成都實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考試題含解析

成都實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．2．在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（）A．點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值3．已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．C． D．4．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．45．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．36．給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④7．已知集合則（）A． B． C． D．8．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．9．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；④若對(duì)任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．10．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．201711．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,12．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長度為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角的對(duì)邊長分別為，已知，且，則_________．14．驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào)，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識(shí)別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.15．在長方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是______.16．已知向量，，若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某商店舉行促銷反饋活動(dòng)，顧客購物每滿200元，有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次，滿400元可以抽獎(jiǎng)兩次，依次類推）.抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號(hào)一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金40元；若摸得的小球編號(hào)一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金20元；其余情況獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元.（1）某人抽獎(jiǎng)一次，求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.18．（12分）某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))；（2）記每日生產(chǎn)平均成本求證：；（3）若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.19．（12分）已知圓M：及定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在上，點(diǎn)G在上，且滿足，，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動(dòng)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.20．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.22．（10分）已知，，.（1）求的最小值；（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，即可排除A、D，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)?，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，∴B項(xiàng)不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力，一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng)，屬于中檔題.2、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面內(nèi)的相交直線平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，即點(diǎn)是線段上上的動(dòng)點(diǎn)．正確．對(duì)于，平面平面，和平面相交，與是異面直線，正確．對(duì)于，由知，平面平面，與不可能平行，錯(cuò)誤．對(duì)于，因?yàn)?，則到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3、D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式，從而得出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)解析式為，由于其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，又，所以，所以，所以，因?yàn)榈倪f增區(qū)間是：，，由，，得：，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對(duì)稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進(jìn)行圖象的平移時(shí)，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.4、B【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計(jì)算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．6、D【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇．【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題．7、B【解析】

解對(duì)數(shù)不等式可得集合A，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，對(duì)數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

設(shè)為中點(diǎn),先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計(jì)算,得出結(jié)論．【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．9、C【解析】

化的解析式為可判斷①，求出的解析式可判斷②，由得，結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由得可判斷④.【詳解】由題意，，所以，故①正確；為偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故③正確；若對(duì)任意，都有成立，則為最小值點(diǎn)，為最大值點(diǎn)，則的最小值為，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的問題.10、B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，，，計(jì)算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，故，，，，故，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，故前項(xiàng)和最大.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.11、D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．12、D【解析】

設(shè)，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設(shè)，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即∵∴∵∴故答案為414、【解析】

首先判斷出中間號(hào)碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.15、【解析】

利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長方體中，，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，解得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).16、10【解析】

根據(jù)垂直得到，代入計(jì)算得到答案.【詳解】，則，解得，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元，可能是三次二等獎(jiǎng)，也可能是一次一等獎(jiǎng)，兩次三等獎(jiǎng)，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，設(shè)恰好獲得60元為事件A，因?yàn)?0＝20×3＝40＋10＋10，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步，再求解對(duì)應(yīng)的概率，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).18、（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結(jié)論，判斷出，由此結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，證得.【詳解】（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，（2）要證，只需證，即證，設(shè)則所以在上單調(diào)遞減，所以所以，即；（3）因?yàn)橛钟桑?）知，當(dāng)時(shí)，所以所以所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查放縮法證明數(shù)列不等式，屬于難題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求范圍.【詳解】（1）為的中點(diǎn)，且是線段的中垂線，，又，∴點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為（），則，，，所以曲線C的方程為.（2）設(shè)直線l：（），由消去y，可得.因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，.①又由可得；同理可得.由原點(diǎn)O到直線的距離為和，可得.②將①代入②得，當(dāng)時(shí)，，綜上，面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查了軌跡和直線與曲