2024-2025學(xué)年某中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月聯(lián)考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年綿陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月聯(lián)考試卷

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定

位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上

的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

已知集合&={田丁=3%—LXWN},B={X|X2-4X-5K0},則AD3=

1.()

A[-1,5]B.{2,5}C.{-1,2,5}D.[0,5]

2.復(fù)數(shù)z滿足4z+3=（3+i）z,貝匹的虛部是（)

33.C.2i2

A——B.—1D.

22-2I

3.若〃=(，,1),1=(3,/+2),且2_LB，貝！)1=()

A.1B.-1C.-2D.—1或一2

31+sin26

4.已知sin——cos—=j,6>e(O,7i),則-+--c-o--s-6--=--(-)

22cos2。-sin2。

26323117

A.——B.-----C.—D.-----

355428

S,1

5.兩圓錐母線長均為3,體積分別為K，%,側(cè)面展開圖面積分別記為5,$2,且U=側(cè)面展開圖

V

圓心角耳,，2滿足4+a=2兀，則/■=()

A.272B.叵C.710D.

104

6.命題=XzX在XG(-2,2]上為減函數(shù)，命題

'7(^+4)ln(x+2)-6z-l,-2<x<-l'」

1

Z7V*A

q;g（x）=-....在（L+8）為增函數(shù)，則命題P是命題4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

7.已知函數(shù)/■（x）=sinx+lnx,將y=/（尤）的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列{無“},

/、f（2n-l）n

對于正整數(shù)〃，甲：-1）口<乙：<xn-^~為單調(diào)遞增數(shù)列，則（）

A.甲正確，乙正確B.甲正確，乙錯(cuò)誤

C.甲錯(cuò)誤，乙正確D.甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤

8.已知定義在R上的函數(shù)〃%）在區(qū)間［0可上單調(diào)遞減，且滿足“2+x）+/（%）=2/（—1）,函數(shù)

y=/(x—1)的對稱中心為(2,0),貝|()(注：ln3al.099,ln2a0.693)

A./(2024)=0B./(0.5)+/(1.6)>0

D./(2sinl)>/Mn!

C/(1.5)>/(log248)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某學(xué)校有甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)，人數(shù)分別為14、21、14,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)

行某項(xiàng)興趣調(diào)查.已知抽出的7人中有5人對此感興趣，有2人不感興趣，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人

做進(jìn)一步的深入訪談，用X表示抽取的3人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（）

A.從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人

B.隨機(jī)變量X?37,

C.隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為一

7

D.若事件A="抽取的3人都感興趣”，則P（A）=2

X

10.已知f(x)=J+則()

xe

A./（ln2）=/（ln4）B.在（0,1）上單調(diào)遞增

C.于7?eR,使/'（加）=2D.eR,使/（n）=—2

11.“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提出的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，

其中線段|4用是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”

2

而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用d（A§）表示，又稱“曼哈頓距離”，即

d（A,B）=\AC\+\CB\,因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若4（久1，%）,<8（>2，%），則

d（A5）=上一%|+1%-X|?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把到兩定點(diǎn)耳（―c,0）,g（c,0）（c>0）的

“曼哈頓距離”之和為常數(shù)2a（a>c）的點(diǎn)的軌跡叫“新橢圓”.設(shè)“新橢圓”上任意一點(diǎn)設(shè)為「（久,辦則（）

A.已知點(diǎn)A（3,3）,3（6,7）,則d（A,B）=5

B.“新橢圓”關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱

c.X最大值為a

22

D.“新橢圓”圍成的面積為巴士

2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.己知橢圓。：:+二=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)為耳、耳，右頂點(diǎn)為民A為。上一動(dòng)點(diǎn)（不與左、

ab

右頂點(diǎn)重合），設(shè)△加；鳥的周長為辦忸閭=〃，若?=4,則。的離心率為.

13.若曲線/'（力=也與曲線8（司=加（0>0）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有公切線，則實(shí)數(shù)”

14.若（0+1）=x+yeN*）,貝1Jx?—2/=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.在某象棋比賽中，若選手甲和選手乙進(jìn)入了最終的象棋決賽，經(jīng)賽前數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在每局象棋比賽

中甲和乙獲勝的概率分別為工和工，且決賽賽制為7局4勝制，求：

33

（1）前3局中乙恰有2局獲勝的概率；

（2）比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了5局比賽的概率.

