高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題 專項練習(xí)（學(xué)生版+解析）

第05講利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

(核心考點精講精練)

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新I卷，第19題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(不含參)

2023年新II卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

根據(jù)極值點求參數(shù)

含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2022年新H卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

裂項相消法求和

2020年新I卷，第21題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程

2020年新II卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值

a<

3。之/(x)恒成立<=>?>/(x)max，/(x)恒成立Qa<f(x)min,

【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點內(nèi)容，也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

知識點1恒成立問題常見類型

利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題核心考點

知識點2恒成立問題的解決策略考點1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立問題

知識講解

1.恒成立問題常見類型

假設(shè)X為自變量，其范圍設(shè)為。，為函數(shù)；。為參數(shù)，g(a)為其表達式，

(1)了(X)的值域為［m,知］

①Vxe￡>,g(a)?/(x),則只需要g(a)［/⑺/=加

VxeD,g(a)</(x),則只需要g(a)</(x*

②VxeRg(a)之/(%),則只需要g(a)之/(x)1mx=Af

VxeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)>/(x)1mx=Af

(2)若的值域為?，域)

①VxeD,g(tz)</(x),則只需要

VxeRg(a)</(x),則只需要g(a)W/w(注意與⑴中對應(yīng)情況進行對比)

②VxeZ),g(a)>/(x),則只需要g(a)?Af

VxeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)2〃(注意與(1)中對應(yīng)情況進行對比)

2.恒成立問題的解決策略

①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；

②部分分離，化為切線；

③完全分離，函數(shù)最值；

④換元分離，簡化運算；

在求解過程中，力求“腦中有'形'，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等

式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜

合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱

點.

考點一、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立問題

■典■■例■■■引■■■領(lǐng)■■

cinY(jrA

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/5)=辦———,xe0,-

cosxI2J

⑴當(dāng)a=8時，討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(元)<sin2無恒成立，求。的取值范圍.

2.(2020?海南?高考真題)已知函數(shù)/(x)=aei-lnx+lna.

(1)當(dāng)”=e時，求曲線y=〃x)在點(1,/。))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若不等式/'(x)21恒成立，求a的取值范圍.

3.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)"x)=e'+依2-x.

(1)當(dāng)4=1時，討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)定0時，f(x)>|x3+l,求。的取值范圍.

即時檢測

...........

1.(2023?河北?模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃x)=(e-a)e￡+x(aeR).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若存在實數(shù)“，使得關(guān)于x的不等式/(x)(久恒成立，求實數(shù)％的取值范圍.

2.(2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=e'-e"(a+lnx).

⑴當(dāng)a=l時，求〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若〃x)20恒成立，求。的取值范圍.

3.(2023.浙江杭州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)f(x)=e*-々aeR).

⑴討論函數(shù)〃元)零點個數(shù)；

(2)若，(元)|>alnx-a恒成立，求a的取值范圍.

4.(2023?湖北荊門?荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)函數(shù)4x)=e'-水，尤N0且aeR.

⑴求函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若Nx2+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

5.(2023?山東?山東省實驗中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e'-a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.

⑴討論方程〃力=%實數(shù)解的個數(shù)；

⑵當(dāng)時，不等式〃x)2g(x)恒成立，求。的取值范圍.

【基礎(chǔ)過關(guān)】

1.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=flx-ln(x+l)-cosx,aeR.

⑴當(dāng)。=0時，求〃x)在尤=0處的切線方程；

⑵若xe[0,l]時，/(力2-1恒成立，求。的取值范圍.

2.(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(xXx-l+axlnxmeR).

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)函數(shù)g(尤)=m。+1)+/(無)，當(dāng)0<aWl時，g(元)N0恒成立，求整數(shù)機的最小值.

3.(2023?安徽滁州??？家荒?已知函數(shù)/(x)=lnx+3,aeR.

X

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)了(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式x-2a恒成立，試求a的取值范圍.

4.(2023?遼寧鞍山?校聯(lián)考一模)己知函數(shù)〃尤)=g尤2-alnxgeR,awO).

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意的xe[L+e),都有成立，求a的取值范圍.

5.(2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=巨詈土

⑴當(dāng)a=2時，求“力在(-1"(-1))處的切線方程；

(2)當(dāng)尤20時，不等式/(x)W2恒成立，求。的取值范圍.

