2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：第八章 直線和圓的方程

第八章

直線和圓的方程

第一節(jié)直線的方程

［學(xué)習(xí)要求］1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.2.理

解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線

斜率的計(jì)算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)

斜式、兩點(diǎn)式及一般式）.

,必備知識

［知識梳理］

知識點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

（1）定義：當(dāng)直線/與X軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，X軸正方向與直線/向上方

向之間所成的角a叫做直線/的傾斜角；

（2）規(guī)定：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為

（3）范圍：直線/的傾斜角a的取值范圍是（TWa〈斜0。.

2.直線的斜率

（1）定義：當(dāng)直線I的傾斜角時，其傾斜角a的正切值tana叫做這條直線的斜率，

斜率通常用小寫字母上表示，即仁tana；

（2）斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)Pi（X1，M）,尸2（X2,"）（Xi#X2）的直線的斜率為左=_

曠2一兀

々—％］——,

知識點(diǎn)二直線的方程

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率與X軸不垂直的直線

點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率,v—y“=k（x—X。）

y-yx%一七

兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)丫2一丫1%2一與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線

（X1W%2，乃‘為）

xy不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不

截距式縱、橫截距a+b=i

垂直的直線

Ax+By+C=0

一般式所有直線

（42+爐#0）

［小題診斷］

1.已知直線/的傾斜角為120。，則直線/的斜率為（）

BT

D.—平

答案：D

2.已知直線/過點(diǎn)（1,1）,且傾斜角為90。，則直線/的方程為（）

A.x+y=lB.x-y=\

C.y=1D.x=l

答案：D

解析,因?yàn)橹本€/的傾斜角為90。，

所以該直線的斜率不存在，與x軸垂直.

又因?yàn)橹本€/過點(diǎn)（1,1）,

所以直線/的方程為x=l.

3.若直線/：y=—（〃+1）x+a—2不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

答案：（-8,—1］

解析：因?yàn)橹本€不過第二象限，

的iz、J—（Q+1）2o

所以a-2<0,

解得aW—1,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,—1],

4.過點(diǎn)尸(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.

答案：3x—2y=0或x+y—5=0

學(xué)生用書[第184頁

.關(guān)鍵能力步露建整

考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率

[例1](1)已知點(diǎn)/(2,3),B(一3,-2),若直線/過點(diǎn)P(1,1),且與線段NB

始終沒有交點(diǎn)，則直線/的斜率左的取值范圍是()

A.Q,2)B.(—8,(2,+°0)

C.Q,+co)D.(—8,2)

(2)直線2xcosa—y—3=0(aG卜，的傾斜名三的變化范圍是()

A.Ri]B.g9

eg，gD.[=￥]

[答案](1)A(2)B

3

[解析](1)由已知得心尸=fz[=2,自產(chǎn)=二|二|；=%.如圖，因?yàn)檫^點(diǎn)尸(1,1)的直線/

是保2)

與線段始終沒有交點(diǎn)，所以斜率后的取值范圍

J

~~2~~3x

(2)直線2xcos儀一^一3=0的斜率左=2cosa.

由于f-,-1,所以cosaW*,

因此左=2cos鄧].

設(shè)直線的傾斜角為仇則有tan<9￡[l,病.

由于?！闧0,7i),

所以.4,3卜

|方法總結(jié)|

直線的斜率與傾斜角的區(qū)別與聯(lián)系

直線/的斜率4直線/的傾斜角a

當(dāng)直線1垂直于1軸

區(qū)當(dāng)直線/垂直于.r軸

別時./的斜率歸不存在時,/的傾斜角a為長

(1)&=tana,aC

(2)當(dāng)aS[o,時.a越大，/的斜率越大；當(dāng)aC

用

系(￡".7r)時.a越大"的斜率越大.

(3)所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都存在

斜率

內(nèi)跟蹤訓(xùn)練

1.若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別

為,.

答案：3—3

解析：在正方形中，對角線05所在直線的斜率為2,建立如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系.

設(shè)對角線OB所在直線的傾斜角為仇則tan9=2,

由正方形性質(zhì)可知，直線04的傾斜角為6—45。，直線。。的傾斜角為9+45。,

tan0-tan4502-11

--?

