2024-2025學(xué)年江蘇省淮陰區(qū)高三實驗A班小題專項訓(xùn)練2（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省淮陰區(qū)高三實驗A班小題專項訓(xùn)練2

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)滿足z+目=4+8i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知正方體ABC。-AgGR的體積為丫，點以，N分別在棱8月，CG上，滿足AM++最小，則四

面體的體積為()

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

'x+y>2,

3.若實數(shù)乂丁滿足不等式組3x-y<6,則3x+y的最小值等于()

x-y>0,

A.4B.5C.6D.7

4.若復(fù)數(shù)網(wǎng)電(aeR)是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)2a+2,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知集合&={尤|卜一1|43,X￡2},3=卜￡2|2，￡4},則集合3=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)

V21-1

A.—B.J2C.1D.-

24

7.設(shè)〃=0.82。5,人二sinl,c=lg3,則〃，b,。三數(shù)的大小關(guān)系是

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<b<aD.b<c<a

8.已知定義在R上函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于原點對稱，且〃l+x)+/(2—力=0,若/⑴=1,則

〃1)+/(2)+/(3)++/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

9.已知集合乂={丫Iy=1,x>0},N={xIy=lg(2x一二，)},則MAN為()

A.(1,+oo)B.(1,2)C.[2,+oo)D.[1,+oo)

22

10.已知F]、K是雙曲線當(dāng)=1(。>0/>0)的左右焦點，過點工與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另

ab

一條漸近線于點若點M在以線段耳工為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是()

A.(2,+oo)B.(V3,2)C.(A/2,73)D.(1,72)

11.《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)

科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖,

八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為10根，陰陽太極圖的半徑為4根，則每塊八卦田的面積

約為()

A.47.79m2B.54.07m2

C.57.21m2D.114.43m2

12.若直線y=Ax+l與圓丫2+產(chǎn)=1相交于產(chǎn)、。兩點，且NPOQ=120。(其中。為坐標(biāo)原點)，則上的值為()

A.V3B.72C.或一6D.應(yīng)和一遮

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=cosx-log2(2*+l)+依(aeH)為偶函數(shù)，則。=.

14.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱錐P-A5CD為

陽馬，側(cè)棱底面ABC。，且上4=3,BC=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為r，則

R

15.若復(fù)數(shù)z=l—3i(i是虛數(shù)單位)，貝(Iz&-10)=

+2,n=2k—l,ksN*

16.已知數(shù)列(｛?！埃那皫醉椇蜑镾〃嗎=1,〃2=2,4+2=",,*，貝！|滿足2019<S,”<3000的正整

[2an,n=2k,kGN

數(shù)機的所有取值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是。，b,c,已知(a—曠=°2_曲.

(1)求角C；

(2)若《ccoslA+^l+bsinCuO,a=l,求AABC的面積.

18.(12分)已知A是拋物線E：V=2pxg>0)上的一點，以點A和點3(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x=l于M,

N兩點.

(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程；

(2)若0<p<l,拋物線E與圓(*-5)2+產(chǎn)=9在x軸上方的交點為尸，Q,點G為尸。的中點，O為坐標(biāo)原點，求直

線OG斜率的取值范圍.

19.(12分)已知在四棱錐尸—ABCD中，平面ABC。，R4=AB,在四邊形ABC。中，DA±AB,ADIIBC,

AB=AD=2BC=2,E為必的中點，連接￡>E,歹為。石的中點，連接AF.

D

(1)求證：AF±PB.

(2)求二面角A—EC—。的余弦值.

20.(12分)如圖，在直角AAOB中，OA=OB=2,AAOC通過AAOB以直線OA為軸順時針旋轉(zhuǎn)120。得到

(ZB(9C=120°).點。為斜邊AB上一點.點〃為線段上一點，且上出=逑

3

（1）證明：平面AOB；

（2）當(dāng)直線加。與平面A08所成的角取最大值時，求二面角5-CD-O的正弦值.

21.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前“項和為S“，且滿足4=_1，4〉0（〃22）,5'='"+1—9〃—1,“6力*,各項均為正

數(shù)的等比數(shù)列也｝滿足4=。2/3=%

（1）求數(shù)列｛%｝,｛%｝的通項公式；

（2）若c“=gajb”,求數(shù)列｛%｝的前〃項和1

22

22.（10分）已知橢圓C：.+/=l（a〉5〉0）,左、右焦點為耳、F2,點P為C上任意一點，若歸國的最大值為

3,最小值為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）動直線/過點工與。交于P、Q兩點，在X軸上是否存在定點A，使NP4月=NQAE成立，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

設(shè)z=a+bi(a,人eR),則z+忖=a+bi+y/a2+b2=4+,可得一+‘/+/=’,即可得到工，進(jìn)而找到對應(yīng)的點所

b=8

在象限.