6.(2023?湖南衡陽?校考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=2xlnx-2依2,?eR.

(1)當(dāng)a=g，求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若/(%)<工?-lux-1在(1,+?)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

7.(2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(尤)=sin犬一雙，awR.

(1)若a=2,求曲線y=〃x)在點處的切線方程；

⑵若了(%)2。在xe,竽]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

OO

8.(2023?江蘇無錫?輔仁高中?？寄M預(yù)測)己知函數(shù)/(元)=-尤+lnx,g(x)=xeJ:-2x-m.

(1)求函數(shù)“X)的極值點；

(2)若/(x)4g(力恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

9.(2023?河北?校聯(lián)考一模)已知函數(shù)/■(x)=sin2x+<2?.

(1)當(dāng)。=1時，求〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

JT

⑵若xe0,y,不等式sin(2cos尤)+恒成立，求實數(shù)°的取值范圍.

10.(2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模)己知函數(shù)/(x)=(x+l-2a)ln(x-a)

(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)〃無)的極值；

⑵當(dāng)x"+l時，"X)1-1恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【能力提升】

1.(2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)“xbd-cosx.

⑴求的零點個數(shù)；

⑵當(dāng)xe0,1時，妙(x)恒成立，求b的取值范圍.

2

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?齊齊哈爾市實驗中學(xué)?？既?已知函數(shù)〃x)=——+lnx(?>0).

x+a

(1)當(dāng)。=0時，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若疝2/(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

3.(2023?海南??？寄M預(yù)測)已知a>0,函數(shù)〃x)=xe“-依.

⑴當(dāng)。=1時，求曲線y=在x=l處的切線方程；

⑵若〃x"lnx-x+l恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

4.(2023?山東?山東省實驗中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=e，-a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.

⑴討論方程〃力=%實數(shù)解的個數(shù)；

(2)當(dāng)時，不等式〃x)2g(x)恒成立，求。的取值范圍.

5.(2023?江蘇無錫?江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)=—aeR

(1)當(dāng)a=2時，證明：〃x)20在［1,+8)上恒成立；

⑵判斷函數(shù)“X)的零點個數(shù).

6.(2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(e*-l)(2+cosx)-3asinx.

⑴當(dāng)a=l時，討論“X)在區(qū)間［0,+8)上的單調(diào)性；

⑵若Vxe--,+?J,/(x)>0,求。的值.

7.(2023廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃力=亞二1)

JC

(1)當(dāng)°=1時，證明：/(x)<lnx；

x-1Inx/、

⑵已知在x?l,+co)上恒成立，求。的取值范圍.

8.(2023?山東荷澤?山東省鄴城縣第一中學(xué)校考三模)已知函數(shù)〃尤

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)在［3,4］上單調(diào)遞增，求實數(shù)沉的取值范圍；

(3)若「⑴=0,且/(%)+f4無(*+1)+6在(0,+8)上恒成立,證明：

K—1

9.(2023?河北滄州??？寄M預(yù)測)9知函數(shù)〃力=1"：2一1).

⑴求函數(shù)“X)的極值點個數(shù)；

⑵若不等式(x+l)2/(x+l)>加在(1,+8)上恒成立，求機可取的最大整數(shù)值.

10.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)=x(a-e2］,其中aeR.

(1)討論函數(shù)〃尤)極值點的個數(shù)；

(2)對任意的x>0,都有/(x)W-Inx-1,求實數(shù)。的取值范圍.

【真題感知】

1.(北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=ln「.

(I)求曲線y=/(x)在點(0，〃。))處的切線方程；

(II)求證：當(dāng)X?O,1)時，+

(III)設(shè)實數(shù)上使得〃x)>左卜+：)寸xe(O,l)恒成立，求上的最大值.

2.(天津?高考真題)已知函數(shù)/(x)=x+@+b(xr0),其中a,R

(1)曲線>=/(尤)在點尸(2J(2))處的切線方程為y=3x+l,求函數(shù)〃x)的解析式;

(2)討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性；

(3)若對于任意的aeI，2,不等式/Q)<10在上恒成立，求b的取值范圍.

