中考數(shù)學復習：簡單事件的概率（全章知識梳理與考點分類講解）

專題2.1簡單事件的概率(全章知識梳理與考點分類講解)

第一部分【知識點歸納】

【知識點11必然事件、不可能事件、隨機事件

(1)概念的理解：在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相

反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可

能不會發(fā)生的事件稱為隨機事件。

必然事件和不可能事件是否會發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件。

(2)事件發(fā)生的可能性的大?。罕厝皇录目赡苄宰畲?，不可能事件的可能性最小，

隨機事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。

【知識點2】概率

(1)隨機事件的概率：一般地，對于一個隨機事件A,我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，

稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記作P(A).

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A

包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=—.由m和n的含義可知OWmWn,因此

n

OW絲W1,因此O<P(A)<1.

n

當A為必然事件時，P(A)=1；當A為不可能事件時，P(A)=O.

(2)用實驗法求概率：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可

能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=-0

n

(3)用列表法求概率：當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重

不漏地列出所有可能的結果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生

的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。

(4)用樹形圖求概率

當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有

可能的結果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求

出概率的方法。

要點提示：(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時求概率的方法。(2)

在用列表法和樹形圖法求隨機事件的概率時，應注意各種情況出現(xiàn)的可能性務必相同。

【知識點4】用頻率估計概率

在隨機事件中，一個隨機事件發(fā)生與否事先無法預測，表面上看似無規(guī)律可循，但當我們

做大量重復試驗時，這個事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗后，可以用一個

事件發(fā)生的頻率作為這個事件的概率的估計值。

一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率以穩(wěn)定于某一個常數(shù)P,那么事件A

n

發(fā)生的頻率尸（A）=p

第二部分【題型展示與方法點撥】

【題型11事件的分類與事件發(fā)生可能性的大小

【例1】（22-23八年級上?全國?單元測試）某路口南北方向紅綠燈的設置時間為：紅燈40s、綠燈60s、黃

燈3s.小明的爸爸隨機地由南往北開車到達該路口，問：

（1）他遇到紅燈的概率大還是遇到綠燈的概率大？

（2）他遇到紅燈的概率是多少？

【答案】⑴綠燈的概率大（2）（4：0

【分析】（1）直接利用概率的意義得出遇到綠燈的概率大；

（2）利用綠色燈亮的時間除以三種顏色燈的設置時間，進而得出遇到紅燈的概率.

解：（1）每一時刻經(jīng)過的可能性都相同，南北方向紅綠燈的設置時間為：紅燈40s、綠燈60s、黃燈3s

回綠燈時間比紅燈時間長，

回他遇到綠燈的概率大；

（2）團在103s內，紅燈的時間是40s

回他遇到紅燈的概率是送40.

【點撥】本題主要考查了概率的意義以及概率求法，正確理解概率的意義是解題關鍵.

【變式1】（2024九年級下?河南?學業(yè)考試）經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈.這個事件是（）

A.必然事件B.不可能事件C.隨機事件D.確定性事件

【答案】C

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可.

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，不

可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也

可能不發(fā)生的事件.

解：“經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”這個事件是隨機事件，

故選：C.

【變式2】（24-25七年級上?山東青島?開學考試）某省于2021年實行新高考"3+1+2"方案."3"是指語文

數(shù)學外語三門學科為必考科目，"1"是指考生在物理和歷史兩門學科里面必須選一科，"2"是指考生在剩下

的化學、生物、思想政治、地理四門學科中選擇兩科.這樣，新高考方案中最多出現(xiàn)種考試科目組.

【答案】工2

【分析】本題主要考查可能性的大小即乘法原理，根據(jù)乘法原理得出結論是解題的關鍵.根據(jù)可能性大小

或乘法原理得出結論即可.