【詳解】

設(shè)z=a+6?(a,beH)，則z+\z\=a+bi+y]a2+b2=4+8z,

.a+sla2+b2=4\a=-6

?.4,..s...Z——0+ol,

Ib=8lb=8

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(-6,8),在第二象限.

故選:B

本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限,考查復(fù)數(shù)的模，考查運算能力.

2.D

【解析】

由題意畫出圖形，將所在的面延它們的交線展開到與AM所在的面共面，可得當(dāng)8M=g§4，GN=gGC時

：V

A/+MN+N2最小，設(shè)正方體AG的棱長為3a,得a=力，進(jìn)一步求出四面體的體積即可.

【詳解】

?.?點M,N分別在棱331,CG上，要AM+MN+NR最小，將MN,NR所在的面延它們的交線展開到與40所在的面

共面，AM,即V,NR三線共線時，AM+MN+ND、最八、,

設(shè)正方體AG的棱長為3a,則27d=v,

?*.a3=――.

27

^BG=^BC,連接NG,則AGNR共面,

在AAN，中，設(shè)N到AD1的距離為此,

22

ADX=7(3tz)+(3tz)=3^2a,

D[N=J(3a￥+/=y/lQa,

AN=而缶￥+(2a￥=叵a,

10a2+22a2-18a27

cosND[NA=

2.Ma-叵a_2底'

sinND[NA=^^=

2455

.?.S=-D.NANsmZD.NA=-AD.-h=^^-a2

ZAL>IIVA2ii2ii2

設(shè)M到平面AGND］的距離為h2,

13屈/6aV_

?V—X---------

..VAMND132~9

故選D.

本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問題，考查計算能力，是中檔題.

3.A

【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求z的最小值.

【詳解】

x+y>2

解：作出實數(shù)x,V滿足不等式組上x-yV6表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）

x-y>0

x+y-2=0

由得

[x-y=oO

由z=3x+y得y=-3x+z,平移y=-3龍，

易知過點A時直線在V上截距最小，

所以J加=3xl+l=4.

故選：A.

本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題.

4.B

【解析】

化簡復(fù)數(shù)」一■由它是純虛數(shù)，求得從而確定2a+2,對應(yīng)的點的坐標(biāo).

1+i

【詳解】

2a+2i2(a+z)(l-z)<2+1=0

=a+l+(l-a)z是純虛數(shù),則Cl——1,

1+i(1+0(1-01—aH0

2a+2i=-2+2i,對應(yīng)點為(-2,2),在第二象限.

故選：B.

本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

弄清集合B的含義，它的元素x來自于集合4且2、也是集合A的元素.

【詳解】

因|x—1區(qū)3,所以—2W%<4,故4={—2,—1,0,123,4},又xeZ,2"eA，則x=0,l,2,

故集合3={0,L2}.

故選：D.

本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

?2020

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)—化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.

1-Z

【詳解】

;202011,?11

嚴(yán)2°=（六戶=15。5=i,一:?

\'1-z1-z+22

故選：A.

本題考查復(fù)數(shù)模長的計算，同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式，將。，b,c與J上,工比較即可.

\52

【詳解】

由a=0.82°5>O.8O5=J|,

c=lg3<1gVio=-|lgio=,

所以有c</?<a.選C.

本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等

價轉(zhuǎn)化.

8.B

【解析】

由題知為奇函數(shù)，且〃l+x)+/(2—力=0可得函數(shù)/(龍)的周期為3,分別求出

/(0)=0,/(1)=L/(2)=—1,知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進(jìn)行化簡可得.

【詳解】

因為/(九)為奇函數(shù)，故"0)=0；

因為〃1+力+〃2—力=0,故〃l+x)=—y(2—x)=/(x—2),

可知函數(shù)/(%)的周期為3；

在/(l+x)+/(2—x)=0中,令x=l,故〃2)=-〃1)=-L,

故函數(shù)/(x)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,

故/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=/(1)=1.

故選：B.

本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇

偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

9.B

【解析】

二=〔二IZi=2二，二>0}={二I二>力，

~=(二?二=18a二?-二；)}={二二一二/>0)

={z|二；一：二<0=［二v□5

.??二C二=

故選4

10.A

【解析】

Y2-V2

雙曲線j-4=1的漸近線方程為y=±-bX,

a-b1a

b

不妨設(shè)過點Fi與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=-(x-c),

a

與丫=-thx聯(lián)立，可得交點Mc,-h-e),

a22a

?..點M在以線段FiFi為直徑的圓外，

2b22

.,.|OM|>|OFi|,即有一c+—c->c',

44/

.*--->3,即N>3ai,

a-

Ac1-a1>33^即c>la.

則e=->l.

a

...雙曲線離心率的取值范圍是(1,+00).

故選：A.

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的

坐標(biāo)的范圍等.