2,

3.(江西?高考真題)已知函數(shù)/(%)=/+QX2+"+C在工=一1與工=1時都取得極值

(1)求。、人的值與函數(shù)/(兀)的單調(diào)區(qū)間

(2)若對xe[-l,2],不等式/(x)<c2恒成立，求c的取值范圍.

4.(湖南?高考真題)函數(shù)了⑺二曲^^耳犬耳。,”)，記憶,為了⑺的從小到大的第w(〃eN*)個極值點.

(I)證明：數(shù)列"(匕)｝是等比數(shù)列；

(II)若對一切"eN*,恒成立，求。的取值范圍.

5.(四川?高考真題)設(shè)函數(shù)"2_〃_1nx,其中〃￡R.

(I)討論於)的單調(diào)性;

(H)確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).

X

6.(天津?高考真題)已知函數(shù)/(*)=*+9+從工工0),其中a/“火.

X

(I)若曲線)，=/(*)在點P(2./(2))處的切線方程為y=3.t+1，求函數(shù)/(x)的解析式；

(II)討論函數(shù)/(K)的單調(diào)性；

(III)若對于任意的；,2,不等式/卜區(qū)10在[；1]上恒成立，求/)的取值范圍.

第05講利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

(核心考點精講精練)

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新I卷，第19題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(不含參)

2023年新II卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

根據(jù)極值點求參數(shù)

含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2022年新H卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

裂項相消法求和

2020年新I卷，第21題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程

2020年新II卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值

a<

3。之/(x)恒成立<=>?>/(x)max，/(x)恒成立Qa<f(x)min,

【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點內(nèi)容，也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

知識點1恒成立問題常見類型

利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題核心考點

知識點2恒成立問題的解決策略考點1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立問題

知識講解

3.恒成立問題常見類型

假設(shè)X為自變量，其范圍設(shè)為。，為函數(shù)；”為參數(shù)，g(a)為其表達式，

(1)了(X)的值域為［m,知］

①Vxe￡),g(a)?/(x),則只需要g(a)=加

VxeD,g(a)</(x),則只需要g(a)</(x*

②VxeRg(a)之/(%),則只需要g(a)之/(x)1mx=Af

VxeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)>/(x)1mx=Af

(2)若的值域為?，域)

①VxeD,g(tz)</(x),則只需要

VxeD,g(a)</(x),則只需要g(a)Wm(注意與⑴中對應(yīng)情況進行對比)

②VxeZ),g(a)>/(x),則只需要g(a)?Af

VxeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)2〃(注意與(1)中對應(yīng)情況進行對比)

4.恒成立問題的解決策略

①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；

②部分分離，化為切線；

③完全分離，函數(shù)最值；

④換元分離，簡化運算；

在求解過程中，力求“腦中有'形'，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等

式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜

合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱

點.

考點一、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立問題

■典■■例■■■引■■■領(lǐng)■■

cinY(jrA

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/5)=辦———,xe0,-

cosxI2J

⑴當(dāng)a=8時，討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(x)vsin2x恒成立，求〃的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析.

⑵(—8,3]

【分析】(1)求導(dǎo)，然后令，=cos2.討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;

(2)構(gòu)造g(%)=73-sin2%,計算/(%)的最大值,然后與0比較大小，得出。的分界點，再對。討論即可.

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

【詳解】(1)f{x}=a-

COS6X

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a—4=a—4

COSXCOSX

令cos?%=乙貝!Jt￡(0,1)

3—2/at?+2t—3

則〃

/'(x)=g?)=—.2.2

8r+2/-3(2/-1)(4/+3)

當(dāng)，

a=8,1(%)=g()=2：2

兀兀

當(dāng)即xe,/W<0.

4；2

當(dāng)代.11gpxef0,^l/(x)>0.

7171

所以在上單調(diào)遞增，在

/(x)452上單調(diào)遞減

(2)設(shè)g(x)=/(%)—sin2%

a5+2t—323

---^設(shè)

2-2(2t-l)=a+2-4t+

23

(p(t)=a+2-4t+------

，,、“26-4/-2f+62(/—1)(2產(chǎn)+2什3)

(p(t)=-4--+—=>0

所以以/)＜。⑴=ai3.

