山東省濟南市2025屆高三年級上冊開學摸底考試數(shù)學試題（含答案）

山東省濟南市2025屆高三上學期開學摸底考試數(shù)學試題

一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合”={用/一3%—4<0},N={—2,—1,0,1,2,3},則MUN=()

A,[0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2,3}

C.{x|—1<x<4或久=—2}D.{%|—2<x<4]

2.若復數(shù)z滿足(l+2i)?z=2—4i,則|z|=()

A.1B.A/2C.2D.4

3.已知向量Z=(k,3),b=(2,0),若征10+3后)，貝妹=()

A.-3B.-2C.2D.3

4.已知兩條不同的直線和平面a,且?guī)譽a,則〃幾”是“zn〃a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知函數(shù)/(%)=ln(%2一3+。2)在[1,+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.(—8,—1]B.(—8,—1)C.(—8,2]D.(2,+00)

6.由0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中任意兩個偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的六位數(shù)的

個數(shù)為()

A.60B,108C,132D.144

X

7.直線y=2x-2與曲線y=sinrcx+-1的交點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

8.設(shè)/<犯<*3<應(yīng)<*5，隨機變量fl取值/,*2,均占4,%5的概率均為02,隨機變量f2取值汽也，巴絲

不!2,辦[2X5j522刈的概率也均為0.2,貝|]()

A.E(fi)>E(§2)B.E(fi)<E(§2)C.D(^)>D(f2)D.D(^)<D(f2)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知在某市的一次學情檢測中，學生的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(100,100),其中90分為及格線，120分

為優(yōu)秀線，下列說法正確的是()附：隨機變量下服從正態(tài)分布N?(出小)，貝UP?—+c

)=0.6826,尸(〃-2。<f<〃+2o)=0.9544,P(ji—3oVf<〃+30)=0.9974.

A.該市學生數(shù)學成績的標準差為100

B.該市學生數(shù)學成績的期望為100

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C.該市學生數(shù)學成績的及格率超過0.8

D.該市學生數(shù)學成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等

10.已知函數(shù)/'(X)=/—3%2+ax—a+1,貝)

A"。)至少有一個零點B.存在a,使得f(x)有且僅有一個極值點

C.點(1,—1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.當aWO時，/(x)在[0,1]上單調(diào)遞減

H.在平面直角坐標系久Oy中，已知點力(—1,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之和是2.

設(shè)動點M(x,y)的軌跡為曲線C,貝!]()

A.曲線C關(guān)于原點對稱

B.曲線C關(guān)于某條直線對稱

C.若曲線C與直線y=kx(k>0)無交點，則kN1

D.在曲線C上取兩點P(a,6),Q(c,d)，其中a<0,c>0,則|PQ|>2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知雙曲線C：,一噲=1缶>0力〉0)的一條漸近線的方程為％+2、=0,貝北的離心率的值為.

13.曲線y=In罟在點(0,0)處的切線方程為.

14.數(shù)列｛a,J滿足a[6[—l,l],an+i=2底—1,記Tn=aja2a3…an,貝！J?「2025的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在"BC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB=+c=3.

(1)求入ABC的周長；

(2)若asinB=bsin24,求△ABC的面積.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—力BCD中，P4_L底面力BCD,AD=CD,PA=AC=2,AB=BC=

P

(1)證明：平面/MCI平面PBD；

(2)若BD=3,求平面ADP與平面BDP的夾角的余弦值.

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17.(本小題15分)

在平面直角坐標系％0y中，已知橢圓C的兩個焦點分別是Fi(-群,0),F2(A/3,0),點M在C上，且|M%|+

\MF2\=4.

(1)求C的標準方程；

(2)若直線y=kx+"與C交于4B兩點，且“OAB的面積為空，求k的值.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(x)=aln(x+1)—xex+1.

(1)當a<0時,求/'(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)/(久)存在正零點為，

(i)求a的取值范圍；

(讓)記次為/'(%)的極值點,證明：%0<3X1.

19.(本小題17分)

己知數(shù)列｛即｝為正項數(shù)列，數(shù)列｛幻｝滿足bn=m+'2：…+即

(1)試寫出一個數(shù)列｛an｝,使得｛%｝為遞增的等差數(shù)列；

(2)若｛6n｝為遞增的等差數(shù)列，從的,。2,…,中任選一項，記為隨機變量X.

①比較P(X2軟)與用的大小關(guān)系，其中k=1,2,…而，并說明理由；

uk

1

(譏)若D(X)=1,證明：P(\X-bm\>2)<^.

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參考答案

1.C

2.C

3.X

4.D

5.B

6.B

7.4

8.C

9.BC

IQ.ACD

11.7IC

12岑

13.y=2x

142-2025

15.(1)

由bcosC+ccosB=避得：bx小+“丁詼+cx小+'—爐=木,

2ab2ac

即得等=a=W，所以"ABC的周長為a+6+c=3+0；

(2)

由asinB=bsin2/得：sin/sinB=sinBxsin2A,

所以sin/sinB=sinBx2sirh4cos4因為48G(0h)，??.sin/>0,sinF>0,

所以cosZ另，所以sinZ=4

又小=力2+_2bccosA,則小=(b+c)2—2bc—2bccosA,即3=32—3bc,

所以be=2,

所以"BC的面積S=JbcsinA=號.