故七tan(0—45°)~1+tan0tan4501+23

tan0+tan4502+1

華C-tan("+45。)—I_tan6tan450—1-2——3.

考點(diǎn)二直線方程的求法

［例2］(1)直線過點(diǎn)(一4,0),傾斜角為30。的直線方程為；

(2)直線過點(diǎn)(一3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,則該直線方程為.

［答案］(1)a一3y+44=0(2)4x—y+16=0或x+3y—9=0

［解析］(1)A;=tan由點(diǎn)斜式得

y=-y(x+4),即—3j+4-\/^=0.

(2)由題設(shè)知縱、橫截距不為0,設(shè)直線方程式為:十五:=1,又直線過點(diǎn)(一3,4),

—34

從而吃一l-12_a—1,解得a=-4或a=9.

故所求直線方程為4x—y+16=0或x+3y—9=0.

|方法總結(jié)|

求直線方程時的注意點(diǎn)

1.在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件.

2

.對于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運(yùn)用：若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率

不存在的情況;若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零.

3.截距是數(shù)，不是距離.它是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，在x軸上的截距是直線與x

軸交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)，在y軸上的截距是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).截距可正、可負(fù)、可為0

,因此在解與截距有關(guān)

的問題時，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解.

E跟蹤訓(xùn)練

2.已知直線/的一個方向向量為〃=(2,3),若/過點(diǎn)/(-4,3),則直線/的方程為

()

3,、

A.j—3=-2(x+4)

3,、

B.J，+3=2(x—4)

3、

C.y-3=2(%+4)

3、

D.j+3=—2(%—4)

答案：C

解析：法一,：因?yàn)橹本€/的一個方向向量為

n=(2,3),

3

所以直線/的斜率k=2,

3

故直線/的方程為y—3=2(x+4).

法二：設(shè)尸(x,y)是直線/上的任意一點(diǎn)(不同于4),則而=(x+4,y-3).

因?yàn)橹本€/的一個方向向量為〃=(2,3),

所以3(x+4)-2(y—3)=0,

3

故直線/的方程為y—3=2(x+4).

3.(多選)若直線過點(diǎn)力(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線/的方程為

()

A.x—y-\~1—0B.x+y—3=0

C.2x~y=0D.x~y—1=0

答案：ABC

2—0

解析：當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，斜率為左=工1=2,

所求的直線方程為y=2x,即2x—y=0;

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，

設(shè)所求的直線方程為x±y=a,

把點(diǎn)4(1,2)代入可得1—2=?；?+2=凡

求得〃=-1或Q=3,故所求的直線方程為%—j+l=0或x+y—3=0.

綜上知，所求的直線方程為2x—y=0,x—y+l=0或x+y—3=0.

學(xué)生用書1第185頁

考點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用

［例3］已知直線/過點(diǎn)尸（3,2）,且與x軸、y軸的正半軸分別交于4,8兩點(diǎn)，如圖所

示，求的面積的最小值及此時直線I的方程.

xv

［解］法一：依題意，設(shè)直線/的方程為z+*=l（°>0,6>0）,將點(diǎn)尸（3,2）的坐標(biāo)

代人方程得%+g=1篇,即°6224,當(dāng)且僅當(dāng)「不時，等號成立，從而SA^OB=2

b2

ab^l2,故△402的面積的最小值為12,此時直線/的斜率左=一￡=一§,從而所求直線/

的方程為2x+3y—12=0,所以△4OB的面積的最小值為12,此時直線/的方程為2x+3y

-12=0.

法二：依題意，直線/的斜率左存在，且左<0,可設(shè)直線/的方程為y—2=左（x—3）（k

<0）,則/（3—0）,B（0,2—3左），所以S=OB=?（2—3左）（3—1）=:

［12+（-%+冷卜

1I4-1

2［12+2J（-9fc）-^y］=,X（12+12）=12,

42

當(dāng)且僅當(dāng)一9左即左=—§時，等號成立.此時直線/的方程為2x+3y—12=0.所以

△/。2的面積的最小值為12,此時直線/的方程為2無+3y-12=0.

|方法總結(jié)|

與直線有關(guān)的求最值的常用方法

1.與直線的傾斜角、斜率、方程等有關(guān)的最值問題，常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值、利用基本不等

式求最值等.