1°若ae(-00,3],g'(x)=(p(t)<a-3<0

即g(x)在，，3上單調(diào)遞減，所以g。)<g(o)=o.

所以當(dāng)。€(e,3],/。)。山2元,符合題意.

2。若々￡(3,+00)

00

當(dāng)/-0,2_g=-3^-—^—>—00，所以夕Q)—>—.

0⑴=々_3>0.

所以％e(0,1),使得。&)=0,即現(xiàn)e(0,使得/(%)=0.

當(dāng)年(/0,1),00>0,即當(dāng)X€(0,%())"0)>0,8(彳)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)xe(0,%),g(x)>g(0)=0,不合題意.

綜上〃的取值范圍為(-'3].

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元，注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性f=cosx在定義域內(nèi)是減函數(shù)，若％=cosx。,當(dāng)

f1),0Q)>0,對應(yīng)當(dāng)彳€(0,飛)送'(尤)>0.

2.(2020?海南?高考真題)已知函數(shù)/(x)=ae*r-Inx+lna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=〃x)在點(1,/。))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若不等式恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)告(2)口,+8)

e-1

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(Lf(l))切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形

面積公式得結(jié)果；

(2)方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)“X)的單調(diào)性，當(dāng)。=1時，由-⑴=0得/(力“加=/'⑴=1,符合題意；當(dāng)

時，可證rd)廣⑴<0,從而尸(X)存在零點%>0,使得/(x0)=a*T-’=0,得到/(初…利用零

axo

點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得了(力21恒成立；當(dāng)0<。<1時，研究7(1).

即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.

【詳解】(1)Q/(x)=e*-lnx+1,f'(x)=ex--,:.k=f'(V)=e-l.

x

Qf(l)=e+1,.?.切點坐標(biāo)為(1,1+e),

函數(shù)f(無)在點(lg)處的切線方程為y--l=(e-l)(尤-1),即y=(e—l)x+2,

???切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為(。,2),(二0),

e-1

1-92

所求三角形面積為彳x2x|―-|=-

2e—1e—1

（2）［方法一］:通性通法

Q于(x)=aex~x-Inx+In<2,f'{x}=aex~l—,且〃>0.

x

設(shè)g(x)=1⑴,則gG)=ae-+-4>0,

???g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即廣⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)a=1時，/⑴=0,二“力加="1)=1,.：/(x)21成立.

1111-1

當(dāng)4>1時,-<1,?羨(一):⑴=a(--l)(a-l)<0,

二存在唯一%>0,使得((Xo)=a*T-■-=0,且當(dāng)xe(O,Xo)時r(x)<0,當(dāng)xe(毛,+8)時八元)>0,

xo

時11

--,/.In<2+x0-1=-Inx0,

%

因此/(x)min=/Uo)=ae&T-In/+Ina

-----FIn6z+XQ-1+In2InQ-1+21—,—2InQ+1>1,

%0Vo

.：〃X)>1,"(x)21恒成立；

當(dāng)0<a<l時，/(l)=a+lna<a<l,/⑴不是恒成立.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是［1,+8).

［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)

由/(x)21得ae、i—In尤+lna21,即+ln“+x—l2In尤+無，而In無+x=**+ln無，所以

elnfl+%-1+lna+x-l>elnv+ln^.

令h(m)=d"+m,則"(%)=e"+l>0,所以癡加)在R上單調(diào)遞增.

由eSa+i+lna+x-lNeSx+lnx,可知〃(lna+x-l)2/z(lnx),所以111。+工一13111工，所以111。上(111x一芯+1)網(wǎng).

^F(x)=lnx-x+l,貝(無)=▲_1=—.

XX

所以當(dāng)Xe(0,1)時，F(xiàn)\x)>0,F(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(L+?)時，尸'(x)<0,尸⑺單調(diào)遞減.

所以［尸(現(xiàn)皿=尸。)=0,則lna>0,即aUl.

所以a的取值范圍為a21.

［方法三］:換元同構(gòu)

由題意知。>0,x>0,令ae*T=f,所以lna+x-l=lnt,所以lna=lnr-x+l.

