聲學(xué)原理- 07講彈性體振動

1§4.1

弦的振動§4.2膜的振動第四章彈性體振動學(xué)分布參數(shù)系統(tǒng)——振動系統(tǒng)的質(zhì)量在空間有一連續(xù)分布，并且空間中某一部分的質(zhì)量本身包含著彈性和阻尼性質(zhì)。2§4.2.1

膜的振動方程

假設(shè)張力T=常數(shù)，設(shè)η為膜上一點離開平衡位置的垂直方向位移，與x軸成α角，則：在該面元的x與x+dx邊緣上垂直方向的合力為：§4.2

膜的振動3（1）

同理另外兩邊的垂直合力為：（2）則整個面元上的總垂直力為：（3）設(shè)σ為單位面積膜的質(zhì)量，稱為面密度，σdxdy為面元的質(zhì)量，由牛頓第二定律有：§4.2.1

膜的振動方程4即：（5）（4）§4.2.1

膜的振動方程5§4.2.2

圓膜對稱振動的一般解（6）

在極坐標(biāo)系中膜振動方程為：（7）設(shè)則方程（7）可簡化為：（8）6

采用分離變量法，令η(t,r)=R(r)T(t),并考慮簡諧振動情況令代入（8）有：（9）其中：k=ω/c，而令kr=z，則（9）可化為：（10）此為零階柱Bessel方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，它有兩個特解J0(z)——零階柱Bessel函數(shù)，N0(z)——零階柱Neumann函數(shù)§4.2.2圓膜對稱振動的一般解7§4.2.2圓膜對稱振動的一般解Bessel函數(shù)Neumann函數(shù)8則一般解為：（11）由于z=0時，N0(0)—>∞，則B=0，故：（12）膜的位移可表示為：（13）§4.2.2圓膜對稱振動的一般解9圓形膜的邊界條件為:

η(r=a)=0(a為膜的周界半徑)（14）由（13）可知:J0(ka)=0（15）§4.2.3

圓膜對稱自由振動的一般規(guī)律（16）其中：設(shè)ka=μ，滿足J0(μ)=0的μ值有n個，即只能取些特定的數(shù)值，用kna表示，由kna=μn得簡正頻率：，稱為基頻（17）10顯然，圓膜振動的基頻與半徑a成反比，半徑a越大，相應(yīng)的基頻越低。對應(yīng)于這些簡正頻率的振動方式為：（18）取其實部為：（19）令可得:其中μ1=2.405,μ2=5.520,……，則節(jié)線的位置為：（20）§4.2.3

圓膜對稱自由振動的一般規(guī)律11§4.2.3

圓膜對稱自由振動的一般規(guī)律12m代表周向模態(tài),n代表徑向模態(tài)

?

?§4.2.3

圓膜對稱自由振動的一般規(guī)律13設(shè)膜片表面受到一聲壓為的聲波作用，pa為振幅（N/m2），ω為聲波的圓頻率，則在面元dxdy上的作用力為：Ff=pdxdy；與（3）合并后可得膜的強迫振動方程為：（21）對于對稱振動的圓形膜，用極坐標(biāo)表示有：（22）其中：令：（23）§4.2.4

圓膜的強迫振動14代入（22）可得：（24）其一般解為：R=R1+R2，注意到R1若取為一常數(shù)，可滿足方程（24），故得到特解這樣一般解為：（25）相應(yīng)地：（26）利用邊界條件在r=a處有η（r=a）=0故：故得：其中，（27）§4.2.4

圓膜的強迫振動15對于非對稱振動，必須采用方程（7），假定振動取簡諧方式，則可設(shè)其試探解為：則由（7）可得出下面兩個方程：

§4.2.5圓膜的非對稱振動（28）其中m2是由分離變量而引入的常數(shù)。16考慮到（28）中第一個方程是m階的柱貝塞爾方程，其解由m階的柱貝塞爾函數(shù)Jm(kr)和柱諾依曼函數(shù)Nm(kr)組成，而第二個方程的解則由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所組成，且m為正整數(shù)，則（28）式的解可寫為：（29）或表示為：（30）其中：§4.2.5

圓膜的非對稱振動17現(xiàn)考慮圓周固定的膜，即r=a時，則：（31）其中第一式代表一般圓膜振動的頻率方程，m=0為圓對稱振動，m>0為非圓對稱（m代表周向模態(tài)，n代表徑向模態(tài)）。令，則m階柱貝塞爾函數(shù)的部分根值如下：§4.2.5

圓膜的非對稱振動18不同的對應(yīng)著不同的膜振動固有頻率及振動模式：§4-2-5圓膜的非對稱振動

?

?

?

?19§4-3矩形膜的振動（1,1）（1,2）(2,1)(2,2)20§4-4guitar的振動模態(tài)分析CoronetAcousticFolkGuitar21Thankyouverymuchforyourattention!22圓膜非對稱振動(1,1)模態(tài)返回23圓膜非對稱振動(0,1)模態(tài)返回24返回圓膜非對稱振動(1,2)模態(tài)25返回圓膜非對稱振動(2,1)模態(tài)26返回圓膜非對稱振動(2,2)模態(tài)27返回圓膜對稱振動(0,2)模態(tài)28返回29頻域響應(yīng)函數(shù)30Mode#1at55.3Hz31Mode#2at160.1Hz32Mode#3at189.4Hz33Mode#4at300.5Hz34Mode#5at369.74Hz返回35ModalAnalysisofanAcousticFolkGuitarGibsonEarly1960'sHummingbirdTheLowFrequencyModesTheMiddleFrequencyModesTheHighFrequencyModesMode#1Mode#2Mode#3Mode#4Mode#5Mode#6Mode#7Mode#8Mode#9Mode#10Mode#11返回36the"bendingmode"-(59Hz)返回37the"breathingmode"-(103Hz)返回38188Hz返回39202Hz返回40thesecondbendingmode(223Hz)返回41231Hz返回42the(0,1)mode(262Hz)返回43the(1,0)mode(315Hz)返回44t