2.直線過定點(diǎn)問題，常常把直線方程整理變?yōu)楹袇?shù)為主元的方程，得到兩個關(guān)于直線方

程中的變量的方程組求解得到定點(diǎn)坐標(biāo).

』跟蹤訓(xùn)練

4.若［例3］條件不變，求方?麗的最大值及此時直線/的方程.

解：由原例題法二知/（3—0）,B（0,2—3人），k<0.

故兩?麗=（_￡_2）（一3,一3k）

—~^+6k——[(_/+(-6k)]W

當(dāng)且僅當(dāng)一］=-6k,即左=—1時，等號成立.此時直線/的方程為x+y—5=0.

所以五『麗的最大值為一12,此時直線/的方程為x+了-5=0.

學(xué)生用書1第389頁

鞏固提變Q

［A組基礎(chǔ)保分練］

1.（2024?湖北武漢模擬）若直線/的一個方向向量為（一1,P）,求直線的傾斜角

（）

答案：C

解析：直線/的一個方向向量為（-1,平），則直線/斜率為一平，

2n

所以直線/的傾斜角為彳.

2.過點(diǎn)尸（-1,?且傾斜角為30。的直線方程為（）

A.y^x—3y+%內(nèi)=0B.y/^x—y+2v^=0

C.點(diǎn)x—3y+2A/^=0D.px—y=0

答案：A

3.若將直線/沿x軸正方向平移3個單位長度，再沿》軸負(fù)方向平移2個單位長度，又回到

了原來的位置，貝心的斜率是（）

答案：C

解析：由題意可知直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為（左W0）,

則平移后直線的方程為丁=左（x—3）~\-b—2=（fcr+Z?）+（—3k—2）,

可得Ax+6=（履+6）+（—3左一2）,

2

即k=~3-

4.（多選）（2024?遼寧大連模擬）已知直線/：底一y+l=0,下列說法正確的是

（）

A.直線/的傾斜角為60。

B.直線/在x軸上的截距為1

C.直線/的一個方向向量為a=（1,邪）

D.直線/與直線x+J9+c=0垂直

答案：ACD

解析：由y+l=0,可得/:y—y/^x+1,所以直線的斜率左=4，即tana=?,又

?e[0,IT）,所以傾斜角為60°,故A正確；

在.y+1=0中，令y=0,解得x=一~Y，所以直線/在x軸上的截距為一"，故B錯

、口

沃；

由直線的方向向量可知4=（1,&）是直線/的一個方向向量，故C正確；

由直線方程可得兩直線的斜率分別為避，-y,所以6x（—4）=—1,所以兩直線垂直,

故D正確.

5.（多選）下面說法錯誤的是（）

A.經(jīng)過定點(diǎn)尸（劭，泗）的直線都可以用方程yo=左（x—%o）表示

B.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程￡+3=1表示

C.經(jīng)過定點(diǎn)/（0,b）的直線都可以用方程y=fcc+6表示

D.經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)P（xi，為），Q（M，”）的直線都可以用方程（切一xi）（y—

為）=（”一%）（X—%1）表不

答案：ABC

解析：A錯，斜率不存在，則不可用.

B錯，與坐標(biāo)軸垂直的直線不可用.

C錯，天軸不可用.

6.方程>0)表示的直線可能是()

_________X.—、一

oXo

CD

答案：A

解析：當(dāng)〃>0時，直線的斜率a>0,該直線在y軸上的截距]>0,則直線歹=辦

十%過一>二、三象限.

7.直線x-2y+b=0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1,那么6的取值范圍是

()

A.[-2,2]

B.(―8,-2]U[2,+")

C.[-2,0)U(0,2]

D.(一巴+8)

答案：C

b

解析：令x=0,得歹=2，令y=0,得x=—b,

所以所求三角形的面積為|-bI=%2,且6W0,%W1,所以〃W4,

所以6的取值范圍是[-2,0)U(0,2].