于是/(%)=aex'-lnx+lna=/-lnx+ln?-x+l

由于/(x)Nl,t-lnx+lnr-x+121or+lnfNx+ln無，而y=x+ln尤在無e(0,+co)時為增函數(shù)，i^t>x,即

x

ae^>x,分離參數(shù)后有a22.

e

x

A/x%二匚i、i，/、e"i—xce"i(1—x)

令gO)=/F，所以g'(x)=1=洪.2?

當(dāng)0<x<l時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減.

X

所以當(dāng)x=l時，g(x)=F取得最大值為g(l)=l.所以/1.

e

［方法四］:

因為定義域為(0，"),且/㈤*1,所以/⑴N1,即a+lnaNl.

令S(a)="+ln。，則￡(0)=1+工>0,所以S(a)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

a

因為S(l)=l,所以aNl時，有S(a)NS(l),即a+lnaNl.

下面證明當(dāng)時，恒成立.

令T(〃)=Q/T—inx+ln〃,只需證當(dāng)時,T(a)之1恒成立.

因為r(a)=^-'+->0,所以T(a)在區(qū)間［1,y)內(nèi)單調(diào)遞增，則［7(a)］*=T(l)=e^'-ln.x.

a

因此要證明時，T(a)21恒成立，只需證明［T(a)］1nto="T-lnx21即可.

由e*2x+1,InxWx-1,得ex~'>x,-lnx>l-x.

上面兩個不等式兩邊相加可得故時，/(無)21恒成立.

當(dāng)0<a<l時，因為/⑴=。+山”1,顯然不滿足/'(x)N1恒成立.

所以a的取值范圍為.

【整體點評】(2)方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(尤)的單調(diào)性，求出其最小值，由九.NO即可求出，解法雖

稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；

方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成65+1+lna+尤+lnx,再根據(jù)函數(shù)以間^em+m的單調(diào)性以

及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；

方法三：通過先換元，令a*一,再同構(gòu)，可將原不等式化成r+ln此x+lnx,再根據(jù)函數(shù)，=x+ln尤的

單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；

方法四：由特殊到一般，利用了⑴可得。的取值范圍，再進行充分性證明即可.

3.(2020.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(無)=1+62-x.

(1)當(dāng)a=l時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)定0時，f(x)二丁+1,求。的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)xe(—,0)時，尸(龍)<0,〃力單調(diào)遞減，當(dāng)x?0,y)時，單調(diào)遞增.(2)

-7-e2

,+00

4

【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值

即可確定實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時，f(x)=e+x2-x,/(x)=e'+2x-l,

由于f'(x)=e工+2>0,故尸(無)單調(diào)遞增，注意到/'(0)=0,故:

當(dāng)時，/'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(O,y)時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：分離參數(shù)

由/(x)25尤+1得‘e"+ax2—.x..x3+1,其中x2。,

①.當(dāng)x=0時，不等式為：121,顯然成立，符合題意；

A3

e_1r_r_I

②.當(dāng)尤>0時，分離參數(shù)。得，2，

u…-------z------

x

^x2-x-1

ex--x3-x-l(x-2)e*

記g(x)=-一馬一，"——

令力(尤)=e"'0),

貝(j//(無)=el-x-l,h(x)=e'-l>0,

故"(x)單調(diào)遞增，〃(x)N〃(O)=O,

故函數(shù)為(x)單調(diào)遞增，/i(x)>/i(O)=O,

由/z(x)NO可得：e"—5彳2—x—1..0恒成立，

故當(dāng)xe(0,2)時,g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(2,+oo)時,g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

I--17—e2

因此，［g(x)L「g(2)=-，

2

7-e，+O)

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是40\'

［方法二］:特值探路

7-e2

當(dāng)xNO時，/(月233+1恒成立=>〃2)摩=>。

4

7一,21

只需證當(dāng)心一時，9寸』恒成立.

7—0c7_

當(dāng)〃〉-----時，/(x)=e"+ax2-x>ex+------e---x2-x.

44

7_p2i

只需證明ex+—-—x2-x>-x3+l(x>0)⑤式成立.

xzx3(e?—7)x2+4x+2d+4

⑤式o-----L----------------------<4，

一

人(e2-7)x2+4x+2%3+4

令h(x)=-------1---------------------(%20)，

ex

貝I]/⑺=(1"小+2(/一9卜一2尤3二

e

9-e2

所以當(dāng)xe0,二一時，廳(%)<0/(尤)單調(diào)遞減；

當(dāng)無￡廣2c，21,h\x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)工￡(2,+8),hf(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.