11.B

【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的,，兩面積作差即可求解.

8

【詳解】

由圖，正八邊形分割成8個等腰三角形，頂角為幽=45，

8

設(shè)三角形的腰為。，

a_10ru

由正弦定理可得.135—sin45，解得a=10后sin至

所以三角形的面積為:

o1（-I-135-ACK1—COS135

S二—x10,2sm----sin45=5012----------=25（V2+1）,

222

所以每塊八卦田的面積約為：25(0+1)—■1X%X42土54.07.

故選：B

本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

直線過定點，直線y=kx+l與圓x?+y2=l相交于p、Q兩點，且NPOQ=120。(其中O為原點)，可以發(fā)現(xiàn)NQOx的大小,

求得結(jié)果.

【詳解】

如圖，直線過定點(0,1),

ZPOQ=120°ZOPQ=30°,nN1=120°,Z2=60°,

由對稱性可知k=±百.

故選C.

本題考查過定點的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.一

2

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡求得。的值.

【詳解】

由于/(%)為偶函數(shù)，所以/(—X)=/(%)，

XV

即cos(-x)-log2(2T+1)-ax=cosx-log2+l)+ax,

BPcosx-log2（2-*+1）-at=cosx-log2（2"+l）+av,

rx

即log2（2+l）-log2（2-+l）-2ax=0,

2X+1（2*+l）2—2ax=0,即logI------）------2ax=0，即

即log2——--2ax=0,即log?

（2-+1）2a2X+1

X

log22_2依=九-2or=（1—2〃）％=0,所以1-20=0,0=5.

故答案為：一

2

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

14.叵

2

【解析】

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，由此能求出R=內(nèi)切球。?在側(cè)面B4D內(nèi)的正視圖是

2

AR4D的內(nèi)切圓，從而內(nèi)切球半徑為廠=|,由此能求出?.

r

【詳解】

四棱錐P—ABCD為陽馬，側(cè)棱底面ABCD,

且上4=3,BC=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,

,該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，

,-.（27?）2=AB2+AD2+AP2=16+16+9=41,

側(cè)棱底面ABCD，且底面為正方形,

..?內(nèi)切球。1在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是△R4D的內(nèi)切圓,

,內(nèi)切球半徑為笆坦=1，

故￡=叵.

r2

故答案為畫.

2

p.

/少-----、——少"

BC

本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問題，補形法的運用，以及數(shù)學(xué)文化，考查了空間想象能力，是中檔題.解

決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有

很多，主要有兩種：（1）補形法（構(gòu)造法），通過補形為長方體（正方體），球心位置即為體對角線的中點；（2）外心

垂線法，先找出幾何體中不共線三點構(gòu)成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線，則

球心一定在垂線上.

15.35

【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可.

【詳解】

-z=l+3i，z（z—10）=（1—3z）（l+3z-10）=30z.

本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應(yīng)用.

16.20,21

【解析】

由題意知數(shù)列｛?｝奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)〃為奇數(shù)和九為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)

值檢驗即可.

【詳解】

解：由題意知數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，

偶數(shù)項構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，

則邑「=”+1+2（"1）咋2（1-獷）=2?+/_2；

2121-2

口+1+2（左-1）]%2（1-2）+1

=---------------1--------=2+k—2?

2k21-2

102

當(dāng)上=10時，S[9=2+IO?-2=1122,S20=2"+10-2=2146.

112122

當(dāng)上=11時，S21=2+11-2=2167,S22=2+11-2=4215.

由此可知，滿足2019<Sm<3000的正整數(shù)機的所有取值為20,21.

故答案為:20,21

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項與求和公式，是綜合題，分清奇數(shù)項和偶數(shù)項是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)-

3

(2)V3

【解析】

(1)利用余弦定理可求cosC,從而得到C的值.

(2)利用誘導(dǎo)公式和正弦定理化簡題設(shè)中的邊角關(guān)系可得b=4a,得到直后利用面積公式可求5AABC.

【詳解】

(1)由(a-/?)?=。2—",得/+〃一。2=".

2.z221

所以由余弦定理，得cose―

2ab2

又因為所以。

(2)由4ccos[A+1]+bsinC=0,得TcsinA+Z?sinC=0.

由正弦定理，得4ca=be,因為cwO,所以b=4a.

又因。=1,所以b=4.

所以AABC的面積S=—absinC-—xlx4x^--百.

222

在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊

次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那

么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.

21八⑥

18.(1)y=4x.(2)0,---

I2J

【解析】

(1)設(shè)A的坐標(biāo)為A(xo,yo),由題意可得圓心C的坐標(biāo)，求出C到直線尤=1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距

離及半徑構(gòu)成直角三角形可得P的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；

(2)將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理，進(jìn)而求出中點G的坐標(biāo)，再求出直線OG的斜率的表達(dá)式，換元

可得斜率的取值范圍.