8.直線/的方程為依一y+2左+l=0(/ceR),則該直線過定點(diǎn).

答案：(-2,1)

解析：y+2左+1=0可化為左(x+2)~y~\-1=0,令得｛j=/

即直線過定點(diǎn)(一2,1).

9.直線/的傾斜角是直線網(wǎng)一天一1=0的傾斜角的2倍，且過點(diǎn)(口，一1),則直線/的

方程為.

答案：居r+y—2=0

解析：直線&x—y—l=0可化為^=居;一1,其斜率為平，

???其傾斜角為60°,

???直線/的傾斜角為120°,

.\ki=tan1200=一雜，

?,?直線/的方程為y+1=—避(x—平)，

即V^x+歹一2=0.

10.過點(diǎn)(1,I),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為倒數(shù)的直線方程為.

答案：x+4y—2=0

解析：因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距互為倒數(shù)，

x

所以可設(shè)直線方程為之十町=1QW0).

又直線過點(diǎn)(1,，，所以工+鏟=1,解得。=2,所以所求直線方程為/+2了=1,即x+4y—

2=0.

11.在△/BC中，點(diǎn)/(2,1),8(1,3),C(5,5).若。為3C的中點(diǎn)，則直線所

在直線方程為.

答案：y=3x—5

解析：因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，

1—4

所以。(3,4),直線4D的斜率左=廠^=3,

所以直線/。所在的直線方程為y—4=3(x-3),即直線方程為＞=3x—5.

學(xué)生用書1第390頁

[B組能力提升練]

12.直線/：環(huán)由30。+產(chǎn)05150。+1=0的斜率是()

A.yB.V^

C.—A/3D.—y

答案：A

心■,—

解析：設(shè)直線/的斜率為左，則左=一7s^in記30°不=J》3

13.(2024?貴州遵義模擬)若直線/：(a—2)x+即+2a—3=0經(jīng)過第四象限，則〃的取值

范圍為()

A.(――,o)U(2,+8)

B.(―8,o)U[2,+8)

C.(―8,0)u(|,+oo)

D.(―8,0)u[|,+oo)

答案：C

3

解析：若4=0,則/的方程為X=—5，不經(jīng)過第四象限.

若<7=2,則/的方程為^=—2，經(jīng)過第四象限.

若aWO且Q#2,將/的方程轉(zhuǎn)化為y=----1X----------.

a-2

a—2一—"n->0,3

因?yàn)?經(jīng)過第四象限，所以一~rV0或，2a—3解得qVO或5Vq<2或6Z>2.

-——n<0,，

綜上知，a的取值范圍為(-8,o)uQ,+(?).

14.已知兩點(diǎn)/(3,0),B(0,4),動點(diǎn)尸(無，7)在線段上運(yùn)動，則孫()

A.無最小值，且無最大值

B.無最小值，但有最大值

C.有最小值，但無最大值

D.有最小值，且有最大值

答案：D

Xy/

解析：線段N8的方程為§+*=1（0WxW3）,則y=4（l—。（0WxW3）,所以孫=4x

x\4/3\23

（1—§）=-3,[x—2）+3,顯然當(dāng)x=2時，中取最大值3;當(dāng)x=0或3時，孫取最小值0.

15.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央

索塔一致.如圖是重慶千廝門嘉陵江大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.已知

拉索上端相鄰兩個錨的間距I2昌+1I。=1，2,3,9）均為3.4m,拉索下端相鄰兩

個錨的間距I44+1I。=1，2,3,9）均為16m.最短拉索的錨尸4滿足I。%I=

66m,IOAiI=86m,則最長拉索所在直線的斜率為（）

A.±0.47B.±0.45

C.±0.42D.±0.40

答案：C

解析：根據(jù)題意，IOAl0I=I04I+II=86+9X16=230,即點(diǎn)4°（230,

0）,同理So（-230,0）,又IOP。I=IORI+IPMI=66+9X3.4=96.6,即點(diǎn)

96.6-096.6-0

尸io（0,96.6）,所以0-230=-M2,%出。=o+230="42.