從而由(xXhx=max{久0),久2)}=4,即⑤式成立.

所以當(dāng)〃之上-幺時，/(xRjd+i恒成立.

42

綜上〃2上

4

[方法三]:指數(shù)集中

當(dāng)x0時，f(x)2—d+1怛成立e"...-+1—cix^+xn(——ux^+x+l)e*W1,

2—22

記g(%)=(g%3-ax2+x+l)e-x(x>0),

gr(x)=—(—x3Q%2+x+1——%2+2,cixl)e*————(2Q+3)x+4a+2]ex=——x(^x—2Q——2)e》,

①.當(dāng)2〃+140即〃(一；時，g<x)=0nx=2,則當(dāng)％后。2)時，gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，又g(0)=l,

所以當(dāng)%￡(0,2)時，g(x)>l,不合題意；

②.若0<2a+l<2即一;<[<；時，則當(dāng)無￡(0,2a+l)u(2,+oo)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)%￡(2〃+1⑵

時，，⑺>0,g(x)單調(diào)遞增，又g(O)=l,

1—j2721

所以若滿足g(x)Wl,只需g⑵41，即g⑵=(7-44把-2<1=>0..三，所以當(dāng)二三上〈.<巳時，g(x)<l

成立;

③當(dāng)2a+122即a2；時，g(x)=(g尤3一依？4(g/+》+］把-",又由②可知三〃<；時，g(x)<l

1Q

成立，所以［=0時，g(x)=(5/+X+i)eTW1恒成立，

所以時，滿足題意.

綜上，a...-——.

4

【整體點評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，本

題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：

方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；

方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險性；

方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進行分類討論，具有一定的技巧性！

即時檢測

1.(2023?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(e—a)e*+x(aeR).

⑴討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性；

(2)若存在實數(shù)。，使得關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)力的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析.

(2)-1,+=o

【分析】(1)求導(dǎo)以后對導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)進行分類討論，根據(jù)不同的分類判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)第1問的結(jié)論，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大(小)值問題，構(gòu)造新函數(shù)，求出2的范圍.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=(e-a)e，+x(aeR),xeR,則尸(x)=(e-a)e"+1,

當(dāng)e—aNO,即aMe時，/(尤)>0恒成立，即了⑺在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)e—。<0,即a>e時，令尸(x)=。，解得x=-ln(a-e),

X(-oo,-ln(?-e))-ln(6z-e)(-ln(tz-e),+oo)

f'M+0—

fM/極大值

綜上所述，當(dāng)a<e是，"X)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>e時，/(x)在(-oo,-ln(a-e))上單調(diào)遞增，在(-ln(a-e),+co)上單調(diào)遞減.

(2)/(%)42。等價于(e-Q)e“+x-XQW0,令%(%)=(e-a)e“，

當(dāng)aMe時,/z(l+2a)=(e-a)e1+^+l>0,所以〃(x)wO不恒成立，不合題意.

當(dāng)a>e時，/(x)V4。等價于2a2/(a)max,

由(1)可知/(XLax=/(-ln(a-e))=-l-ln(a-e),

所以XaN-l-lnm-e),對a>e有解，所以；121皿。,)對有解,

a

因此原命題轉(zhuǎn)化為存在a>e,使得23TTn(a-e)

a

令a⑷=Tn(ae)l,fl>e>則九2以。*…

a

—]n(〃-e)[ln(a—e)---^―

"，⑷二-----+±=-------，

aaa

e1e

令0(a)=ln(Q—e)-----,貝ij0'(a)=----+-----^->0,

〃一ea—e(a—e)

A

所以(p(a)在(e,+8)上單調(diào)遞增，又0(2e)=------+ln(2e-e)=0,

2e-e

所以當(dāng)e<a<2e時，。(。)<0,u\a)<0,故"(a)在(e,2e)上單調(diào)遞減，

當(dāng)a>2e時，<p(a)>0,u'i9yr6xm>0,故"(a)在(2e,+co)上單調(diào)遞增，

所以設(shè)⑷而口=a(2e)=-L所以人」，

ee

即實數(shù)2的取值范圍是

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，問題化為存在〃>e,使得22土皿二包，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最小值，即

a

可得范圍.

