2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：待定系數(shù)法、換元法、轉(zhuǎn)換法（解析版）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)待定系數(shù)法、換元法、轉(zhuǎn)換法(解析版)

待定系數(shù)法、換元法、轉(zhuǎn)換法是運(yùn)用函數(shù)與方程思想方法解題過程中的

三大法寶

在運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的過程中,在確定函數(shù)、方程、不等式的參變數(shù)的值時(shí)需要運(yùn)用待定系數(shù)法,而構(gòu)

造法又常常與待定系數(shù)法緊密相聯(lián),換元法往往可以使較為復(fù)雜的問題變?yōu)榛绢}型,許多數(shù)學(xué)問題就是在

不斷轉(zhuǎn)換的過程中加以解決的.如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為方程問題求解,方程問題可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題通過圖

像結(jié)合不等式知識求解,善于轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

典型例題

國］1設(shè)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)4(1,2)和B(-2,-l).

(1)試用a表示b和c;

(2)對于任意非零實(shí)數(shù)Q,拋物線都不過點(diǎn)P(M,館2+1),試求館的值.

?1?

題2⑴已知數(shù)列｛aj中,a產(chǎn)10,且“=15a“-i+2-5”,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)已知數(shù)歹U｛%｝中,5=3?2=5,斯=&-2+4九-3(72>3),求通項(xiàng)公式冊.

腳］3設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)/(c)=ajl-/++c+”1-c的最大值為g(a)?

(1)設(shè)t=G3+GW,求t的取值范圍，并把/(2)表示為t的函數(shù)m(t);

(2)求g(a);

(3)試求滿足g(a)=g(：)的所有實(shí)數(shù).

?2?

甌￡如圖3—3所示，設(shè)直線，與橢圓?+才=1相切，切點(diǎn)為P,點(diǎn)河是坐標(biāo)原點(diǎn)O在直線，上的正投影,

求\MP\的最大值和最小值.

yk

圖3-3

?3?

待定系數(shù)法、換元法、轉(zhuǎn)換法是運(yùn)用函數(shù)與方程思想方法解題過程中的

三大法寶

在運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的過程中,在確定函數(shù)、方程、不等式的參變數(shù)的值時(shí)需要運(yùn)用待定系數(shù)法,而構(gòu)

造法又常常與待定系數(shù)法緊密相聯(lián)，換元法往往可以使較為復(fù)雜的問題變?yōu)榛绢}型,許多數(shù)學(xué)問題就是在

不斷轉(zhuǎn)換的過程中加以解決的.如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為方程問題求解,方程問題可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題通過圖

像結(jié)合不等式知識求解,善于轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

典型例題

國］1設(shè)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(l,2)和B(—2,—1).

(1)試用a表示b和c;

(2)對于任意非零實(shí)數(shù)Q,拋物線都不過點(diǎn)試求nz的值.

【分析】

對本題題意的理解是關(guān)鍵，什么是拋物線都不過某點(diǎn)呢？換一種說法是:將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入所給的拋物線

方程，方程無實(shí)數(shù)解，所以本題體現(xiàn)了一種等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想以及待定系數(shù)法在研究函數(shù)與方程問題中的

應(yīng)用.

a+b+c=2,解彳曰=1+a,

【解析】(1)依題意,4a—2b+c=—1,半寸［c=1—2Q.

(2)g=Q/+(I+a)rr+1—2a,將(m,m2+l)代人，得arr?+q+a)m+1—2a=m2+l,整理得

(m2+m—2)Q=m2—m.

由題意，關(guān)于。的方程無非零實(shí)數(shù)解，

可+小二：=0,得小=_2；由可+m—得小=0.

由

m—mW0,m—m—(J,

故所求的值為m=—2或?n=0.

吼2(1)已知數(shù)列｛aj中,出=10,且“=15冊_什2-5",求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列｛Q/中,。1=3,。2=5,。九=冊_2+4九-3(71>3),求通項(xiàng)公式冊.

法構(gòu)造新的特殊數(shù)列，從而使問題獲解;第(2)問，一般解法是設(shè)待定系數(shù)4即由M+AMUQ’T+A/

2

+4?I—3配方，得an-\-Art,—(in-2~\~A.(n-2)+(4A+4)n—4A—3,令4A+4—0,解得A.——1,從而構(gòu)造

等差數(shù)列.當(dāng)然,如果直接對遞推關(guān)系變形很難看出解題者的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【解析】(1)先對遞推式進(jìn)行變形,々=吏23+2.即華=3?0胃+2.

5555

設(shè)b=詈(nGN*),則b=3k+2.⑴

引人待定系數(shù)使a，B滿足bn-/3=

展開得'=abnT—鄰+6.⑵

對照(1)式和(2)式,可得方程組卜=7，解得［廠3

即數(shù)列［勾+1］是以仇+1=§+1=3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列，

5

nTC

所以bn+l=3-3”T=3,bn=3-1.

于是,b“=署=3n-l,a=15“一5"(nGN*).

-1-

2

（2）由條件可得an—n?—an-2—（n—2）+l（n^3）.令bn=an—r^,則數(shù)列｛bj可化為兩類等差數(shù)列，其中

2

｛b2Ti｝是以匕產(chǎn)QL1=2為首項(xiàng),d=l為公差;｛除｝是以匕2=a2-2=1為首項(xiàng),d=l為公差.

因此,慶九—1=2+（n-l）,b2n=1+（九一1）.

22

所以a2n-i=（2n—l）+n+l,a2n=（2n）+n.

