中考數(shù)學相似三角形必背知識手冊（公式、定理、結(jié)論圖表）

知識必備08相似三角形（公式、定理、結(jié)論圖表）

、思維導圖

|、知識梳理

考點一、比例線段

1.比例線段的相關(guān)概念

如果選用同一長度單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的

比是

am

或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.

bn

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成

比例線段，簡稱比例線段.

若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項，線段a,d

叫做比例外項，線段b,c叫做比例內(nèi)項.

ah

如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即7=—或a：b=b：c,那么線段b叫做線段

bc

1

a,c的比例中項.

2、比例的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：d=ad=be②a：b=b：cQb?=CIC.

（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項或外項）

~（交換內(nèi)項）

ca

acWdc〃工、

—=—=>］（父換外項）

bdba

db

—二—（同時交換內(nèi)項和外項）

ca

achd

（3）反比性質(zhì)（交換比的前項、后項）：-=-^-=-

baac

ca±bc±d

（4）合比性質(zhì)：-——--------..........

bdbd

/l、6-2Hlcem,「八、a+c+e+—卜ma

（5）等比性質(zhì)：一二一二一二…二一（Zb7+d+f+—F〃WO）=>-----------------二一

bdfnb+d+f+—I-nb

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段

AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC二-----ABBO.618AB.

2

典例1:（2023?金昌）若q=3,則尤=（）

2b

32

A.6B.-C.1D.-

23

【分析】直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積即可得出答案.

【解答】解：?.?@=3,

2b

ab=6.

故選：A.

【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵.

典例2：2.（2023?甘孜州）若±=2,則二工1.

yy

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：?.?±=2,

y

2

x.y

——1=2—1=1

yy

故答案為：i.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì).

考點二、相似圖形

1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等

是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對應角相等，對應邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.

(2)相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線

的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

【要點詮釋】

結(jié)合兩個圖形相似，得出對應角相等，對應邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它

角的度數(shù)和線段的長.對于復雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的

辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形

相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相

似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比

對應相等，那么這兩個三角形相似.

典例3：(2023?泰州)兩個相似圖形的周長比為3:2,則面積比為_9:4_.

【分析】由兩個相似圖形，其周長之比為3:2,根據(jù)相似圖形的周長的比等于相似比，即可

求得其相似比，又由相似圖形的面積的比等于相似比的平方，即可求得答案.

3

【解答】解：???兩個相似圖形，其周長之比為3:2,

其相似比為3:2,

其面積比為9:4.

故答案為：9:4.

【點評】此題考查了相似圖形的性質(zhì).此題比較簡單，注意熟記定理是關(guān)鍵.

典例4：（2023?威海）如圖，四邊形4BCD是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：

使D4邊落在。。邊上，點/落在點X處，折痕為DE；使C8邊落在8邊上，點2落在

點G處，折痕為CF.若矩形HE尸G與原矩形48C。相似，AD=1,則CD的長為（）

【分析】設HG=x,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NN=//￡>〃=90。，AD=BC=\,再根據(jù)折疊的

性質(zhì)可得：N4=NAHE=90°,AD=DH=\,BC=CG=\,從而可得四邊形4D/花是正方

形，然后利用正方形的性質(zhì)可得==最后利用相似多邊形的性質(zhì)，進行計算即可

解答.

【解答】解：設HG=x,

■.,四邊形48CD是矩形，

N4=NADH=90°,AD=BC=\,

由折疊得：Zyi=ZAHE=90°,AD=DH=\,BC=CG=\,

二四邊形NDLE1是矩形，

AD=DH,

.?.四邊形ADHE是正方形，

:.AD=HE=\,

?.?矩形HEFG與原矩形ABCD相似，

GHHE

"AD-Z）C'

X_1

一廠1+x+l'

解得：x=-1或x=--1,

經(jīng)檢驗：X=后一1或工=一行一1者B是原方程的根,

?「GH>0,

4

：.GH=yJ2-l,

DC=2+x=y/2+1,

故選：C.

【點評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解一元二次方程-公式法，矩形的性質(zhì)，翻折變換

（折疊問題），正方形的判定與性質(zhì)熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

典例5:（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1:4,則這兩個三角形對應邊的比是（

）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長的比等于相似比，求解即可.

【解答】解：?.?兩個相似三角形周長的比為1:4,

，這兩個三角形對應邊的比為1:4,

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

典例6:（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展

數(shù)學活動.有一張矩形紙片/BCD如圖所示，點N在邊/。上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為8N,

點/對應的點記為點若點M恰好落在邊DC上，則圖中與ZWDM一定相似的三角形是

AMCB_.

A:__________________J

M

DMC

【分析】利用矩形的性質(zhì)得到ND=NC=90。,然后利用折疊的性質(zhì)推導出

NBMN=NA=90°,進而得到ZDNM=NCMB,由此推斷出\NDM^\MCB.

【解答】解：???四邊形是矩形，

NA=ND=NC=90°,

ZDNM+ADMN=90°,由折疊的性質(zhì)可知，ZBMN=ZA=90°,

ZDMN+ACMB=90°,

ZDNM=ACMB,

:.ANDM^\MCB,

故答案為：AMCB.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)以及翻折變換（折疊問題），熟練

掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵：兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相

似.

典例7：（2023?雅安）如圖，在口48cA中，歹是/D上一點，CF交BD干■點、E,CF的延

5

長線交84的延長線于點G,EF=\,EC=3,則Gb的長為（）

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出4D//5C,AB//CD,AD=BC,于是推出

ADEF^ABEC,ADFC^AAFG,先求出。方與5C的比值，繼而得出分與Zb的比值，

再根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求出GF的長.

【解答】解：???四邊形是平行四邊形，

/.AD//BC,AB//CD,AD=BC,

???AD/IBC,

NDEFsbBEC,

DF_EF

'：EF=\,EC=3,

DF_1

-----——,

BC3

即空」

AD3

DF_1

---—-一，

AF2

???AB//CD,

/.\DFC^\AFG,

DF_CF

一壽一赤’

?/EF=\,EC=3,

/.CF=4,

1_4

..二,

2GF

Gb=8,

故選：C.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性

6

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

典例8：（2023?哈爾濱）如圖，AC,3。相交于點。，ABHDC,〃是N8的中點,

MNI/AC,交AD于點N,若。。：OB=1:2,AC=12,則MN的長為（）

A

A.2B.4C.6D.8

【分析】由NB//DC易得ACDOSA43O,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得生=,，于是

OA2

AC=OA+OC=OA+-OA=U,求出04=8,易得MN為A40B的中位線，則

2

MN=-OA.

2

【解答】解：45//DC,

/.ACDOS^BO,

OPPC

'~OB~~OA'

???。。：05=1:2,

OC

-----——f

OA2

二.OC=-OA,

2

-：AC=OA+OC=n,

:.OA^-OA=n,

2

/.OA=8f

\-MN//AC,M是48的中點，

:.MN為MOB的中位線，

MN=-0^=—x8=4.

22

故選：B.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，熟記“8”字模型

相似三角形，以及三角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

考點三、位似圖形

1.位似圖形的定義：

兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，不經(jīng)過交點的對應邊互相平行,

7

像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.

2.位似圖形的分類：

(1)外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外.

(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上.

3.位似圖形的性質(zhì)

位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；