16.（多選）垂直于直線3x—4y—7=0,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線在x

軸上的截距是（）

A.4B.-4

C.3D.-3

答案：CD

解析：設(shè)直線方程是4x+3j+，=0,分別令x=0和y=0,得直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分

2

dd1Id|Id|d

別交L-Q,—j,所以6=,X卜.*|一9=方,

所以d=±12,則直線在x軸上的截距為3或一3.

17.（多選）已知直線xsina+ycosa+l=0（Q￡R）,則下列命題正確的是（）

A.直線的傾斜角是兀一a

B.無論a如何變化，直線不過原點(diǎn)

C.直線的斜率一定存在

D.當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1

答案：BD

解析：根據(jù)直線傾斜角的范圍為［0,7i),而兀一a￡R,所以A不正確；當(dāng)x=y=0時，

xsina+ycos1=1W0,所以直線必不過原點(diǎn)，B正確；當(dāng)a=］時，直線斜率不存在，C

不正確；當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

1—^-1=I,^I^1,所以D正確.

|—cosa|Ism2aI，

18.過點(diǎn)P(-1,0)且與直線小屏一了+2=0的夾角為二的直線的一般式方程

是.

答案：x+l=0或x—Wy+l=0

解析：直線A的傾斜角力引0,兀)且tanD=P,

則6日

U

因?yàn)樗笾本€與直線/1的夾角為％,

TCH

所以所求直線的傾斜角為/或2，

當(dāng)所求直線的傾斜角為2時，直線為x=—1;

當(dāng)所求直線的傾斜角為，時，直線為y=g(x+l),故直線為工一眄；+1=0.

綜上，所求直線為x+i=o或%—V^y+1—0.

19.求圓的切點(diǎn)弦方程可利用“同構(gòu)”思想.如“已知圓O：N+儼=1,過尸(一2,-2)作圓。

的兩條切線，切點(diǎn)記為4,B,求直線45方程”，部分解答如下：設(shè)yj,B{x2,y2)

,由尸404=0,化簡可得久1+'1+2為+2為=0,又因?yàn)樗?修+2為+1=

0,同理可得2必+2及+1=0,…則直線45的方程為.

答案：2x+2y+l=0

解析：由于公1+2為+1=0,2必+2為+1=0,故/(嗎，yj,2(叼，巧)均滿足方程2x+2y

+1=0,由兩點(diǎn)確定唯一的直線，故直線的方程為2x+2y+l=0.

20.已知不全為零的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，過點(diǎn)/（1,2）作直線/：G+6J+C=0的

垂線與直線/交于點(diǎn)尸，點(diǎn)。在直線3x—4y+12=0上，則|尸。1的最小值為.

答案：1

解析：：不全為零的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，

代入動直線/:ax+by+c=0,

a+c

仔ax-\--*y+c=0,

即a（2%+y）+c（y+2）=0.

Va,c不全為零，...{jjd'解得x=l,尸一2,

.?.動直線/過定點(diǎn)N（1,-2）.

設(shè)點(diǎn)P（x,y）,

??,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)N不重合時，AP±NP,

...而?而=（X-1,了-2）-（X-1,y+2）=0,

整理,得N+產(chǎn)一2x—3=0,即（X-1）2+y=4,

.?.點(diǎn)尸在以（1,0）為圓心，2為半徑的圓上，

I3+12I

點(diǎn)0在直線3x—4了+12=0上，圓心（1,0）到直線3x—4.y+12=0的距離d=三7-=

3>2,

IPQI的最小值等于圓心（1,0）到直線3x—4y+12=0的距離d減去圓的半徑2,

IPQI的最小值為3—2=1.

學(xué)生用書1第185頁

第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系與距離公式

［學(xué)習(xí)要求］1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的

交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行

直線間的距離.

,必備知識自主梳理

［知識梳理］

知識點(diǎn)一兩直線的位置關(guān)系

1.兩條直線平行與垂直的判定

（1）兩條直線平行

對于兩條不重合的直線h，其斜率分別為肩，k2,則有的=壇，特別地，當(dāng)

直線3，2的斜率都不存在時，I、與卜平行.

