江蘇省吳江市青云中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

江蘇省吳江市青云中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)2．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，三棱錐的體積為（）A. B.C. D.3．已知全集，集合，集合，則為A. B.C. D.4．為了節(jié)約水資源，某地區(qū)對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”制度：將居民家庭全年用水量（取整數(shù)）劃分為三檔，水價(jià)分檔遞增，其標(biāo)準(zhǔn)如下：階梯居民家庭全年用水量（立方米）水價(jià)（元/立方米）其中水費(fèi)（元/立方米）水資源費(fèi)（元/立方米）污水處理費(fèi)（元/立方米）第一階梯0-180（含）52.071.571.36第二階梯181-260（含）74.07第三階梯260以上96.07如該地區(qū)某戶家庭全年用水量為300立方米，則其應(yīng)繳納的全年綜合水費(fèi)（包括水費(fèi)、水資源費(fèi)及污水處理費(fèi)）合計(jì)為元．若該地區(qū)某戶家庭繳納的全年綜合水費(fèi)合計(jì)為1180元，則此戶家庭全年用水量為（）A.170立方米 B.200立方米C.220立方米 D.236立方米5．已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.6．在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是蘇格蘭數(shù)學(xué)家——納皮爾（Napier，1550-1617年）．在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽(yáng)中心說(shuō)”剛剛開(kāi)始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科．可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間．納皮爾也是當(dāng)時(shí)的一位天文愛(ài)好者，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，他多年潛心研究大數(shù)字的計(jì)算技術(shù)，終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)．在那個(gè)時(shí)代，計(jì)算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復(fù)雜的運(yùn)算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計(jì)算特殊多位數(shù)之間乘積的方法．讓我們來(lái)看看下面這個(gè)例子：

12345678…1415…272829248163264128256…1638432768…134217728268435356536870912這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對(duì)應(yīng)冪．如果我們要計(jì)算第二行中兩個(gè)數(shù)的乘積，可以通過(guò)第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的和來(lái)實(shí)現(xiàn).比如，計(jì)算64×256的值，就可以先查第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字:64對(duì)應(yīng)6，256對(duì)應(yīng)8，然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加和起來(lái)：6＋8＝14；第一行中的14，對(duì)應(yīng)第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照這樣的方法計(jì)算：16384×32768=A.134217728 B.268435356C.536870912 D.5137658027．同時(shí)擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為的概率為A. B.C. D.8．已知α是第三象限的角，且，則（）A. B.C. D.9．的值是（）A B.C. D.10．下列函數(shù)是偶函數(shù)且值域?yàn)榈氖牵ǎ?；②；③；④A.①② B.②③C.①④ D.③④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線,直線若，則______________12．不等式的解集是___________.（用區(qū)間表示）13．已知平面向量，，，，，則的值是______14．一條光線從A處射到點(diǎn)B(0，1)后被軸反射，則反射光線所在直線的一般式方程為_(kāi)____________.15．已知某扇形的周長(zhǎng)是，面積為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是______.16．兩圓x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置關(guān)系是___________________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知平面向量滿足:，|.（1）若，求的值；（2）設(shè)向量的夾角為，若存在，使得，求的取值范圍.18．已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19．已知方程（1）若此方程表示圓,求的取值范圍；(2)若此方程表示圓,且點(diǎn)在圓上,求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程20．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中為常數(shù)（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導(dǎo)：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，故利用零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù).又，，由零點(diǎn)存在定理可知在存在零點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題有兩種類型，（1）計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)，比如二次函數(shù)的零點(diǎn)等，有時(shí)我們可以根據(jù)解析式猜出函數(shù)的零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)性得到函數(shù)的零點(diǎn)，比如；（2）估算函數(shù)的零點(diǎn)，如等，我們無(wú)法計(jì)算此類函數(shù)的零點(diǎn)，只能借助零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性估計(jì)零點(diǎn)所在的范圍.2、A【解析】用正方體的體積減去四個(gè)三棱錐的體積【詳解】由，故選：A3、A【解析】，所以，選A.4、C【解析】根據(jù)用戶繳納的金額判定全年用水量少于260，利用第二檔的收費(fèi)方式計(jì)算即可.【詳解】若該用戶全年用水量為260，則應(yīng)繳納元，所以該戶家庭的全年用水量少于260，設(shè)該戶家庭全年用水量為x，則應(yīng)繳納元，解得.故選：C5、A【解析】利用三角函數(shù)的定義得出和的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義得，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】先找到16384與32768在第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字，進(jìn)行相加運(yùn)算，再找和對(duì)應(yīng)第二行中的數(shù)字即可.