16.⑴

證明：記4CnBD=。,

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因為力B=BC/D=CD,所以-ABD三ACBD,

所以N力。。=4。。。=90°,

即4C1BD,

又PA1底面4BCD,BDu平面4BCD,

所以241BD,

因為ACnP4=4且ACu平面PAC,P4u平面PAC,

所以BD1平面P4C,又BOu平面PBD,

所以平面P4C1平面PBD.

取PC中點M,連接OM,貝|OM〃P4所以。平面2BCD,

所以。C,OD,OM三條直線兩兩垂直，

分別以O(shè)&ODOM所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。一xyz,

則4(-1,0,0),5(0,-1,0),O(0,2,0),P(-1,0,2),

所以麗=(1,2,—2),AD=(1,2,0),麗=(0,3,0)

設(shè)平面力PD的法向量為帚=(久i，y〔zi),

廬熏=/：鏟「e=0,可取莉=(-2,1,0),

(jn?ZD=+2yl=0

同理設(shè)平面BPD的一個法向量為蔡=(%2》2/2),

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噂黑索拿—可取?2。1)

所以，cosm,n==^+1x4^^~5,

所以，平面4DP與平面BDP的夾角的余弦值為小

17.⑴

由題意，設(shè)C的標準方程為5+1=1，

a2b2

則。=&，2a=4,即a=2,所以拉=小—。2=1,

2

所以C的標準方程為a+產(chǎn)=I；

(2)

設(shè)4(X1,%)，8(如丫2)，

由『二■鑿謂聯(lián)立得a+4k2)x2+8也收+4=0,

1

由題意/=128k2-16(1+4k2)=64k2-16>0,即/>A

4

久1+冷:,%1%=,顯然直線過定點(一通,0),

一_L乎十4K%l2-.LTJ.看./V；

所以|%1一久2I=A/(久1+乂2)2二4%i久2=4k

所以S.OAB=^^?W1—4|=若，即普宏=*，

所以40k\78爐+27=0,解得左2=|或會均滿足42>也

所以k=±乎或土鬻.

18.(1)

由已知可得/'(久)的定義域為(一1,+8),

且/Q)=7^7—Qx+i+%ex+1)=

因此當a<0時，a—(x+l)2ex+1<0,從而/''(%)<0,

所以〃支)的單減區(qū)間是(一1,+8),無單增區(qū)間；

(2)

⑴由(1)知，/㈤="(：+『、

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令g(%)=a—(x+l)2ex+1,gr(x)=—(%2+4%+3)ex+1,

當久e(—1,+8)時,g'(%)=—(%2+4%+3)ex+1<0,g(%)單調(diào)遞減.

①當a<0時，可知/'(%)<0,/(%)在(-1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

又"0)=0,故當％>0時,/(%)<0,所以/(%)不存在正零點;

②當0<aWc時，g(0)=a—e<0,xG(0,+8),g(%)=a—(%+l)2ex+1<0,

/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減，故當1>0時，/(x)<0,函數(shù)/(%)不存在正零點；

③當a>e時，Ina—1>0,此時g(0)=a—e>0,g(lna-1)=a(l—Ina)2<0,

所以存在ae(OJna-1)滿足g(a)=0,

所以/(%)在(一1")內(nèi)單調(diào)遞增，在(%+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

令h(x)=In久一x+1,則當x>0時，/iz(x)=--1,

故h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

從而當乂>1時，％(%)<九(1)=0,即lnx<K—1,

所以/'(Ina-1)=磯Inina—(Ina—1)]<0,

又因為f(0)=0,所以f(a)>0,

因此，此時存在正零點汽；

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(e,+8)；

，莉、由穎音區(qū)(“1)=°即fa=+1)2即+1

(11)由超，一，=0，即(aln(%o+1)=%()e配+L

從而ln(x0+1)=(￡*。-如,即exon=3+1)乎+1),

由(i)知當久>1時，In%<%—1,即％>0,有l(wèi)n(%+l)<%,

又Xo>X1>0,故e*LXi<⑵+1)2=Qi+I)2,

%0"。

兩邊取對數(shù)，得Inex?！?lt;21nQi+l),

于是乂0—%i<21n(%i+1)<2久1,整理得久0<3Xi.

19.⑴

+。2+…+a,n+1

不妨令an=eN*),則bn=

顯然g+1=T工今g+i—勾=拉0是常數(shù)，所以也｝為遞增的等差數(shù)列,

(任意遞增的正項等差數(shù)列均可)；

(2)

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⑴若｛與｝為遞增的等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d,

tl

FJ

則=T=ai，b”=小+d[n—1)=——=>>a,=門小+d)i[n—1)=nai4-dn(n-I)9

幾M

ri

所以￡a(-￡a(=(〃+l)a(+dii(n4-1)—卜叫+dn(n-1)]=(i\+2nd=%+i，

t=lt=l

顯然冊=Qi+2d(n—l)(n>2)=>an+1—an=2d,

而做一上=2b2-2bL2d,所以｛斯｝也為遞增的等差數(shù)列;

m—k+1

故P(X>/)=

m

另