（2）兩條直線垂直

如果兩條直線辦斜率都存在，設(shè)為七，七，則/」/,=任屁=—1,當(dāng)一條直線斜率

為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.

2.兩直線相交

直線小小工+83+3=0和小工2尤+8少+C2=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組

'i41x+F1y+C1=0,

的解一一對應(yīng).

A2x+B2y+C2=0

相交O方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解;

平行Q方程組無解；

重合O方程組有無數(shù)個解.

知識點(diǎn)二距離公式

1.兩點(diǎn)間的距離公式

平面上任意兩點(diǎn)Pl（X1，力）,P2（x2,V2）間的距離公式為IPp?2I=_

2

（々一叼）之十（y2—y1）_.

特別地，原點(diǎn)。（0,0）與任一點(diǎn)P（X,7）的距離IOPI=&+y2.

學(xué)生用書1第186頁

2.點(diǎn)到直線的距離公式

|i4%0+By0+C|

平面上任意一點(diǎn)尸0（如外）到直線/:4v+為+C=o的距離"=一"二一（4+

爐》0）.

3.兩條平行線間的距離公式

I。2I

—*般地，兩條平行直線/［：4V+5y+G=0,b：4%+為+。2=0間的距離d=~（"

+5M0).

［小題診斷］

1.經(jīng)過兩點(diǎn)/(-2,5),B(1,-4)的直線/與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(—g,0)B.(一3,0)

C.(1,0)D.(3,0)

答案：A

解析：過點(diǎn)/(-2,5)和8(1,-4)的直線方程為3x+y+l=0,故它與x軸的交點(diǎn)的

坐標(biāo)為°).

2點(diǎn)A(2,5)到直線/：x—2y+3=0的距離為()

A.2避B.g

C.V5D.等

答案：C

解析：點(diǎn)/(2,5)到直線/:了—27+3=0的距離為12：黑3?=木.

3.直線2x+(加+1)y+4=0與直線加x+3歹一2=0平行，則加=()

A.2B.-3

C.2或一3D.3

答案：C

4.已知點(diǎn)力(3,2)和5(-1,4)到直線"+y+l=0的距離相等，則Q的值為.

答案：2或一4

解析：由點(diǎn)到直線的距離公式可得

I3a+2+l|_|-a+4+l|

-Ja+1舊+1'

解得4=］或a——4.

1關(guān)鍵能力重直探究。

考點(diǎn)一兩直線的位置關(guān)系

⑥角度(一)判斷兩直線的位置關(guān)系

［例1］(2024?天津模擬)“a=l”是“直線辦+2丁-8=0與直線x+(a++>+4=0平

行”的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

［答案］A

［解析］設(shè)直線/i：ax-\-2y—8=0,直線?。簒+(〃+1)y+4=0.若(與小平行，則。(a

+1)-2=0,即Q2+Q—2=0,解得。=1或〃=—2.當(dāng)—2時，直線/］的方程為一2x+

2y—8=0,即x—y+4=0,直線b的方程為x~y+4=0,此時兩直線重合，故QW—2.當(dāng)Q

=1時，直線。的方程為x+2y—8=0,直線4的方程為x+2y+4=0,此時兩直線平行.故

“q=l"是"直線辦+2y—8=0與直線x+(a+1)y+4=0平行”的充要條件.

⑥角度(二)由兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)

［例2］已知兩直線(m—1)x—6y—2=0,以加x+y+l=0,若。，區(qū)則冽

=;若h〃I2,貝口m=.

［答案］3或一2y

—

［解析］因?yàn)?i：(m1)x~6y—2=0,辦：1=0,所以，若/I_L，2,則加(冽一

1)—6=0,解得加=3或加=-2.

若人〃/2,則冽一1+6冽=0,解得冽=》,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

|方法總結(jié)|

兩直線位置關(guān)系的三種判斷方法

方法平行垂直適合題型

化成斜

k?，-S-仇電局=11斜率存在

截式

設(shè)直線Z1：All

設(shè)直線:八1彳

+B[y+(1=0.