16.記VABC的內(nèi)角的對邊分別為c,且〃cosC-J8asinC—Z?+c=0.

（1）求A；

3

⑵若匕=2,S“BC=乎，"為邊上中點(diǎn)，求AM的長.

17.如圖，三棱柱A3C—4月。1中，AB=2,且VA3C與△A34均為等腰直角三角形，

C

（1）若AABC為等邊三角形，證明：平面A415，平面ABC；

TT

（2）若二面角A-AB-C的平面角為孑，求二面角4-AC-3的平面角的余弦值?

18.已知雙曲線E:=-4=1（?！?］〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為K，E，E的一條漸近線方程為

ab

y=?,過用且與x軸垂直的直線與后交于A、3兩點(diǎn)，且△ABK的周長為16.

（1）求E的方程；

（2）過歹2作直線/與E交于。、。兩點(diǎn)，若恒=3艮萬，求直線CD的斜率.

19.已知函數(shù)/(%)=1送(%)=之二.

(1)當(dāng)1之0時(shí)，證明：f(x)>g(x)-,

(2)現(xiàn)定義：〃+1階階乘數(shù)列｛4｝滿足。,用=("+1)(1+%).若4=1,證明:

lna“<(H+l)ln(?+l)—n+1.

4

【答案】

1.C

【解析】

【分析】解一元二次不等式可求得5={x|-1WXW5},再結(jié)合集合A的特征即可計(jì)算得出結(jié)果.

【詳解】解不等式4x—5<0可得3={x|—14x45},

又4={>|>=3%—1,XGN}可得只有當(dāng)x=0,l,2時(shí)，V的取值分別為一1,2,5在集合3中，

所以Ac8={—1,2,5}.

故選：C

2.D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡化簡可得z=±更，即可得共軌復(fù)數(shù)，由虛部定義即可求解.

2

/、/、33（-l-i）-3-3i

【詳解】由4z+3=（3+i）z,得3=（3+i—4）z,故2=）進(jìn)而可

''''-1+1（—1+1）（—1—1）2

得W=上①，即三的虛部是3，

22

故選：D

3.D

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算垂直數(shù)量積為0求參.

【詳解】因?yàn)樗苑紹=3/+產(chǎn)+2=0,

所以（+1）（+2）=0,即/=_1或,=—2.

故選：D.

4.A

【解析】

【分析】先由平方差公式化簡已知條件并結(jié)合二倍角的余弦公式得cos。，進(jìn)而得sin。，從而結(jié)合二倍

角正弦公式即可計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)閟in"——cos4—=-,6>e（0,7i）,

225v7

7.ne^Y.⑻3c小、

所CC以I［sin，--cos"2—IIsin，—+cos~耳J=《,9e（0,兀），

ae（ee、33

所以sin2----cos2—=-cos—+—=—cos6=一兀），即cos6=——，

22122）5v75

5

4

所以由6>w(0,兀)得sin6=

5

1+sin26l+2sin6cos。

所以+cos6+cos6=

cos2^-sin2^cos26^-sin2^

故選：A.

5.B

【解析】

9JTF

【分析】利用圓錐側(cè)面積公式S=7i?推得廠=1，再由側(cè)面展開圖的圓心角公式a=—「推得/=3r,

由此得到兩圓錐高分別為2立與6，從而求得兩圓錐體積的比值.

【詳解】依題意，不妨設(shè)甲圓錐的底面半徑為廠，高為h,乙圓錐底面半徑為R,高為H,

貝ij'=3兀r，S2=3兀7?,

IS[13兀rr1

由丁一彳得——=一=一，

S,23兀RR2

故火=2廠，因?yàn)閭?cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，

所以271r+2TIR=6兀，

故廠=1，所以/?=J/2—1=2^/2>H=J/2_尺2=y/5'

所以K-_26_M

所"一,一乖一丁

3

故選：B.

6.A

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性得到不等式得到-5Wa<T,分離常數(shù)后，由g(x)的單調(diào)性得到

a<4結(jié)合集合的包含關(guān)系得到P是4的充分不必要條件.

【詳解】〃龍)要在xe(—2,2］上單調(diào)遞減，

工2

2

則a+4<0,解得一

-a-l>l-2a-7

6

ax+4a(%—1)+4+〃4+〃

q：g(x)==a+空巴在(l,+8)為增函數(shù)，則4+a<0,

x-1x-1X-1

解得a<—4,

因?yàn)?5Wa<T是a<T的真子集，故命題P是命題4的充分不必要條件.