解：；"3"是指語文、數(shù)學、英語三門必考科目，

，只有1種選擇，

"1"是指考生在物理和歷史兩門中必須選一科，

，有物理和歷史2種選擇，

"2"是指考生在剩下的化學、生物、思想政治、地理四門中選擇兩科，

，有化學+生物，化學+思想政治，化學+地理，生物+思想政治，生物+地理，思想政治+地理6

種選擇，

二新高考方案中最多出現(xiàn)1x2x6=12（種）考試科目組，

故答案為：12

【題型2】由概率的公式求概率

【例2】（23-24八年級上?陜西榆林?開學考試）暑假期間，某商場為了吸引顧客，對一次購物滿500元的

顧客可獲得一次轉轉盤得獎券的機會.如圖是一個可以自由轉動的轉盤（轉盤被等分成10個扇形），轉動轉

盤停止后，根據(jù)指針指向參照下表獲得獎券（指針指向黃色區(qū)域不獲獎，指向分界線時重轉，直到指向某

一扇形為止）

顏色紅藍黑

獎券金額（元）205080

（1）甲顧客購物300元，他獲得獎券的概率是；

（2）乙顧客購物600元，并參與該活動，他獲得20元和80元獎券的概率分別是多少？

（3）為加大活動力度，現(xiàn)商場想調整獲得20元獎券的概率為:，其余獎券獲獎概率不變，則需要將多少

個黃色區(qū)域改為紅色？

【答案】（1）0⑵（，2⑶3

【分析】（1）用消費的錢數(shù)和500元比較即可確定能否參與抽獎，不能參加抽獎則獲得獎金的概率為0；

（2）用概率公式求解即可；

（3）設需要將x個黃色區(qū)域改為紅色，根據(jù)20元獎券的概率為二列方程求解即可.

2

解：（1）0300<500,

回小明購物300元，不能獲得轉動轉盤的機會，

田小明獲得獎金的概率為0;

故答案為：0.

（2）乙顧客購物600元，能獲得一次轉動轉盤的機會，

由題意可知，每轉動一次轉盤，共有10種等可能的結果，其中紅色的有2種，黑色的有1種，

所以指針指向紅色的概率為2=2，

指針指向黑色的概率為

所以他獲得20元和80元獎券的概率分別為上.

（3）設需要將x個黃色區(qū)域改為紅色，

則由題意得，\r+，2=七1，

解得：x=3,

所以需要將3個黃色區(qū)域改為紅色.

【點撥】本題考查了概率公式，根據(jù)概率進行計算，概率的意義，熟練掌握概率公式是解題的關鍵.

【變式1］（23-24九年級上?全國?單元測試）已知電流在一定時間段內正常通過電子元件"■"的概率是

0.5；則在一定時間段內，由該元件組成的圖示電路A、3之間，電流能夠正常通過的概率是（）

AB

A.0.75B.0.525C.0.5D.0.25

【答案】A

【分析】本題考查了等可能事件的概率，解題的關鍵是理解兩個電子元件只要有一個能正常通過，電路A、

8之間電流能夠正常通過.根據(jù)電流能正常通過的概率=1-電流不能正常通過的概率，即可解題.

解：

解：.電流在一定時間段內正常通過電子元件"■"的概率是0.5,

電流不能正常通過電子元件"■"的概率也是是0.5,

由圖可知：兩個電子元件"■"同時不正常運行即電流不能正常通過的概率為：0.5x0.5=0.25,???圖

中電流能夠正常通過的概率是1-Q25=0.75,

故選：A.

【變式2】（23-24八年級下?上海長寧?期末）一個不透明的袋子中裝著除了顏色外均相同的若干紅球和6

個藍球，從中隨機摸出一個球，如果摸到紅球的概率是:，那么袋子中共有個球.

4

【答案】8

【分析】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結

果數(shù).根據(jù)概率公式列方程計算.

解：設袋子中共有尤個球，根據(jù)題意得：

x-61

x4,

解得，x=8

經(jīng)檢驗：x=8是分式方程的解，

故答案為：8.

【題型3】用列表法或樹狀圖求概率

[例3]（2024?陜西咸陽?模擬預測）電影《長安三萬里》在銀幕上展現(xiàn)了長安（今西安）盛世大唐的詩意

之美，各地游客慕名而至，感受穿越千年的唐文化盛宴.小亮和許偉同學計劃利用五一假期的四天時間打

卡以下4個景點：小雁塔、陜西歷史博物館、大唐不夜城、華清宮，他們每天分別打卡1個景點，順序隨

機.

（1）小亮同學第一關打卡的景點是陜西歷史博物館的概率是.

（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求出小亮和許偉同學第一天打卡的景點相同的概率.