+B]<y+C]=0,

1)：A2]+152y+

，2：A.r-\~By-\~

一般式C"2=0"l〃%㈡22無限制

C*2=0"i-L，20

A13—AB]=0,

2A]A2+I)]

且B1G-3cl

2=0

#0

后與局都不存

k\與k2中一個不

直接法4不存在

在，且仇￥仇存在，另一個為零

E跟蹤訓(xùn)練

1.am—3J,是“直線A：2（"?+l）x+（m—3）y+7—57M=0與直線，2：（加—3）x-\-2y

—5=0垂直”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：由得，2（加+1）（m—3）+2（加一3）=0,解得加=3或加=—2,即加=

3是的充分不必要條件.

學(xué)生用書1第187頁

2.若直線x+（1+加）y—2=0與直線加x+2y+4=0平行，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.lB.-2

?3

C.1或一2D.—2

答案：A

解析：由題意可知2—m（1+m）=0,解得加=—2或〃?=1.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)加=一2時，兩直線重合，不符合題意，舍去；當(dāng)機(jī)=1時，符合題意.故加的

值為1.

3.若直線(2m-1)x+zwy+l=0和直線加x+3y+3=O垂直，則實(shí)數(shù)%的值為()

A.lB.0

C.2D.T或0

答案：D

解析：由題意可知加(2m—1)+3"，=0,解得機(jī)=0或加=—1.

考點(diǎn)二兩直線的交點(diǎn)問題

［例3］(2024?海南?？谀M)若直線y=—2x+4與直線的交點(diǎn)在直線y=x+2

上，則實(shí)數(shù)4=()

A.4B.2

1

C-2DZ

［答案］A

［解析］解方程組匕匚2苣生得直線產(chǎn)一2x+4與直線y=x+2的交點(diǎn)(|,|),

82

依題意，解得左=4,所以實(shí)數(shù)4=4.

|方法總結(jié)|

在解決與兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的題目時，先求出兩直線的交點(diǎn)，再結(jié)合其他條件求解.

口.跟蹤訓(xùn)練

2

4.已知直線/經(jīng)過直線小x+y=2與82x—y=l的交點(diǎn)，且直線/的斜率為一丞則直線

/的方程是()

A.3x—2y—1=0B.3x—27+1=0

C.2x+3y—5=0D.2x—3y+l=0

答案：C

解析：解方程組｛省［得L；：，,

所以兩直線的交點(diǎn)為(1,1).

2

因?yàn)橹本€/的斜率為一事

2

所以直線/的方程為y—1=—3(x—1),即2x+3y—5=0.

考點(diǎn)三距離問題

［例4］(1)已知三角形的三個頂點(diǎn)N(2,4),5(3-6),C(5,2),則8C邊上中線的長為

()

A.2回B.710

C.IIA/2D.3迎

(2)點(diǎn)尸(3,1)到直線/：3x+4y+2=0的距離為()

A.2B.3

3

C，2D.4

(3)(2024?福建廈門模擬)若兩平行直線3x—2y—1=0,6x+ay+c=0之間的距離為

2.J13

嚷則C的值是.

［答案］(1)A(2)B(3)2或一6

3+5

X=：-n-=4,

［解析］(1)設(shè)3c的中點(diǎn)為。(％,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，_6：2所以。(4,—2)

/=―2—=—2，

所以\AD\=J(4—2產(chǎn)+［(—2)—4產(chǎn)=加=2迎.

|9+4+2|

(2)由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=,9+16一=3?

(3)依題意，§=與#與，解得—4,cW—2,則直線方程6%+砂+。=0可化為3%—

c.\-2+1\、

27+5=0.又兩平行線之間的距離為FF，所以7T萬=13、解得°=2或c=-6.

I方法總結(jié)I

距離問題的常見題型及解題策略

1

.求兩點(diǎn)間的距離.關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式即可，一般用來判斷三角形的形狀等.

2

.解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問題.應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求

直線方程，一般考慮待定斜率法，此時必須討論斜率是否存在.