故選：A

7.B

【解析】

【分析】將函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象判斷命題甲，結(jié)合函數(shù)圖像利用

極限思想判斷命題乙.

【詳解】

函數(shù)/(x)=sinx+lnx的定義域?yàn)?0,+。),

導(dǎo)函數(shù)/'(x)=cosx+L(x>0),令/''(x)=0,得cosx=-L,

X九

所以函數(shù)八％)的極值點(diǎn)為函數(shù)>=85%">0)與函數(shù)y=」(x>0)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)y=cosx(x>0)與函數(shù)y=-‘(x>0)的圖象，

X

如圖所示，由圖可知，在區(qū)間(("T)兀，亞)("eN*)內(nèi)，

函數(shù)函數(shù)y=cosx(x>0)與函數(shù)y=-，(x>0)的圖象，

有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，且—<%<

所以命題甲正確；

因?yàn)閤.+i>x”〉0,函數(shù)y=-』(x>0)為增函數(shù)，

X

由圖像可知，隨著〃的增大，用與(2"—1)"越來越接近,距離越來越小,

2

兀

所以數(shù)列《七卜為遞減數(shù)列,命題乙錯(cuò)誤.

2

7

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)條件將/(x)=sinx+lnx的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)_f(x)=cosx+』(x>0)的“異

x

號”零點(diǎn)，先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再結(jié)合

命題甲、乙，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

8.C

【解析】

【分析】利用/(2+x)+/(x)=2/(—1)求出函數(shù)的周期為4,利用y=/(x—1)的對稱中心為(2,0)求

出〃龍)的對稱中心為(1,0),結(jié)合/(2+X)+/(x)=2/(—1)求出/(r)=/(%),然后利用周期性，

對稱性和單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】/(2+x)+/(x)=2/(-l),故/(4+x)+〃2+x)=2/(-1),

所以/(x)=/(x+4),

函數(shù)y=/(%—1)的對稱中心為(2,0),

函數(shù)y=/(%—1)往左平移I個(gè)單位得到函數(shù)y=/(%),

故函數(shù)y=/(x)的對稱中心為(1,0),

?.?/(2+x)+/(x)=2/(-l),令x=-1得,/(1)+/(-1)=2/(-1),

故/(-1)=/。)=。BP/(2+x)+/(x)=0,

且外”的對稱中心為。,0)，故"2+x)+/(-x)=0,

故y(—x)=/(x),即〃尤)的對稱軸為x=o.

對于A,/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，故/(0)>/(1)=0,

且/(x)=/(x+4),

所以/(2024)=/(0)>0,故A錯(cuò)誤；

對于B,/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，對稱中心為(1,0),

故f(0.5)+/(1.5)=0,且了⑴在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

則”1.5)>“1.6),

.-./(0.5)+/(1.6)<0,故B錯(cuò)誤；

8

對于c,5<log248<6,.\1<log248-4=log23<2,

FM21n31.099

且1嗎3=而>1.5,結(jié)合了（%）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,

0.693

故〃log248)=〃log248—4)=〃log23)<〃L5),故C正確;

對于D,lng=_ln3a_1.099,故"In；］=〃_ln3)°〃_1.099)=/(1.099),

且2sin三<2sinl<2sin—,A/2<2sinl<6,即1<1.099<2sinl<2,

43

結(jié)合在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，故〃2sinl）</［ln；）,故D錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過賦值法求出函數(shù)的周期性和對稱性，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求

解即可.

9.ACD

【解析】

【分析】結(jié)合分層抽樣性質(zhì)求出各社團(tuán)所需抽取人數(shù)判斷A,求隨機(jī)變量X的分布列，判斷BD,由期

望公式求X的期望，判斷C.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)分別需抽取蒼-Z人，則

%_y_z_7

14-21-14-14+21+14?

所以％=2,y=3,z=2,

所以從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人，A正確；

隨機(jī)變量X的取值有1,2,3,

d1C2cl4c3C°

p(X=l)=y=Lp(x=2)=*=±p(x=3)=y2

l/C；7l/C7l/C7

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X123

j_42

P

777

所以B錯(cuò)誤；

14215

由期望公式可得隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=1X5+2X,+3X,=3,C正確;

2

因?yàn)镻（A）=P（X=3）=5,所以D正確.