【答案】⑴：；（2）^.

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，概率公式計算概率，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

（1）運用概率公式列式計算概率，即可作答.

（2）先列樹狀圖，再運用概率公式列式計算概率，即可作答.

解：（1）依題意回4個景點：小雁塔、陜西歷史博物館、大唐不夜城、華清宮，

回小亮同學第一關打卡的景點是陜西歷史博物館的概率是:；

（2）將4個景點：小雁塔、陜西歷史博物館、大唐不夜城、華清宮依次記作A,B,C,D,畫樹狀圖如答

圖.

由樹狀圖可知，共有16種等可能的結果，其中第一天打卡的景點相同的結果有4種，

回小亮和許偉同學第一天打卡的景點相同的概率為54=：1.

【變式1】（2024?甘肅武威?二模）圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色.在一個不透明的盒子中裝有2個

黑色棋子和1個白色棋子，每個棋子除顏色外均相同，從中隨機摸出一個棋子，記下顏色后放回，再從中

隨機摸出一個棋子，則兩次摸到不同顏色的棋子的概率是（）

1524

A.-B.—C.-D.一

3939

【答案】D

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率等知識點，先畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果，再找出

兩次摸到不同顏色的棋子的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算.

解：畫樹狀圖為:

開始

共有9種等可能的結果，其中兩次摸到不同顏色的棋子的結果數(shù)為4種,

4

團兩次摸到不同顏色的棋子的概率=2,

故選：D.

【變式2】（2024年山西省學業(yè)水平考試數(shù)學試題）山西是戲劇大省，典型劇種以晉劇、蒲劇、北路梆子

和上黨梆子為代表，被稱為"四大梆子在"戲曲文化進校園”活動中，某班開展戲劇知識宣講，每個小組

可隨機選擇"四大梆子”中的一個劇種進行宣講，則甲、乙兩個小組選擇同一劇種的概率為.

【答案】J/0.25

4

【分析】本題考查了利用列表或樹狀圖求概率的方法：先通過列表或樹狀圖展示所有等可能的結果數(shù)〃，

再找出其中某事件所占有的結果數(shù)機，然后根據(jù)概率的概念求出這個事件的概率根據(jù)題意先畫出

n

樹狀圖得出所有等情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可.

解:把晉劇、蒲劇、北路梆子和上黨梆子分別記作L2,3,4,

列表如下:

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

由上表可知，共16種可能等可能的結果，其中甲、乙兩個小組選擇同一劇種有4種，

41

???甲、乙兩個小組選擇同一劇種的概率尸=%=：.

164

故答案為：:

【題型4】求幾何概率

[例4]（21-22七年級下?廣東清遠?期末）如圖所示的是小明家的地板磚的一部分（圖中所有三角形都是等

腰直角三角形）.

（1）這個圖形」填"是"或"不是"）軸對稱圖形，若是，它有一條對稱軸.

（2）一只小老鼠在這個地板磚上跑來跑去，并隨機停留在某塊地板磚上，求小老鼠停留在陰影區(qū)域的概

【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的定義和正方形的對稱性求解即可；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；

（2）停留在陰影區(qū)域的概率就是陰影部分占地板磚面積的比值，據(jù)此求解即可.

解：（1）解：根據(jù)軸對稱圖形的定義可知：這個圖形是軸對稱圖形，它有4條對稱軸.它的對稱軸如下圖

虛線所示：

（2）設原圖中最小的等腰直角三角形的面積為

則陰影部分有4塊這樣的等腰直角三角形，面積為4a,

空白部分有12塊這樣的等腰直角三角形，面積為12a,

回這個地板磚的面積為：4a+12a=16a,

團停留在陰影區(qū)域的概率是：詈4Q=:1

16a4

答：求小老鼠停留在陰影區(qū)域的概率是

【點撥】本題考查軸對稱圖形的識別和幾何概率，掌握軸對稱圖形的定義和幾何概率計算公式是解題的關

鍵.

【變式1】（23-24九年級上?內蒙古興安盟?階段練習）如圖，正方形的邊長為m以各邊為直徑在正方形

內畫半圓，在正方形內隨機取點，則此點來自陰影部分的概率是（）

【答案】B

【分析】求得陰影部分的面積后除以正方形的面積即可求得概率.本題考查了幾何概率的知識，解題的關

鍵是求得陰影部分的面積，難度不大.