3.求兩條平行線間的距離.要先將直線方程中x,y

的對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離

公式求解.也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題.

出跟蹤訓(xùn)練

5.過點(diǎn)N(4,a)和點(diǎn)3(5,b)的直線與>=》+加平行，則的值為()

A.6B.2

C.A/2D.不能確定

答案：C

b-a

解析：由題意知旗8=1,即々一=1,則6—0=1.

故IASI=J(5—4/+(b—a)2Kl+1=也.

6.(2024?廣東廣州模擬)已知點(diǎn)尸(4,a)到直線以一3伊一1=0的距離不大于3,則a的

取值范圍為.

答案：［0，10］

解析：點(diǎn)P到直線的距離為何釬—5~L.

由I1515W3,即I15—3aIW15,得OWaWlO,所以a的取值范圍為［0,10］.

直線系方程

［例1］過直線無+2了+1=0與直線2%—了+1=0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直

線方程為.

［答案］1—3歹=0或5x+5y+4=0

［解析］設(shè)所求直線方程為x+2y+l+；l(2x一歹+1)=0,當(dāng)直線過原點(diǎn)時，1+4=0得，

入=—1,此時所求直線方程為x—3y=0;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，令x=0,得y=，令^二

A+1A+1A+1

0,付X=-2；l+r由題息彳寸;I—2=-2—+17

1

解得丸=g或2=一1(舍)，

此時所求直線方程為5x+5y+4=0.

綜上所述，所求直線方程為x—3y=0或5x+5y+4=0.

［例2］經(jīng)過兩條直線2x+3y+l=0和x—3y+4=0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x+4y—7=0

的直線的方程為.

［答案］4x-3y+9=0

［解析］法一:由｛經(jīng)3羿4］二0“

5

%=一？（57\

解得，7故交點(diǎn)的坐標(biāo)為（一?9）.

,y=g，

4

因?yàn)樗笾本€與直線3x+4y—7=0垂直，所以所求直線的斜率為所以所求直線的方程

,74/5\

為即4x—3y+9=0.

法二：由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x—3y+冽=0.

由伊右黑：二o°'可解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為?!）■

將點(diǎn)（一目，的坐標(biāo)代入4x—3了+加=0,得加=9,

故所求直線的方程為4x~3y+9=0.

學(xué)生用書1第188頁

|方法總結(jié)|

1.過直線交點(diǎn)的直線系

過直線J：&久+B］y+C］=0與直線qi&x+Bzy+C2=0父點(diǎn)的直線系方程為AF+Bp

+C1+^A2x+B2y+C2）=為參數(shù)），其中不包括直線q.

2.平行直線系

與Ar+By+C=。平行的直線設(shè)為Ax+By+n=0.

3.垂直直線系

^-Ax+By+C=0垂直的直線設(shè)為Bx—Ay+zn=0.

咨跟蹤訓(xùn)練

1.求經(jīng)過/（2,4）,且與直線2x+y—1=0垂直的直線/的方程.

答案：x—2y+6=0

解析：設(shè)所求直線方程為X—2y+〃?=0,:直線過定點(diǎn)(2,4),/.2-2X4+w=0,：.m

=6,

.?.直線/的方程為x~2y+6=0.

2.過直線3x~y+5—0與2x—y+6=0的交點(diǎn)，且垂直于直線x~2y+1—0的直線方程

是.

答案：2x+y—10=0

解析：由凄二月之士解得母黑：直線x—2y+l=0的斜率為:，

故過點(diǎn)(1,8)且垂直于直線1—2》+1=0的直線方程為歹一8=—2(X—1),即2x+y—

10=0.

學(xué)生用書I第391頁

■課時作業(yè)鞏固提個

[A組基礎(chǔ)保分練]

1.已知N(2,1),N(-1,5),則|MN|=()

A.V13B.4

C.5D.A/37

答案:C

解析：M(2,1),N(-1,5),所以1MN1=』(2+1產(chǎn)+(1—5及=5.

2.已知直線A：ZMX+3y—3=0,L：(3m—2)x+乎y+l=0.則''拉=—是"/J/z”的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案：A

1