北京市房山區(qū)房山實驗中學2025屆數學高二上期末聯考試題含解析

北京市房山區(qū)房山實驗中學2025屆數學高二上期末聯考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.2．設，則的一個必要不充分條件為（）A. B.C. D.3．在平面直角坐標系xOy中，點（0,4）關于直線x－y+1＝0的對稱點為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)4．若函數在上為單調增函數，則m的取值范圍（）A. B.C. D.5．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，6．已知曲線與直線總有公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．函數直線與的圖象相交于A、B兩點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.8．已知函數（是的導函數），則（）A.21 B.20C.16 D.119．已知向量，，則下列向量中，使能構成空間的一個基底的向量是（）A. B.C. D.10．某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.右圖是根據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96，106]，樣本數據分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是.A.90 B.75C.60 D.4511．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（）A. B.C. D.12．在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，設直線的斜率為，直線(其中為坐標原點)的斜率為，則______.14．某中學高一年級有420人，高二年級有460人，高三年級有500人，用分層抽樣的方法抽取部分樣本，若從高一年級抽取21人，則從高三年級抽取的人數是__________15．已知銳角的內角，，的對邊分別為，，，且．若，則外接圓面積的最小值為______16．設正項等比數列的公比為，前項和為，若，則_______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為，（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）已知，曲線與曲線相交于A，B兩點，求.18．（12分）某省食品藥品監(jiān)管局對15個大學食堂“進貨渠道合格性”和“食品安全”進行量化評估，滿分為10分，大部分大學食堂的評分在7~10分之間，以下表格記錄了它們的評分情況：分數段食堂個數1383（1）現從15個大學食堂中隨機抽取3個，求至多有1個大學食堂的評分不低于9分的概率；（2）以這15個大學食堂的評分數據評估全國的大學食堂的評分情況，若從全國的大學食堂中任選3個，記X表示抽到評分不低于9分的食堂個數，求X的分布列及數學期望.19．（12分）如圖，矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線在x軸上方的曲線上，求矩形面積最大時的邊長.20．（12分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.21．（12分）已知拋物線：，直線過定點.（1）若與僅有一個公共點，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點，直線OA，OB（其中О為坐標原點）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運算結果是否有為定值的？并說明理由.22．（10分）在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足（1）求A的大?。唬?）若，的面積為，求的周長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：由雙曲線性質得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題2、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項：，，，所以是的充分不必要條件，A錯誤；B選項：，，所以是的非充分非必要條件，B錯誤；C選項：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯誤.故選：C.3、D【解析】設出點(0,4)關于直線的對稱點的坐標，根據題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設點(0,4)關于直線x－y+1＝0的對稱點是(a,b),則，解得：，故選：D4、B【解析】用函數單調性確定參數，使用參數分離法即可.【詳解】，在上是增函數，即恒成立，；設，；∴時，是增函數；時，是減函數；故時，，∴；故選：B.5、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.6、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因為，所以曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點，如圖所示設曲線與軸的兩個交點分別為，直線過定點，為曲線上一動點，根據圖可知，若曲線與直線總有公共點，則，得，設直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D7、C【解析】先求出AB坐標，表示出，規(guī)定函數，其中，利用導數求最小值.【詳解】聯立解得可得點．聯立解得可得點．由題意可得解得，令，其中，∴．∴函數單調遞減；．因此，的最小值為故選：C【點睛】距離的最值求解：（1）幾何法求最值；（2）代數法：表示出距離，利用函數求最值.8、B【解析】根據已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B9、D【解析】根據向量共面基本定理只需無解即可滿足構成空間向量基底，據此檢驗各選項即可得解.【詳解】因為，所以A中的向量不能與，構成基底；因為，所以B中的向量不能與，構成基底；對于，設，則，解得，，所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構成基底；對于，設，則，此方程組無解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構成基底.故選：D10、A【解析】樣本中產品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數為36，∴樣本總數為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數為120×0.75＝90.考點：頻率分布直方圖.11、C【解析】根據題意求得直線l的方程，設，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點坐標為，則直線的方程為，設，聯立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.12、D【解析】過點作的垂線，垂足為，由線面垂直判定可知平面，則所求角即為，由長度關系求得即可.【詳解】在平面內過點作的垂線，垂足為，連接.，，，平面，平面，的正弦值即為所求角的正弦值，，，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##-0.0625【解析】使用點差法即可求解﹒【詳解】設，，則①－②得：，即，即.故答案為：.14、25【解析】由條件先求出抽樣比，從而可求出從高三年級抽取的人數.【詳解】由題意抽樣比例：則從高三年級抽取的人數是人故答案為：2515、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即可求出外接圓的面積；【詳解】解：因為，所以，解得或（舍去）．又為銳角三角形，所以．因為，當且僅當時等號成立，所以．外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為故答案為：16、【解析】由可知公比，所以直接利用等比數列前項和公式化簡，即可求出【詳解】解：因為，所以，所以，所以，化簡得，因為等比數列的各項為正數，所以，所以，故答案為：【點睛】此題考查等比數列前項和公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）2【解析】（1）消參數即可得曲線的普通方程，利用極坐標方程與直角坐標方程之間的轉化關系式，從而曲線的直角坐標方程；（2）將的參數方程代入的直角坐標方程，得關于的一元二次方程，由韋達定理得，即可得的值.【小問1詳解】由，消去參數，得，即，所以曲線的普通方程為.由，得，即，所以曲線的直角坐標方程為【小問2詳解】將代入，整理得，則，令方程的兩個根為由韋達定理得，所以.18、（1）（2）分布列見解析，【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由題設可得，故利用二項分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小問1詳解】設至多有1個大學食堂的評分不低于9分為事件，則.所以至多有1個大學食堂的評分不低于9分的概率為.【小問2詳解】任意一個大學食堂，其評分不低于9分的概率為，故，所以，，，，的分布列為：0123.19、當矩形面積最大時，矩形邊AB長，BC長【解析】先設出點坐標，進而表示出矩形的面積，通過求導可求出其最大面積.【詳解】設點，那么矩形面積，.令解得（負舍）.所以S在（0，）上單調遞增，在（，2）上單調遞；..所以當時，S有最大值.此時答：當矩形面積最大時，矩形邊AB長，BC長.20、（1）正弦定理見解析；（2）充要條件，證明見解析【解析】（1）用語言描述正弦定理，并用公式表達正弦定理（2）利用“大角對大邊”的性質，并根據正弦定理進行邊角互化即可【詳解】（1）正弦定理：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等且等于這個三角形外接圓的直徑，即.（2）是充要條件.證明如下：充分性：又故有：必要性：又綜上，是的充要條件21、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解析】（1）過拋物線外一定點的直線恰好與該拋物線只有一個交點，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯立直線的方程與拋物線的方程，根據韋達定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結果.【小問1詳解】過點的直線與拋物線僅有一個公共點，則該直線可能與拋物線的對稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當直線可能與拋物線的對稱軸平行時，則有：當直線與拋物線相切時，由于點在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時，不妨設直線的斜率為，則有：聯立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或【小問2詳解】若與交于A，B兩點，分別設其坐標為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個交點，則直線的斜率存在且不