公式運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)題意可得甲、乙得分的概率，分別求兩隊(duì)積分同為0分，1分，2分的概率，結(jié)合

獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.

【詳解】（1）記“甲隊(duì)總得分為1分”為事件甲隊(duì)得1分，則一人回答正確，另一人回答

錯(cuò)誤，

所以尸=+

（2）由題意可知：甲隊(duì)積0分，1分，2分的概率分別為9,1J,

424

252

乙隊(duì)積0分，I分，2分的概率分別為5,

記兩隊(duì)積分同為0分，1分，2分的分別為事件民C,D,

因?yàn)閮申?duì)得分相互獨(dú)立，互不影響,

則尸(3)=LX2=L,P