解：如圖，圖中四個半圓都通過正方形的中心，用正方形的面積減去四空白的面積，剩下的就是陰影部分

的面積，而正方形的面積減去兩個半圓的面積就得兩個空隙的面積，

.??所求陰影部分的面積為?2-[?2-^.（1）2]x2=]/一/=一〃.

回正方形的面積為力,

（生___2

故正方形內隨機取點，則此點來自陰影部分的概率是（5%丁

a22

故選：B.

【變式2】（23-24七年級下?山西運城?期末）小亮玩投擲飛鏢的游戲，他設計了一個如圖所示的靶子，AD

是VA2C的邊上的中線，點E是凡D的中點，連接CE,點歹是CE的中點，連接,則小亮隨機

投擲一次飛鏢，落在陰影部分的概率是.

【分析】本題主要考查了幾何概率，本題中飛鏢落在陰影部分的概率等于陰影部分的面積占總面積的比例.

s1

根據(jù)三角形中線的性質推出產(chǎn)"=1,再根據(jù)落在陰影部分的概率即為陰影部分和總面積之比即可求解;

解：回AD是VABC的邊上的中線，

回SvABD=^VADC=/SyABC'

回點E是AD的中點，

回心EC=SV3=；SV3'

團點廠是CE的中點，

團S'AEF=SvAFC~萬^NAEC>SyDEF=^VDCF=耳^NCDE'

回S'ADF~，VAEF+DEF=+^NCDE)='ADC=^NABC'

S^ADF_1

回

^VABC4

回小亮隨機投擲一次飛鏢，落在陰影部分的概率是，

故答案為：I.

【題型5】用頻率估計概率

【例5】（23-24八年級下?江蘇蘇州?期末）不透明的袋中有若干個白球和黃球，每個球除顏色外無其他差

別.現(xiàn)從袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回并攪勻，經(jīng)過大量重復實驗發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定

在0.2附近.

（1）估計摸到白球的概率是;

（2）如果袋中有5個黃球，現(xiàn)又放入。個黃球，再經(jīng)過大量重復實驗發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.6

附近，求。的值.

【答案】⑴0.8（2）25

【分析】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并

且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢，估計概率，這個固定的近似

值就是這個事件的概率.

（1）利用頻率估計概率即可得出答案；

（2）先求出原來共有黃球和白球的總數(shù)，再根據(jù)經(jīng)過大量重復實驗發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.6附

近，列出分式方程，解分式方程并檢驗即可得到答案.

解：（1）；經(jīng)過大量重復實驗發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.2附近，

,估計摸到黃球的概率為Q2,

則估計摸到白球的概率是1-0.2=0.8

故答案為：0.8；

（2）團經(jīng)過大量重復實驗發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.2附近.袋中有5個黃球，

團原來共有黃球和白球5+0.2=25（個），

根據(jù)題意得：4=0$,

25+〃

解得：1=25,

經(jīng)檢驗。=25是方程的解，

所以a=25.

【變式1】（2024,貴州貴陽?一模）一個盒子里有黑球6個，白球若干，這些球除顏色外都相同.將盒子

里的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回盒子里，不斷重復這一過程，共摸了100次球,

發(fā)現(xiàn)有70次摸到白球.則盒子中白球大約有（）

A.7個B.10個C.14個D.16個

【答案】C

【分析】本題主要考查本題考查了利用頻率估計概率的知識，用球的總個數(shù)乘以摸到白球的頻率即可.用

樣本估計總體，一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就

越精確.

解：估計這個口袋中球的數(shù)量為6+赤30=20（個），

20-6=14（個），

答：盒子中白球大約有14個，

故選：C.

【變式2］（2024?貴州黔東南?二模）有兩組相同的紙牌，它們的牌面數(shù)分別是1,2,3.從每組牌中各

隨機摸出一張，這為一次試驗.小明做了200次試驗后發(fā)現(xiàn)和為2的情況出現(xiàn)了23次，據(jù)此估計牌面數(shù)字

的和是2的概率是（精確到0.1）.

【答案】01

【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率，概率公式等知識點，掌握概率的計算方法及相關知識是解題

的關鍵.