故選：ACD.

9

10.AD

【解析】

【分析】對于A,代入化簡即可；對于B,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對于C,D利用基本不等

式求解即可，要注意等號是否能取到.

_川十“?eln2In22In2

【詳解】對于A,/(ln2)=-----b-j-7=-----1-----,

八'ln2eln2ln22

，/ieln4ln4421n22ln2

/伽4)=.+聲=----------1----------——+——,/./(ln2)=/(ln4)，故A正確.

21n24ln22

xx

P,r_Pr

對于B,/(x)的定義域?yàn)?0,1),(x)=—蕓一+7

九I\

令g(x)=e*-x,XG(0,-H?),則/(%)=1-1>0在(0,+動(dòng)上恒成立,

所以g(%)在(0,+“)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=l即以一芯>0,

.?/⑺<0.?./⑺在(0,1)單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

xX/、

對于C,當(dāng)％<0時(shí)，/(%)=—e+—<0,此時(shí)不存在加wR,使/(機(jī))=2；

xe

e*x_

當(dāng)%>0時(shí)，y(x)=—+4>2,—,—=，,

xex

由B知，］>X，等號取不到，故不存在加eR,使/(加)=2,故C錯(cuò)誤;

xX/、

對于D,當(dāng)黑>0時(shí)，=eF—>0,此時(shí)不存在〃￡R,使/⑺二一2；

xe

+

當(dāng)龍<0時(shí)，/W=7fKT總“2舊言—2,

令g(x)=e"+x,XG(^O,0),貝！Ig，(x)=e*+1>0在(一oo,。)上，恒成立,

所以g⑴在(f,0)上單調(diào)遞增，因?yàn)間(0)=l>0,g(-l)=e-1-l<0,

v

所以e(-1,0),使得g(%o)=e~+毛=0,即e°=-x0,

10

所以存在〃eR，使/(〃)=一2,故D正確.

故答案為：AD.

11.BC

【解析】

【分析】根據(jù)曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)“新橢圓”定義，求得其方程，畫出“新橢圓”

的圖象，結(jié)合圖象，可判定B、C正確；根據(jù)“新橢圓”的圖象，結(jié)合三角形和矩形的面積公式，可判定D

錯(cuò)誤.

【詳解】對于A中，因?yàn)锳(3,3),3(6,7),可得d(A5)=|6—3|+|7—3|=7,所以A不正確；

對于B中，設(shè)“新橢圓”上任意一點(diǎn)為尸(x,y),

根據(jù)''新橢圓"的定義，可得k+d+H+卜—C|+N=2?,即k+d+卜—c|+2H=2。，

當(dāng)x<-c,y<0時(shí)，可得一%一丁=。；當(dāng)x<-c,y>0時(shí)，可得—x+y=a；

當(dāng)-c<x<c,y<0時(shí)，可得c—y=a；當(dāng)-c<x<c,y>0時(shí)，可得c+y=a；

當(dāng)x>c,y<0時(shí)，可得大一丁=。；當(dāng)x>c,y>0時(shí)，可得無+y=a,

當(dāng)尤=c時(shí)，可得y=±(a-c)；當(dāng)工=-<:時(shí)，可得y=±(a-c)；

當(dāng)y=0時(shí)，可得％=±a,

作出“新橢圓”圖象，如圖所示，

可得“新橢圓”關(guān)于左軸，V軸，原點(diǎn)對稱，所以B正確；

對于C中，由“新橢圓”的圖象，可得了的最大值為。，所以C正確;

對于D中，設(shè)“新橢圓”的圖象，圍成的六邊形為A3CDEF,

c+y=a

聯(lián)立方程組〈，解得x=c,y=?！猚,所以A(—c,a—c),則E(—c,c—a),

-x+y=a

根據(jù)“新橢圓”的對稱性，可得:

11

“新橢圓”圍成的面積為S=2S.AEF+SaABDE=2x^x\AE\-\MF\+\AB\-\AE\

—2x—x(2a—2c),(tz—c)+2c,(2a—2c)-2(t?2—c2),所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

1

12.-

3

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件列方程，求得。與〃的關(guān)系式，從而求得雙曲線的離心率.

la+lc-m

31

【詳解】依題意，<a-c-n,則nI。=一〃,c=一〃，

22

m=4n

c1

所以離心率e=—=不

a3

13.—

3e

【解析】

【分析】設(shè)曲線/(力=則與曲線8⑴二加色〉。)的公共點(diǎn)為(％,%)，由題意可以得到

/(：o)-g'o)列出關(guān)于a,%的方程并進(jìn)行求解即可.

