北京海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

北京海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長(zhǎng)為（）A. B.2C. D.42．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.3．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4．曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的（）A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等C.焦距相等 D.漸進(jìn)線(xiàn)相同5．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.86．已知、、、是直線(xiàn)，、是平面，、、是點(diǎn)（、不重合），下列敘述錯(cuò)誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.1208．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（）A. B.C. D.9．?dāng)?shù)列中，滿(mǎn)足，，設(shè)，則（）A. B.C. D.10．在四面體OABC中，點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，已知，，，則等于（）A. B.C. D.11．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.2C.3 D.412．若直線(xiàn)a，b是異面直線(xiàn)，點(diǎn)O是空間中不在直線(xiàn)a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線(xiàn)a，b都相交的直線(xiàn)B.過(guò)點(diǎn)O一定可以作一條直線(xiàn)與直線(xiàn)a，b都相交C.過(guò)點(diǎn)O可以作無(wú)數(shù)多條直線(xiàn)與直線(xiàn)a，b都相交D.過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線(xiàn)與直線(xiàn)a，b都相交二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是___________.14．下列命題：①若，則；②“在中，若，則”逆命題是真命題；③命題“，”的否定是“，”；④“若，則”的否命題為“若，則”.則其中正確的是______.15．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，則__________16．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________；若，則雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題在中，內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足______________（1）求；（2）若的面積為，在邊上，且，求的最小值注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分18．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線(xiàn)EP與平面AEF所成角的正弦值.19．（12分）2020年8月，總書(shū)記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書(shū)記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng)．現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報(bào)名參加志愿活動(dòng)．根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng)（1）第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語(yǔ)，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來(lái)衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統(tǒng)計(jì)中的圖、表、數(shù)字特征等知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果（選擇一種方法進(jìn)行說(shuō)明即可）20．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為（1）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，，成等差數(shù)列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數(shù)m，n，p，使得，，成等差數(shù)列；（3）若存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，…，在刪去以后按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列，求所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合，21．（12分）王同學(xué)入讀某大學(xué)金融專(zhuān)業(yè)，過(guò)完年剛好得到紅包6000元，她計(jì)劃以此作為啟動(dòng)資金進(jìn)行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費(fèi)，余款作為資金全部投入下個(gè)月，如此繼續(xù).設(shè)第n個(gè)月月底的投資市值為an.（1）求證：數(shù)列{-5000}為等比數(shù)列；（2）如果王同學(xué)想在第二年過(guò)年的時(shí)候給奶奶買(mǎi)一臺(tái)全身按摩椅（商場(chǎng)標(biāo)價(jià)為12899元），將一年后投資市值全部取出來(lái)是否足夠？22．（10分）已知函數(shù)（1）求f(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長(zhǎng)為橢圓的通徑：故選：A2、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.3、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1.指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.4、D【解析】將曲線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求解.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于，則兩曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距均不相等，而漸近線(xiàn)方程同為.故選：5、D【解析】由等比中項(xiàng)轉(zhuǎn)化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即得解【詳解】設(shè)公比為，則由，得，即故，解得故選：D6、D【解析】由公理2可判斷A選項(xiàng)；由公理3可判斷B選項(xiàng)；利用平行線(xiàn)的傳遞性可判斷C選項(xiàng)；直接判斷線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由公理2可知，若，，，，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由公理3可知，若，，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由空間中平行線(xiàn)的傳遞性可知，若，，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，則與平行、相交或異面，D錯(cuò).故選：D.7、A【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，由加法原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒(méi)有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A8、B【解析】利用求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B9、C【解析】由遞推公式可歸納得，由此可以求出的值【詳解】因?yàn)?