根據(jù)題意結合概率的計算方法進行解答即可.

解：根據(jù)題意得：

23

—?0.1,

200

故答案為：0.1.

【題型6】概率的簡單應用

【例6】（2024?山西大同?模擬預測）某中學為了保證"兩操一活動”的質量，讓學生積極參加豐富多彩的課

外活動，學校擬組織四個社團：4籃球隊，B.舞蹈隊，C.射擊隊，D.毯子隊，學校就學生參加這四

個社團的意向對學生進行了抽樣調查（每名學生只能從中選擇一種最喜歡的），并將調查結果繪制了如下

請結合圖中所給信息，解答下列問題：

（1）本次調查的學生共有人；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）該校共有1200名學生，請估計選擇“穰子隊”的學生有多少人？

（4）該校在最喜歡“射擊"的學生中，有甲、乙、丙、丁四位同學表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)從這四位同學中隨機選出兩

名同學參加上級的射擊隊培訓，請用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率.

【答案】⑴100（2）圖見解析⑶選擇"毯子隊"的學生有480人⑷）

0

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖及扇形統(tǒng)計圖，將條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關聯(lián)是解答本題的關鍵.

（1）將兩個統(tǒng)計圖信息關聯(lián)即可求解；

（2）調查的總人數(shù)可知，求得參加2項目的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；

（3）用樣本估計總體即可；

（4）畫出樹狀圖，根據(jù)概率公式求解即可.

解：（1）解：由條形統(tǒng)計圖可知參加A項目的人數(shù)為30人，由扇形統(tǒng)計圖可知參加A項目的人數(shù)所占的

百分比為30%,故本次調查的總人數(shù)為：30^30%=100（人），

故答案為：100;

（2）參加B項目的人數(shù)為：100-30-10-40=20（人），補全條形統(tǒng)計圖如下所示：

100

回估計選擇"毯子隊"的學生有480人；

（4）甲、乙、丙、丁四位同學任選兩位的所有可能情況如下樹狀圖所示:

開始

甲乙丙丁

小小/K不

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

被選取的兩人恰好是甲和乙有2種情況

21

故被選取的兩人恰好是甲和乙的概率是二=工.

126

【變式1】（22-23九年級上?云南臨滄?期末）我市舉辦的"喜迎黨的二十大，奮進新征程一一鄉(xiāng)村振興成果

展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖所示的是該展覽館出入口的示意圖.小穎8入口進。出口的概率是（）

/入.［入口

c出口^

。出口E出口

A-B.i1

C.一

562

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，畫出樹狀圖，即可.

解：如圖可知，A,8為入口；C,D,E為出口,

開始

間入口點5

△小

出口CDECDE

回小穎8入口進。出口的概率為：:

6

故選：B.

【點撥】本題考查列舉法求概率，解題的關鍵是理解題意，畫出樹狀圖，得到所有的結果.

【變式2】（23-24九年級上?陜西西安?期末）在一個不透明的口袋中有20個球，這些球除顏色外均相同，

其中白球x個，綠球2x個，其余為黑球.攪勻后，甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出

的球放回袋中攪勻，乙從袋中任意摸出一個球，若為黑球則乙獲勝，若游戲對甲、乙雙方都公平，則了的

值應為.

【答案】4

【分析】本題主要考查的是根據(jù)概率相同來判斷游戲公平性以及一元一次方程的應用，計算每個事件的概

率，概率相等就公平，否則就不公平，概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；

解：若游戲對甲、乙雙方都公平，

團綠球與黑球的個數(shù)應相等，也為2x個，

根據(jù)題意可得：x+2x+2x-20,

解得：x=4.

故答案為：4.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024?四川雅安?中考真題）某中學對八年級學生進行了教育質量監(jiān)測，隨機抽取了參加15米折

返跑的部分學生成績（成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級），并繪制了不完整的統(tǒng)計圖（如

圖所示）.根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

⑴請把條形統(tǒng)計圖補充完整；

（2）若該校八年級學生有300人，試估計該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數(shù)；

⑶從所抽取的優(yōu)秀等級的學生A、2、C、。、E中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用

列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、8兩位同學的概率.