[fM=gM

【詳解】由/'(x)=U竺的定義域?yàn)?o,+“)，

X

工竺與曲線g(%)=雙25>0)的公共點(diǎn)為(3,%),(x>0),

因此設(shè)曲線/'(%)=0

即上^Q_=①，

貝1」/(%)=8(不),

%

又r(x)=Tg'(x)=2ax,且兩曲線在公共點(diǎn)有公切線,

X

1-lnxn八

則/'(%)=g'(』),即——=2axQ@,

12

①②聯(lián)立消去a得21nx°=1—1慢，解得i,

]_

lnxIne31

Z7----n----------

代入①可得.(1V3e，

I)

故答案為：—

3e

14.-1

【解析】

【分析】首先利用二項(xiàng)式定理求(0+1)”的展開式，從而確定x,后y的值，再利用二項(xiàng)式定理求

(、巧-1)”的展開式，并把展開式用羽、歷y表示，最后求出爐―2產(chǎn)的值.

【詳解】由(0+=C)(0『+J(④廣+4(后廠…+C器(岡+C北(0)°

=x+y[2y?,

則x=C)(3『+《9(④?北(④)。，0〉=c)(0/+C；9(3『…+C副血卜

X(A/2-1)"=C；9(V2)"(-1)°+C；9(V2)98(-1)'+C；9(應(yīng))”(-1)2…

+C副何(一10+醴(0)(-1)"

=C；9(V2)98(-1)1+C；9(_以…+喘(夜)。(_球9

+C；9(V2)"(-1)°+《9(A/2)97(-1)2...+C^11

=—X+y[2y②,

①義②得(0+l『x(亞—1/=(x+岳卜卜X+0),

即1=—丁+2/，因此2/=—1,

故答案為：-1

13

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于通過觀察(應(yīng)+1J9的展開式，發(fā)現(xiàn)展開式中一部分是整數(shù)，一

部分是含血的整數(shù)倍，從而確定的值，考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用二項(xiàng)式定理求展開式，

是一道綜合性比較強(qiáng)的題.

15.(1)前3局中乙恰有2局獲勝的概率為2.

9

Q

(2)比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了5局比賽的概率為一.

27

【解析】

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求前3局中乙恰有2局獲勝的概率；

(2)根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率即可.

【小問1詳解】

設(shè)事件甲第i局比賽獲勝為4,，=L2,3,4,5,6,7,

則尸(4)=|,P(A)=j-

事件前3局中乙恰有2局獲勝可表示為4AA+4AA+4AA，

又于(A44+A4A++尸，

所以

42A+74A)=P(A)P(4)P(W)+PW)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(A),

所以+A4A+A4A),

所以前3局中乙恰有2局獲勝的概率為2.

9

【小問2詳解】

設(shè)事件比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了5局比賽為B,

事件前4局甲勝3局且第5局甲勝為C,

事件前4局乙勝3局且第5局乙勝為D,

則5=。+。，且事件互為互斥事件，

3

^LUP(B)=P(C)+P(D)=C>f|L|x|+C^jxWx1=A,

\JJJJJ\JJJ乙/

Q

所以比賽結(jié)束時(shí)兩位選手共進(jìn)行了5局比賽的概率為—.

27

16.(1)—(2)立

32

【解析】

【分析】(1)由acosC—J3〃sinC—Z?+c=0，利用正弦定理，再化簡可得百sinA+cosA=l，可

14

得sin(A+g]=:，求得4=2；

I6；23

(2)由6=2,A=@,Swc=巫,可得c=3,在VA5C中，由余弦定理解得a=J歷，得

BM=叵,由余弦定理求得cos8=±叵，在AABM中，由余弦定理即可求得AM=立.

