數(shù)學(xué)4優(yōu)化訓(xùn)練：兩角和與差的余弦

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3章三角恒等變換3.1兩角和與差的三角函數(shù)3。1。1兩角和與差的余弦5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.若sin（+α)=-，α∈（,π），則cos（—α)=_______________.思路解析：由誘導(dǎo)公式得sin（+α）=cosα=—,又α∈（，π），所以sinα=。所以cos(—α）=coscosα+sinsinα=×（—）+×=.答案:2。計(jì)算cos(α-35°）cos（25°+α）+sin（α-35°)sin（25°+α）=____________。思路解析：逆用兩角差的余弦公式可得到結(jié)果.原式=cos(α—35°—25°—α）=cos(-60°)=.答案:10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中）1.已知sinα=，cosβ=，求cos(α-β）的值.解：∵sinα=＞0，cosβ=＞0,∴α可能在一、二象限，β在一、四象限.若α、β均在第一象限，則cosα=,sinβ=，cos（α-β）=·+·=.若α在第一象限，β在第四象限，則cosα=，sinβ=-，cos（α-β）=·+·（-）=。若α在第二象限,β在第一象限，則cosα=—，sinβ=，cos（α-β）=（-）·+·=—.若α在第二象限，β在第四象限,則cosα=—，sinβ=—，cos(α—β)=（—）·+·（-）=—。2。計(jì)算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.思路解析:從整體出發(fā)，對(duì)局部進(jìn)行三角變換,出現(xiàn)特殊值是求值常用的方法.題目中都是非特殊角，不能直接計(jì)算，可將sin33°化為cos57°,cos63°化為sin27°,再逆用兩角和的余弦公式，則迎刃而解.解：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°）=cos30°=。3。已知cosα=，cos(α+β）=-，且α、β∈（0，）,求cosβ的值.思路解析：本題的解法要求觀察并分析出角和角之間的關(guān)系β=(α+β)-α，再利用兩角差的余弦公式展開，求出結(jié)果.這種“變角"的技巧在三角函數(shù)求值以及證明中常用，因?yàn)樽兘呛罂沙浞掷靡阎獥l件中的三角函數(shù)值來計(jì)算或證明。要注意，避免出現(xiàn)將cos（α+β)展開,通過解方程cosβ—sinβ=求cosβ這種復(fù)雜方法.解:由于α，β∈（0，），cosα=,cos(α+β）=-，則sinα===,sin（α+β）==.所以cosβ=cos［（α+β）-α］=cos(α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×+×=.4.已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求cos（α-β）的值。思路解析：本題是一道綜合題,由于cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，欲求cos（α—β）的值，只需求出cosαcosβ+sinαsinβ的值，而要得到兩組同名三角函數(shù)乘積，需將條件兩式平方，再相加即得cosαcosβ+sinαsinβ的結(jié)果。解：①sinα+sinβ=，②cosα+cosβ=.①式平方得sin2α+2sinαsinβ+sin2β=,②式平方得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.以上兩式相加,得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即2+2cos（α—β）=1，得到cos(α—β）=—。5。求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值。解:cos80°cos35°+cos10°cos55°=cos80°cos35°+cos（90°-80°）cos（90°-35°）=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos（80°-35°)=cos45°=。6.已知cos（α-β）=-，cos（α+β）=，且（α—β）∈(，π），(α+β）∈（，2π），求cos2β的值。思路解析：此題主要考查靈活“變角”的技巧.由分析可知2β=（α+β)—（α-β）.解：由于cos（α-β）=—，cos（α+β）=,且（α-β）∈（，π），（α+β)∈(，2π），可得sin（α—β）=，sin（α+β）=—，所以cos2β=cos［（α+β）—(α—β）］=cos（α+β)·cos（α-β）+sin（α+β）·sin（α-β）=·（-）+（—）·=-1.志鴻教育樂園過路費(fèi)甲同學(xué)要回坐位，但被乙同學(xué)擋著路,乙同學(xué)向甲同學(xué)說:“此路是我開，此樹是我栽，我想從此過，留下買路財(cái)！"這時(shí)老師站在門外說:“刷卡可以嗎?”30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1。（2005上海)若cosα=,α∈（0,）,則cos（α+）=_________________。思路解析：∵α∈(0，)，∴sinα==，cos(α+)=cosαcos-sinαsin=×—×=-.答案：-2。設(shè)α∈（0，)，若sinα=，則cos(α+）等于(）A.B。C?！狣.-思路解析：∵α∈（0，）,若sinα=，∴cosα=.∴cos（α+)=(cosαcos—sinαsin)=.答案:B3。sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A。—B。C?！狣。思路解析：sin163°sin223°+sin253°sin313°＝sin163°sin223°+cos（90°-253°）cos（90°-313°)＝cos163°cos223°+sin163°sin223°＝cos（223°-163°）＝cos60°=。答案:B4。（2005廣東）化簡f(x）=cos（π+2x）+cos（π-2x)+2sin（+2x)(x∈R,k∈Z）,并求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期.解：f（x)=cos（2kπ++2x）+cos(2kπ——2x）+2sin(+2x)=cos（+2x)+cos(+2x)+2sin(+2x）=2cos(+2x)+2sin（+2x)=4［cos（+2x)cos+sin（+2x）sin］=4cos2x.∴f(x）∈［—4，4］，T==π.∴f（x）的值域是[—4,4]，最小正周期是π.5.化簡3sinx+3cosx.解:原式=6（sinx+cosx）=6（sin60°sinx+cos60°cosx)=6cos（60°-x）。6。已知sinα+sinβ+sinγ=0，且cosα+cosβ+cosγ=0.求證：cos（α—β)=—.證明：由已知可得sinα+sinβ=—sinγ，cosα+cosβ=-cosγ。兩式平方相加得到2+2cos（α—β）=1。所以cos（α-β）=-。得證。7。如圖3—1-1，平面直角坐標(biāo)系中，已知=（cos80°，sin80°），=(cos20°，sin20°）,求｜｜。若AB中點(diǎn)是C,那么||呢？圖3-1-1思路解析:這道題屬于向量和三角函數(shù)的綜合問題。解:=（cos20°-cos80°,sin20°—sin80°),｜｜======1。可知△AOB是等邊三角形,可求得|｜=。8.已知sinα+sinβ=，求cosα+cosβ的取值范圍.思路解析：本題用到了平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1,這一關(guān)系在三角函數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常用到。解:由于sinα+sinβ=,等式兩邊平方可知，sin2α+2sinαsinβ+sin2β=。①設(shè)cosα+cosβ=m，平方可知，cos2α+2cosαcosβ+cos2β=m2.②①+②得sin2α+2sinαsinβ+sin2β+cos2α+2cosαcosβ+cos2β=m2+,整理，有m2=+2cos（α-β）.又由于cos（α—β）∈［-1，1］，所以m2∈［-，］，即得0≤m2≤。解得-≤m≤。所以—≤cosα+cosβ≤.9。已知0<β<，<α<,cos(-α）=，sin（+β）=，求sin（α+β)的值。思路解析:注意到(+β)—(—α)=+(α+