【詳解】

（1）設(shè)A（xo,yo）且y（）2=2〃xo,則圓心C（也萬+一2'食"）’

圓C的直徑|A3|=］（%0_2）2+%2,

圓心C到直線X=1的距離d=|區(qū)二—1|=|迎|,

22

因為|MN=2,所以（絲Y）2+屋=（四）2,即］+式=（/—2）2+%2,2=2

2244

整理可得（2p-4）無o=O,所以p=2,

所以拋物線的方程為：y2=4x；

fy2=2px

（2）聯(lián)乂拋物線與圓的方程,整理可得尤2-2（5-p）x+16=0,△>0,

l（x-5）2+y2=9

設(shè)P（xi,yi）,Q（尤2,>2）,則尤1+及=2（5-p）,xi尤2=16,

所以中點G的橫坐標(biāo)XG=5-p,yG=1（C+JE）=,9P-P?，

所以koG=瓦(0<P<l),

5-P

2Q+t-t21型+Ld<"),

令t=5-p(/￡(4,5)),貝UZOG二

2t2t5t4

Ji

解得0<%GV注,

2

所以直線OG斜率的取值范圍（0,—）.

2

本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合，換元方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

所

19.（1）見解析；（2）上

7

【解析】

（1）連接AE,證明4￡_1依得到？8，面4￡）石，得到證明.

（2）以％,AB，AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—盯z,〃=（1,一1,2）為平面A￡C的法

向量，平面DEC的一個法向量為加=（3,1,2）,計算夾角得到答案.

【詳解】

（1）連接AE,在四邊形ABCD中，DA^AB，24,平面ABCD,

4￡^面48。。，；.4￡）,上4，PAAB=A,.?.A￡）上面R43,

又一PBu面PAB，:.PB±AD,

又?.,在直角三角形ALB中，PA=AB，E為PB的中點，.?.AELPB，ADcAE=A，.?.尸5,面ADE,AFc

面ADE,:.AF±PB.

（2）以Rl，AB，AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z,

尸（2,0,0）,5（0,2,0）,￡（1,1,0）,C（0,2,l）,A（0,0,0）,D（0,0,2）,

n-AC=02y+z=0

設(shè)〃=（羽y,z）為平面AEC的法向量,AC=（O,2,l）,AE=（l,l,0）,<[x+y=0，令-1，則,=一1，

n-AE=0

z=2,「.〃=（1,—1,2）,

同理可得平面DEC的一個法向量為m=（3,1,2）.

3—1+4A/21

設(shè)向量加與〃的所成的角為夕,/.cos9二

A/6x^47

由圖形知，二面角A—￡。一。為銳二面角，所以余弦值為3.

7

本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.

20.（1）見解析；（2）依叵

35

【解析】

(1)先算出的長度，利用勾股定理證明05,再由已知可得Q4L0M,利用線面垂直的判定定理即可證

明；

(2)由(1)可得NMDO為直線與平面A05所成的角，要使其最大，則OD應(yīng)最小，可得。為A3中點，然后

建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.

【詳解】

(1)在AMOfi中，Z(9BC=30，由余弦定理得

0M=VOB2+BM2-2OB-BM-cos30=，

3

?>-OM-+OB2=MB2，

/.OMLOB,

由題意可知：AOA±OB,OA±OC,OBOC=O,

OA_L平面COB,

ONu平面COB,AOA±OM,

又OA\OB=O,

OM±平面AOB.

(2)以。為坐標(biāo)原點，以。M，OB，OA的方向為x，，，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

平面AOB,在平面A08上的射影是OD,

二血。與平面所成的角是NMDO,NMDO最大時，即ODLAB,點。為A6中點.

8(0,2,0),C(A/3,-1,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(—6,2,1),

DB=(0,l,—1)>OD=(0,1,1),設(shè)平面CD3的法向量力=(x,y,z),

n-CD=0,\-s/3x+2y+z=0

由，得《令z=l，得y=l,x=6,

n-DB=0[y-z=0

所以平面CDB的法向量〃=(V3,1,1)-

./.m-CD=0—j3x+2y+z=0

同理，設(shè)平面COO的法向量m=(x,y,z),由，得<,

\7[m-OD=Q[y+z=0

令y=l,得z=—l,x=18,所以平面COO的法向量m=^,1,-1，

3I3J

..V105.[3-4y/70

,,cos<m,n>=------，sin<m,n>=JI---------，

35V3535

故二面角B-CD-O的正弦值為生CO.

35

本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道中檔題.

21.(1)/=3"-4；bn=r(2)1=(3〃-7)?2"+7

【解析】

(1)由S“=%+-9〃T化為=6s.+9〃+1,利用數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系，得到｛4｝是首項為1,

6

公差為3的等差數(shù)列求解.

⑵由⑴得到C