傳（2/+九+3）（九為奇數(shù)）

故a=<1°

n[歹?"十口）（九為偶數(shù)）

=2n+1

可簡化為an-^-（2n+n）+.[1+（—l）].

場13設(shè)Q為實(shí)數(shù),函數(shù)/（力）=QJ1—①'++力+—力的最大值為g（Q）.

（1）設(shè)力=〃1+/+Vl—rr,求t的取值范圍，并把/（力）表示為t的函數(shù)7n（右）；

（2）求g（Q）;

（3）試求滿足g（a）=g（?的所有實(shí)數(shù).

【分析】

本例是一道弟進(jìn)式的綜合題，主要考查函數(shù)、方程等基礎(chǔ)知識，考查分類與整合以及函數(shù)與方程的思想方

法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，難度上循序漸進(jìn)，第（1）問考查變量代換的技巧，難點(diǎn)

在新變量范圍的確定，可以有不同的方法求解；第（2）問是含參函數(shù)在區(qū)間上最大值的求法.分類與整合

并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性是解答的關(guān)鍵；第（3）問實(shí)質(zhì)是解方程，由于g（a）是分段的，對于方程g（a）=g（J）解

的討論更要分類全面、環(huán)環(huán)相扣.正如羅素所言：“數(shù)學(xué)不僅擁有真理，而且還擁有至高的美一種冷峻而嚴(yán)

肅的美，正像雕塑所具有的美一樣……”本題的解決過程不僅能顯示解題者的數(shù)學(xué)功力，也展現(xiàn)了“一種

冷峻而嚴(yán)肅的美

【解析】⑴【解法一】（代數(shù)法）令±=，可/+，廠方，要使1有意義，必須尸+"亍。'即一IWcWl.

（1—%>0,

?."2=2+2,1-±2,2；C[-1,1],

⑴：土的取值范圍是[V%2],

由（1）式得,\/1—X2=—1,故Tn（t）=a（gt?—1）+t—o,tG[-\/2,2].

兀兀

【解法二】（三角換元法）令/=sin2。,。EP7

t=+/+^/l—x=V1+sin20+V1—sin20=卜in。+cos9|+\sin0—cos0|

=sin。+cos3—sin。+cos3=2cos0,aV1—x2=aV1—sin220=QCOS28

由于夕e[—，,￡■],所以cos3E即力G[V2,2],/(x)=m(t)=QCOS29+力，又cos20=2cos%1

pf2

=2x--1=--1

42

故m（t）—a（方力2—1）+力=~^~QF+1—a,tW[A/2,2].

⑵由題意知g（Q）即為函數(shù)7n⑴=-^-ai^+t—a,tE[V2,2]的最大值.

注意到直線1~—是拋物線m（t）=—a的對稱軸，故分以下幾種情況討論.

①當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=E[A/2,2]的圖像是開口向上的一^殳拋物線,=方=—-—<0,知??1（。在

?2?

[A/2,2]上單調(diào)遞增,，g(Q)=m(2)=a+2.

②當(dāng)a=0時(shí)，=m(t)=t,tE[V2,2],g(Q)=2.

③當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=m（t）,te［蓼,2］的圖像是開口向下的一段拋物線.若［=—，［0,⑹.即aW

—則g(a)=m(V2)=V2;

若t=—里C[蓼,2],即一尊<aW-則g(a)="—十）=-l擊;若3（2，+°°），即4"<

Q//

QV0,則g(Q)=771(2)=a+2.綜上可得：

Q+2(Q>—

g(a)=<-a—蚩(-^<a<-

(a《-卓)

(3)①當(dāng)a<—2時(shí)，,>—'，此時(shí)g(a)=V2,g(—)=—+2.由2+支=V2,解得a=-1—與a<

a2va7aa2

—2矛盾.

②當(dāng)一2<QV—四時(shí),一^^〈!<此時(shí)g(a)=V2-g(—}=_■--―--3,解得Q二

2a2va7a2a2

—與aV—A/2^矛盾.

所以一方《。4-春

④當(dāng)一^^Va《一■時(shí),一24工此時(shí)g(a)=—a—=A/2.由g(a)=g(L)即得—a—

=A/2.解得a=一與a>—^~矛盾.

⑤當(dāng)—VaV0工V—2,此時(shí)g(a)—tz+2,g(^)—^/2.

由g(a)=g(L)即得a+2=V2,解得a=，^—2與a>一■去矛盾.

(6)當(dāng)a>0時(shí)，工>0,此時(shí)g(Q)=a+2,g(L)——-+2.

由g(a)—p(—)即得a+2=工+2.解得a=±1,由a>0得a=1.

\a)a

綜上可得，滿足g(a)=。(工)的所有實(shí)數(shù)a為一方或Q=1.

___2

Hi如圖3—3所示，設(shè)直線I與橢圓美■+，=1相切，切點(diǎn)為P,點(diǎn)、“是坐標(biāo)原點(diǎn)O在直線/上的正投影,

求\MP\的最大值和最小值.

?3?

【分析】

本例的解答分3步：第一步，求出切線2的方程和直線?的方程；第二步，求出點(diǎn)河的坐標(biāo)用點(diǎn)P（g,%）

的坐標(biāo)表示，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求得IM5,關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式；第三步，進(jìn)入求1Mpi最值的流程，然

而函數(shù)解析式太復(fù)雜了，可通過換元法變?yōu)榛竞瘮?shù)求最值問題，當(dāng)然新元的取值范圍一定要緊緊抓住！

【解