，，所以，，，因此故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生合情推理的意識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力10、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，所以,因?yàn)镸在線(xiàn)段OA上，且，所以，所以，故選：B11、B【解析】先求出拋物線(xiàn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線(xiàn)中得：，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為故選：B12、D【解析】設(shè)直線(xiàn)與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線(xiàn)與平面相交或平行.分兩種情形，畫(huà)圖說(shuō)明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線(xiàn)，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線(xiàn)與平面相交或平行.(1)若直線(xiàn)與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)，都相交的直線(xiàn)；②若與不平行，則直線(xiàn)即為過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)，都相交的直線(xiàn).（2）若直線(xiàn)與平面平行（如圖2），則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)，都相交的直線(xiàn).綜上所述，過(guò)點(diǎn)至多有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)，都相交.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，利用雙曲線(xiàn)的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關(guān)于、的齊次不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故，又因?yàn)?，且，所以，因此，所以，又因?yàn)橹本€(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，所以，故，即，則，所以，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率，所以.故答案為：.14、②③④【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，正弦定理與四種命題的概念，命題的否定，判斷各命題【詳解】①，滿(mǎn)足，但，①錯(cuò)；②在中，由正弦定理，因此其逆命題也是真命題，②正確；③存在命題的否定是全稱(chēng)命題，命題“，”的否定是“，”，③正確；④由否命題的概念，“若，則”的否命題為“若，則”，④正確故答案為：②③④15、【解析】拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為,由于直線(xiàn)和拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn),故直線(xiàn)斜率存在.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知,故的縱坐標(biāo)為,橫坐標(biāo)為.不妨設(shè),故直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程,化簡(jiǎn)得,解得,故.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)和定義.考查三角形面積公式.在解題過(guò)程中,先根據(jù)題目所給拋物線(xiàn)的方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線(xiàn)的定義:到定點(diǎn)的距離等于到定直線(xiàn)的距離,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線(xiàn)的方程,聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).最后求得面積比.16、①.②.3【解析】由漸近線(xiàn)方程知，結(jié)合雙曲線(xiàn)參數(shù)關(guān)系及離心率的定義求雙曲線(xiàn)的離心率，由已知可得右焦點(diǎn)為，應(yīng)用點(diǎn)線(xiàn)距離公式求距離.【詳解】由題設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則雙曲線(xiàn)為，故右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.故答案為：，3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）【解析】（1）選條件①．利用正弦定理邊角互化，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而可得答案；選條件②．邊角互化、切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而得答案；選條件③．邊角互化，利用余弦定理可得，從而可得答案；（2）由三角形面積公式可得得，再利用余弦定理與基本不等式可得答案.【詳解】（1）方案一：選條件①由可得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，故，又，于是，即，因?yàn)?，所以方案二：選條件②因?yàn)?，所以由正弦定理及同角三角函?shù)的基本關(guān)系式，得，即，因?yàn)椋?，又，所以，因?yàn)?，所以方案三：選條件③∵，∴，即，∴，∴又，所以（2）由題意知，得由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為18、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接，證明，即可證明平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，是正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的正三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以直線(xiàn)EP與平面AEF所成角的正弦值為.19、（1）6，4，2；（2）；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學(xué)生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值進(jìn)行判斷；也可畫(huà)出莖葉圖觀察判斷.【詳解】解：（1）報(bào)名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）記高二四個(gè)學(xué)生為1，2，3，4，高三兩個(gè)學(xué)生為5，6，抽出兩人表示為（x，y），則抽出兩人的基本事件為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個(gè)基本事件，其中高二學(xué)生都在同一組包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6個(gè)基本事件.記抽出兩人都是高二學(xué)生為事件，則，所以高二學(xué)生都在同一組的概率是.（3）法一：（數(shù)字特征）前10天的平均值為23.5，后10天的平均值為20.5，因?yàn)?0.5<23.5，所以宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果很好.法二：（莖葉圖）畫(huà)出莖葉圖因?yàn)榍?0天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以節(jié)約宣傳后剩飯剩菜明顯減少，宣傳效果很好.20、（1）（2）,證明見(jiàn)解析.（3）不存在，【解析】（1）數(shù)列為首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果；（2），，成等差數(shù)列，則+=2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可解得，進(jìn)而計(jì)算可得，即可判斷結(jié)果；（3）由題意列出，