【答案】（1）見解析⑵30人⑶歷

【分析】此題考查了列表法與樹狀圖法，用樣本估計總體，以及條形統(tǒng)計圖，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的

關鍵.

（1）根據(jù)成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)除以占的百分比求出調查的總人數(shù)，進而求出不合格的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計

圖即可；

（2）由樣本中成績不合格的百分比估計總體中成績不合格的百分比，乘以300即可得到結果；

（3）列出得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好抽到A、3兩位同學的情況數(shù)，即可求出恰好抽到A、8兩

位同學的概率.

解：（1）根據(jù)題意得：12-5-40%=30（人），

回不合格的為：30—（5+12+10）=3（人）,

補全條形統(tǒng)計圖，如圖所示:

則該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數(shù)約為30人;

（3）列表如下：

ABcDE

A—(A,B)(AC)(AD)(AE)

B(民A)—(民C)（民必(B,E)

C(CA)S)——（C，。）(C,E)

D(D,B)(RC)—(D,E)

E（EA）（E,B）(E?(EQ)—

所有等可能的情況有20種，其中恰好抽到A、2兩位同學的情況數(shù)為2種，

21

則P（恰好抽到42兩位同學）,

【例2】（2023?四川攀枝花,中考真題）如圖，在正方形A38中，分別以四個頂點為圓心，以邊長的一半

為半徑畫圓弧，若隨機向正方形A3。內投一粒米（米粒大小忽略不計），則米粒落在圖中陰影部分的概

率為?

【分析】將圖中陰影面積除以正方形面積即可求出米粒落在圖中陰影部分的概率.

解：設正方形的邊長為2a,則4個扇形的半徑為。，

萬/_冗

Ra）。一彳,

故答案為：—.

4

【點撥】本題考查幾何概率，掌握幾何概率的計算方法，以及扇形面積和正方形面積的計算方法是解題的

關鍵.

2、拓展延伸

【例1】（2022?四川成都?二模）如圖，四個全等的直角三角形拼成"趙爽弦圖"，得到正方形A5CD與正方

形EFGH.連結3D交,、C”于點V、N.若DE平分NADB,現(xiàn)隨機向該圖形內擲一枚小針，則針

尖落在陰影區(qū)域的概率為.

心0/0256

【分析】求出陰影部分的面積與正方形面積的比值，即可得到針尖落在陰影區(qū)域的概率.

解：如圖，連接EG交3。于點尸，

回。石平分

團團ADE=R1MDE

回四邊形EFGH是正方形

團團MED=90°,

團回AED=180°—團MED=90°

盟MED=1EAED

團DE=DE

釀ADE甌MDE(ASA)

回AE=ME

同理可證回BGC釀BGN(ASA),

回四邊形ABCD是正方形

回回ADM=45°

甌ADE=?MDE=22.5°

回團EMD=90°—回ADE=67.5°

團團MEG=45°

團團MPE=180°—團EMD一團MEG=67.5°

00EMD=EIMPE

EIEM=EP

設EM=EP=x,則EG=2EP=2x

在RtlBEFG中，EEFG=45°,

EIFG=EGxsin45°=缶

00BFA00AEDE0CGB

0BF=AE=CG=x,BG=BF+FG=(A/2+1)X,0BFA00AED00CGBE0NBGE0MED,

在RtHBCG中,

BC2=CG2+BG2=(4+2⑹元2

2

團S陰影=sDEM+SBGN=2SBGN=2X^XX(V2+1)X=(V2+l)x

S正方形ABCD=BC~=(4+2應

回S陰影=(血+1)/=交

'S正方形A6CD(4+2j^)%24

回針尖落在陰影區(qū)域的概率為當

故答案為：乎

【點撥】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、正方形的面積、直角三角形的

面積等知識點，求出陰影面積與正方形的面積的比是解答此題的關鍵.

【例2】（2024九年級?全國?競賽）有一枚質地均勻的正方體骰子，六個面上的點數(shù)分別為1、2、3、4、5、

6,現(xiàn)將這枚骰子先后拋擲兩次，記下拋擲后朝上的面上的點數(shù)，第一次記下的點數(shù)為加，第二次記下的

x+2y=2

點數(shù)為〃，則關于％、y的二元一次方程組,。只有非負解的概率為