2192

小問1詳解】

因?yàn)閍cosC-百asinC-Z?+c=0，

由正弦定理得sinAcosC-J^sinAsinC-sinB+sinC=0，

在VABC中，sinB=sin(A+C),

貝UsinAcosC-gsinAsinC-sinAcosC-cosAsinC+sinC=0，

得—A/3sinAsinC—cosAsinC+sinC=0,

因?yàn)?￡(0,兀),sinCVO,

所以A^sinA+cosA=1，即2sinfA+=1,sinfA+—J=—,

「4(c\?！肛?兀、…'7i5兀?一.2兀

又AG(O,TI),則A+豆J,則A+q=y,所以A=§.

【小問2詳解】

2兀

因?yàn)樨?2,A=——,

3

.P17.43^3

田3ARC=—besinA------，

△ADC22

所以工x2xcx^=更，解得c=3,

222

在VA5C中，由余弦定理得

a=/+/_2bccosA=4+9-2x2x3x19,

則。=加，又M為BC邊上的中點(diǎn)，所以《叵

2

在VA5C中，由余弦定理得

15

a2+c2-b219+9—44M

則cosB=

2ac2xMx3-19'

在△?1碗中，由余弦定理得

,,,19J194M7

AM2=AB2+BM2-2ABBMcosB=9+--2x3xy—x^—=-

42194

所以

2

17.(1)見解析(2)巫

7

【解析】

【分析】(1)設(shè)AB的中點(diǎn)為E，證明CE,平面然后利用線面垂直證明面面垂直即可;

(2)作出二面角A-四-C的平面角，然后利用線面關(guān)系作出二面角4-AC-3的平面角，然后利用

余弦定理求余弦值即可.

【小問1詳解】

設(shè)A3的中點(diǎn)為E，連接CE，AE,如圖所示,

JT

因?yàn)閂A5C與△A%均為等腰直角三角形，ZACB=ZAA.B=-,

故BC=ABcos45°="CE1AB,且以=345=14石=；筋=1，

因?yàn)锳ABC為等邊三角形，故夜，

故AC?=?！?+4石2,即CE，AE,

且AB，AEu平面441B，4EcAB=E,

故CE，平面MB,且CEu平面ABC,

故平面AA13,平面ABC.

【小問2詳解】

16

由（1）知，CE1AB,A3,且平面A415c平面ABC=AB,

TT

故NCE4即二面角A-AB-C的平面角，即NCE4=1,

故ACEA為等邊三角形，則CA=CE=1,

因?yàn)镃E1AB,4E，AB,cCE=E，且CE,AEu平面C4E,

所以AB，平面CAXE,M，故44±平面CAXE,

且ACu平面CAE，故A41AC,則Be=耳+廿=后

設(shè)AC和用C中點(diǎn)分別為M,N,連接

C

則MNHA.B,,MN=；=1,故"N，A。,

又因?yàn)?。=43=夜，故?a。，

且MNu平面A耳C,BMu平面\BC,

故NBMN即二面角4-AC-B的平面角,

且3Af=jBC2-CAf2

因?yàn)?4=9=及=3。,故3N，B|C,

則BN=y/BC2-CN2=JBC2-RB]Ci24

73

,…，BM"+MN"-BN"1+4277

所以cosNBMN=-----------------------=2~~產(chǎn)上=-----

2BMMNV77

2x——xl

2

故面角B.-A.C-B的平面角的余弦值為次.

7

17

18.（1）E:X2-^=1（2）而■或—步?

【解析】

序A2

【分析】（1）將％。代入曲線石得y=±幺，故得|A用=忸用=幺，從而結(jié)合雙曲線定義以及題

aa

意得，解出。即可得解.

4b

—+447=16

.a

（2）由題意得直線/的斜率存在且不為0,設(shè)/：元=沖+2（根，0）,接著與曲線E聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)

定理求得%+上和%%，由比=3￡萬得%=-3%,與韋達(dá)定理結(jié)合即可求出加2,進(jìn)而即可得直線

的斜率.

【小問1詳解】

2272

將無=一。代入E：=］（〃>0/〉0）,得y=±,

aba

所以|A周=忸耳|=2,所以3閭=忸詞=乙+2口,

a

所以由題得《

4/

—+4。=16

La

所以雙曲線E的方程為E:必—匯=1.

3

【小問2詳解】

由（1）知耳（2,0）,顯然當(dāng)直線/的斜率不存在或/的斜率為0時(shí)，恒=3”不成立,

故直線/的斜率存在，且不為0,設(shè)/:x=%y+2（mw0）,。（石,％）,￡>（x,,y2）,

18

x=my