2.(2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=e'Y"(a+lnx).

⑴當(dāng)a=l時，求〃尤)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若“司之0恒成立，求。的取值范圍.

【答案】⑴(1,內(nèi))

⑵(-訓(xùn)

【分析】(1)代入求導(dǎo)得:(x)=e'-：,再次設(shè)導(dǎo)函數(shù)為新函數(shù)進行求導(dǎo)得到其單調(diào)性和其零點，從而得

到〃x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)法一：令g(x)=xe，-e“，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在定理得存在唯一正實數(shù)%使得x°e』=e"，從而得到

Jflfl

/(x)imn=/(x())=eo-elnr()-ea,再利用隱零點法得x0+21叫'W0,再次設(shè)新函數(shù)進行求導(dǎo)從而得到

xo

。的范圍；

法二：同法一求得1nl.=〃％)=d—e"l啄—e"a,則

fla

/(^)mn=A-+x0-a\-ea,利用基本不等式有/(x)rin>e(2-a)-e?>0,從而得到。的范圍?

【詳解】(1)當(dāng)a=l時，/(x)-e"-e(l+lnr),尸(x)=e'1,

設(shè)夕(x)=e*一：

又“⑺=e，+城>0,必尤)在(0,4w)上單調(diào)遞增,

又/'⑴=0,.?.當(dāng)xe(O,l)時/(%)<(),當(dāng)xe(l,+勸時

/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(2)對函數(shù)“力求導(dǎo)得，/⑺=令g(x)=xe，—e",

XX

則g，(x)=er+xex>0,g(x)=xe*-e"在(0,+e)上單調(diào)遞增,

又g(0)=-e"<。，當(dāng)x->+8時g(x)->+<z>,

故存在唯一正實數(shù)與使得/e'。=e"，

當(dāng)x<%時，r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>x0時，f^x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

aa

；?〃力*=fM=e^-elwc0-ea,

由〃x)20恒成立，得〃x)血了0,

fl

由=ex0+\wc0=a,/./(x)^=/(-\))=e^-A：0(x0+21nx0)>0

1-%0(%0+211?:0)>0,/.^(x0+21nx0)-l<0,

%+21nx0-----<0,

尤0

i21

設(shè)%(%)=%+21nx—,貝U//(%)=Id----1—^">0怛成立，

XXX

故〃(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，而/2(1)=0,

0<x0<1,

又升+1啄=a且函數(shù)>=尤+如在(0,1］上是增函數(shù)，

故。的取值范圍為(-8』

法2：同法一得/(x).=/(九0)=/一6"叫一^"

x

由x0e°=e"得x0+lnx0=a,

a

er1\(1)

.*?f(x).=---e。IHXQ—e"a=e。---IHXQ_e。a=e。|---F—Q_caa

\'min丫YIY

Ao\Ao7l人o7

>ea(2-a)-eflfi>0,當(dāng)且僅當(dāng)%=1時等號成立，

e°(2-2?)>0,

故。的取值范圍為(-*1]

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問利用零點存在定理及隱零點法得到〃x)1nm=〃與)=e&-x°e-(5+21mo)20,

從而有毛+21叫-，W0,再次重新設(shè)函數(shù)Mx)=x+21nx-L根據(jù)其單調(diào)性和零點得到。<x°W1,從而得

入0X

到a￡(-00,1].

3.(2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=e'-3(aeR).

X

⑴討論函數(shù)〃尤)零點個數(shù)；

(2)若，(尤)|>aln尤-。恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；

⑵(-8,產(chǎn))

【分析】(1)將f(x)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，設(shè)Mx)=xe)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，

作出其大致圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.

(2)分。=0,。<0,。>0三種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式恒成立考慮函數(shù)最值

情況或利用單調(diào)性求解不等式，從而求得參數(shù)范圍.

【詳解】(1)由/(x)=e*-3=。，得==a,(xw0),

設(shè)=,則”(%)=(x+l)e",

當(dāng)xv-l時，”(了)<0,當(dāng)一1<兀<0,%>0時，

所以可無)=xex在(-1,0),(0,y)上單調(diào)遞增；在