【詳解】由已知可知，要計(jì)算16384×32768，先查第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字:16384對(duì)應(yīng)14，32768對(duì)應(yīng)15，然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加起來(lái)：14＋15＝29，對(duì)應(yīng)第二行中的536870912，所以有：16384×32768＝536870912,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)運(yùn)算的另外一種算法，關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理解題意，屬于簡(jiǎn)單題.7、A【解析】本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是同時(shí)擲兩枚骰子，共有6×6種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5，列舉出有4種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果.【詳解】由題意知，本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是同時(shí)擲兩枚骰子，共有6×6=36種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5，列舉出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和滿足條件的事件發(fā)生的個(gè)數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問(wèn)題同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問(wèn)題為載體8、B【解析】由已知求得，則由誘導(dǎo)公式可求.【詳解】α是第三象限的角，且，，.故選：B.9、C【解析】由，應(yīng)用誘導(dǎo)公式求值即可.【詳解】.故選：C10、C【解析】根據(jù)奇偶性的定義依次判斷，并求函數(shù)的值域即可得答案.【詳解】對(duì)于①，是偶函數(shù)，且值域?yàn)?；?duì)于②，是奇函數(shù)，值域?yàn)椋粚?duì)于③，是偶函數(shù)，值域?yàn)?；?duì)于④，偶函數(shù)，且值域?yàn)椋苑项}意的有①④故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由兩條直線垂直，可得，解方程即可求解.詳解】若，則，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了由兩條直線互相垂直，求參數(shù)的范圍，熟練掌握直線垂直的充要條件是解題的關(guān)鍵，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】根據(jù)一元二次不等式解法求不等式解集.【詳解】由題設(shè)，，即，所以不等式解集為.故答案為：13、【解析】根據(jù)向量垂直向量數(shù)量積等于，解得α·β＝，再利用向量模的求法，將式子平方即可求解.【詳解】由得，所以，所以所以.故答案為：14、【解析】根據(jù)反射光線的性質(zhì)，確定反射光線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后確定直線的一般式方程.【詳解】因?yàn)橐粭l光線從A處射到點(diǎn)B(0，1)后被軸反射，所以點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱性可知，反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)，又因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線又過(guò)點(diǎn)，所以反射光線所在直線斜率為，所以反射光線所在直線方程為，化成一般式得：，故答案為：.15、2【解析】由扇形的周長(zhǎng)和面積，可求出扇形的半徑及弧長(zhǎng)，進(jìn)而可求出該扇形的圓心角.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，所對(duì)弧長(zhǎng)為，則有，解得，故.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、外切【解析】先把兩個(gè)圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，分別得到圓心坐標(biāo)和半徑，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩個(gè)圓心之間的距離與半徑比較大小來(lái)判別得到這兩個(gè)圓的位置關(guān)系【詳解】由x2+y2+6x-4y+9=0得：（x+3）2+（y-2）2=4，圓心O（-3，2），半徑為r=2；由x2+y2-6x+12y-19=0得：（x-3）2+（y+6）2=64，圓心P（3，-6），半徑為R=8則兩個(gè)圓心的距離，所以兩圓的位置關(guān)系是：外切即答案為外切【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式求兩點(diǎn)的距離，會(huì)根據(jù)兩個(gè)圓心之間的距離與半徑相加相減的大小比較得到圓與圓的位置關(guān)系三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）用向量數(shù)量積運(yùn)算法則展開(kāi)；（2）兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程有解.【詳解】（1）若，則，又因?yàn)?，|，所以，所以；（2）若，則，又因?yàn)?，，所以即，所以，解得或，所?【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵:“向量模的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“關(guān)于的一元二次方程有解”，，再轉(zhuǎn)化為的不等式，屬于中檔題.18、（1）（2）當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)【解析】（1）由、都是單調(diào)遞增函數(shù)可得的單調(diào)性，利用單調(diào)性可得答案；（2）時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用單獨(dú)單調(diào)性求得，分和討論可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若在上單調(diào)遞增，只需，.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，若，即，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；若，即，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)19、(1)或;(2)或【解析】（1）若此方程表示圓,則，即可得解；（2）代入點(diǎn)得，從而得圓心半徑，由已知得所求圓的切線斜率存在,設(shè)為，切線方程為:，由圓心到直線距離等于半徑列方程求解即可.試題解析：(1)若此方程表示圓,則或(2)由點(diǎn)在圓,代入圓的方程得,此時(shí)圓心,半徑,由已知得所求圓的切線斜率存在,設(shè)為，切線方程為:或,∴切線方程為:或.20、（1）（2）【解析】（1）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，有，代入即可得出的值；（2）時(shí)，恒成立轉(zhuǎn)化為即，令，求在的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，有，即，解得，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以；【小問(wèn)2詳解】由，得，即，令，易知在上單調(diào)遞減，則的最大值為.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，即在恒成立，所以.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）①答案見(jiàn)解析；②答案見(jiàn)解析【解析】在單位圓里面證明，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式即可證